皮亞杰認知發展理論對小學數學教學的啟示

洪燕君　喻平

摘要：基于皮亞杰認知發展理論，結合小學數學教學課例，對如何實現同化、達到順應、取得平衡等問題，給出“創設真實性問題情境”“依托情境先做后教”“搭好探究坡度，做好邏輯關聯”“增加關聯引導，促進知識遷移”“設疑追問，巧推平衡”和“抽象拓展，牽引平衡”的應用策略，揭示出學生在學習過程中“點連成線、線結成面、面化為體”的知識內化過程。

關鍵詞：認知發展理論;小學數學;同化;順應;平衡

本文系石河子大學高層次人才科研啟動資金項目“數學史融入數學課堂教學的研究”（編號：RCSK2018C15）的階段性研究成果。傳遞人類已有的文化科學基礎知識是教育的一個基本特征。數學學習過程從認知的本質來看，是學生積極主動建構知識的過程，也是一個文化傳承的過程。謝明初.數學教育中的建構主義：一個哲學的審視[M].上海：華東師范大學出版社，2007：38。建構主義作為一種教育思想或認知方式，流派眾多，體系龐雜。一般來說，對數學教育影響較大的主要有認知建構主義、激進建構主義、社會建構主義。那么，數學課堂學習中，學生內化知識的認知過程是怎樣的？即：如何實現“同化”，達到“順應”，取得“平衡”？本文擬從認知建構主義視角，以皮亞杰認知發展理論詮釋小學數學課堂教學，并以具體教學課例對“同化”“順應”和“平衡”作出策略剖析，以期回答上述問題。

一、皮亞杰認知發展理論概述

皮亞杰是瑞士著名心理學家，他通過對兒童認知智力、思維發展等諸多方面廣泛而深入的研究，認為兒童的認知發展是內因和外因相互作用的結果，提出了隨著環境和自身的變化，有機體的認知結構和功能必然不斷變化，以適應變化條件的認知發展理論。皮亞杰的認識論主要研究的內容是知識的起源、知識的形成，以及知識構成的心理機制。邵瑞珍.教育大辭典·教育心理學卷[M].上海：上海教育出版社，1990：233236。

（一）幾個概念的內涵

“圖式”“同化”“順應”“平衡”是皮亞杰認知理論體系中的核心概念。

“圖式”是指個體對世界的知覺、理解和思考的方式，是動作的結構和組織，這些結構和組織在相同或類似的環境中由于不斷重復而得到遷移或概括。皮亞杰認為，圖式是認知結構的起點和核心，它的形成和變化是認知發展的實質，而認知發展過程會受到同化、順應、平衡的影響。圖式來自遺傳，以后在適應環境的過程中不斷得到改變和豐富，低級的圖式經過同化、順應、平衡而逐步轉變成高級的圖式。

“同化”原本是生物學領域的一個重要概念，指生物體在新陳代謝中把從外界環境中攝取的營養物質轉變成自身的組成物質，并儲存能量的過程。皮亞杰將這一概念應用于心理學，指個體把外界刺激所提供的信息過濾或整合到自己原有的認知結構中的過程，即人們試圖用已經存在的圖式解釋事物時所產生的、將新的知識納入原有的知識體系中進行解釋的過程。阿妮塔·伍德沃克.教育心理學（第八版）[M].陳紅兵，張春莉，譯.南京：江蘇教育出版社，2005：30。研究表明，隨著個體認知的發展，同化將經歷三種形式：（1）再現性同化，即對刺激作出相同的重復反應;（2）再認性同化，即基于辨別差異作出不同的反應;（3）概括性同化，即基于知覺的相似性進行歸類。

前沿論壇教育研究與評論小學教育教學/2022年1月“順應”是指外部環境發生變化，而原有認知結構無法同化新環境提供的信息時所引起的個體認知結構發生重組與改造的過程，即認知者將事物同化到他的認知結構中，同時調節這些結構，以適應這種影響的過程。皮亞杰.皮亞杰教育論著選[M].盧濬，選譯.北京：人民教育出版社，1990：2。皮亞杰認為，一切認識都離不開認知圖式的同化和順應，即不存在純粹的同化和順應。就本質而言，同化主要指個體對環境的作用，順應主要指環境對個體的作用。施良方.學習論：學習心理學的理論與原理[M].北京：人民教育出版社，1994：181。認識是認知圖式順應于外物和外物同化于認知圖式這兩個對立統一過程的產物。

“平衡”是指個體通過自我調節機制使認知發展從一個平衡狀態向另一個較高的平衡狀態過渡的過程。一般來說，個體遇到新刺激時如果用原有圖示進行同化獲得成功，認知便達到一種平衡，否則將調節或重建新圖式，即通過順應達到一種新平衡。智慧活動依賴于同化與順應這兩種機能從最初不穩定的平衡過渡到逐漸穩定的平衡。J.皮亞杰，B.英海爾德.兒童心理學[M].吳福元，譯.北京：商務印書館，1980：433。平衡的這種連續不斷的發展就是整個認知發展的過程。皮亞杰.發生認識論原理[M].王憲鈿，等譯.北京：商務印書館，1981：3。皮亞杰認為，平衡是在個體知識的同化與順應之間、各子系統（指不同領域的知識的結果，如數、長度和時間等）之間、部分知識與整體知識之間的關系的認知水平上思維調節的過程。

（二）幾個概念的關系

首先，順應發生在同化之后，沒有同化就沒有順應。當主體試圖同化新知識，而又不能將新知識同化，出現一種不平衡狀態時，才能引發順應活動。順應的目的是同化新知識，同時對個體原來的認知結構進行改造，形成新的認知結構。如果順應活動不能取得成功，新知識就不能被同化;新知識無法被納入個體認知結構，認識也就得不到發展。因此，主體認知結構的發展離不開同化和順應的聯合作用。在同化和順應的聯合作用過程中，主體的認知結構發展通過不斷建構和轉換得以實現。

其次，平衡在同化和順應的相互作用中起調節作用。皮亞杰認為，兒童心理的形成，既不單純來自主體的先天遺傳，也不單純來自主體的后天經驗，而是來自主體與客體的相互作用，即兒童的動作或活動。它通過同化與順應兩種機能來獲得機體與環境的平衡。平衡是不斷發展的，一個較低水平的平衡通過主體與客體的相互作用過渡到較高水平的平衡。這種不斷發展的“平衡—不平衡—平衡……”過程就是適應的過程，就是認知結構形成和發展的基本過程。

二、對小學數學教學的啟示

發展學生的認知結構是教學的出發點和歸宿。教師必須采取適當策略，努力創造條件，幫助學生形成和建立與客觀規律相符合的認知結構。

（一）如何實現“同化”

“問題”和“情境”是現代數學教學設計中非常重要的基本元素。在數學教學中，面對新的學習內容或問題時，教師一般會先圍繞研究主題引導學生回顧舊知，喚醒學生的數學現實，讓學生回憶起某些有用的信息;然后，基于學生的數學現實創設生活化情境、數學情境，或者是與其他學科相關的關聯情境，這些情境可以是真實性的，也可以是虛擬性的;最后，在情境中解決問題時把有關知識“動員”起來，使學生在原有認知結構中判別和汲取可以用來同化新知識的一般的、概括的、包容性強的觀念，以問題為驅動借鑒知識學習的歷史相似性類比得到學習新知識的方法。

1.創設真實性問題情境，促進再現性和再認性同化的發生

真實性問題情境包括自然發生的真實情境和模仿建構的真實情境。創設真實性問題情境旨在讓學生能夠基于生活常識或者活動經驗直觀感知數學問題，對所學知識能夠知其然亦知其所以然。這樣，可以加速學生對新知識的再現性同化過程。此外，在真實性情境中“做數學”，能使學生容易明了知識之間的聯系，便于領悟知識的生長趨勢，喻平.“做數學”的理論基礎分析[J].教育研究與評論，2021（3）：2226。且能提高學生對差異辨別作出不同反應的能力，即再認性同化能力。

例如，教學人教版小學數學六年級上冊《圓的認識》時，教師先讓學生回憶之前學習了哪些圖形，再鼓勵學生尋找生活中的圓（如城市綠化噴水器的噴灑范圍等），之后，又在白板上展示博物館展出的泥板上古巴比倫人畫的圓（如圖1所示），以此讓學生“識圓”。

《圓的認識》是學生從直線圖形到曲線圖形學習的起始課。之前的學習，學生已經認識了長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形等直線圖形，并會計算它們的周長和面積。而這節課的學習，無論是內容本身，還是研究問題的方法，都有所變化。復習舊知旨在讓學生在新知學習中能主動、有選擇地感知“以直代曲”方法的關聯信息，促進再現性同化能力的提升。“識圓”過程中，創設了古今兩種真實性情境，先尋找生活中的圓，再欣賞古人畫的圓。這種古今差異不僅激發了學生學習知識的好奇心，而且使學生對新知識的理解和應用感知，以及針對差異作出不同認知反應的能力也得到了提升。

2.依托情境先做后教，提升概括性同化能力

依托情境解決問題時，可以讓學生先做，充分調動學生主體的能動性，在學生經過大膽嘗試、自我推測，產生關于新知識的認知沖突時，教師再發揮引導者的作用。類似孔子啟發式教學法中的“不憤不啟，不悱不發”，讓學生在實踐活動中體驗創設情境的意圖，積累解決問題的活動經驗，從而提升對新知識的概括性同化能力。

例如，教學《圓的認識》時，學生“識圓”后，教師沒有直接給出圓的性質，而是讓學生從教師準備好的圖釘、長方形紙條、棉線、橡皮筋、硬幣、鉛筆等學具里任意選擇工具畫圓，最后對畫好的圓進行小組合作式的自由探究。

學生通過自主選擇工具畫圓，發現橡皮筋雖然好玩但是不能畫出準確的圓，而且如果不固定一個點也不能順利畫出圓;經自主概括，得到畫圓必須做到“定點和定長”，于是獲得“一中同長”這個關于圓的認識。在對圓自由探究的過程中，學生先動手把畫的圓剪下來，再對圓形紙片進行折疊，從而對圓的半徑、直徑、圓心有了更深刻的認識。

學生基于“旋轉能畫圓”這個知覺的相似性，通過畫圓的實踐操作，把原有知識結構中的知識和新知識自然連線，得到了圓的性質;再通過折圓，化解了新知識的學習難點。教學實踐表明，先做后教，不僅有助于激發學生的內部學習動機，為創造性思維的培養奠定基礎，而且對學生概括性同化能力的提高大有裨益。

（二）如何達到“順應”

數學知識的認知建構是一個循序漸進的過程。教師要從學生的元認知出發，逐步搭建腳手架，引領學生面對認知沖突時能整合、優化已有的認知結構，順利完成認知的順應。

1.搭好探究坡度，做好邏輯關聯

由于每個學生的能力不同，在設計引領教學活動的問題（串）時，教師要根據問題的開放度來考慮問題設置的難度層次，即設計的問題探究的坡度要盡量貼合學生的“最近發展區”，使學生“跳一跳，夠得著”——坡度太大會阻礙探究的進行，坡度太小則不能激發學生的問題意識。一般而言，“小坡度，小轉彎，小步走”普遍適合中等程度的學生。偶偉國.以探究領略數學思維之美：基于素養培養的探究式教學研究[M].蘇州：蘇州大學出版社，2017：2224。另外，設置問題（串）時還要注意知識間的邏輯關聯，由易到難、由簡到繁地層層遞進，使學生的思維不斷深入，自然而然地形成新的認知結構。

例如，人教版小學數學六年級上冊《圓的面積》是學生研究曲線圖形面積的起始課，也是后面學習圓柱、圓錐等知識的基礎。通過本節課學習，學生可以初步掌握“化曲為直”“化圓為方”等曲線圖形的基本研究方法，初步了解曲線圖形與直線圖形的內在聯系。這是小學幾何初步知識教學中的一項重要內容。

依據皮亞杰的認知發展理論，六年級（11—12歲）的學生處于由具體形象思維逐漸轉化為抽象邏輯思維，由具體運算逐漸轉化為形式運算的階段。他們正逐步脫離實物，以圖式的形式把事物存儲在大腦中，并能運用圖式根據假設進行邏輯推理;抽象思維水平逐漸發展，已具有一定的抽象概括出事物的本質屬性的能力。同時，注意也由“無意注意”發展到“有意注意”，自主學習能力較之前有顯著提高。

這一課教學中，當學生發現圓的邊是曲線，用“數格子”的方法不能數出所有的格子因而不能求出圓的面積時，教師可這樣啟發：我們換個角度來觀察，“數格子”實際上是把圓分成很多小正方形疊加起來，這可以看作一個先割后拼的過程，那么，你還能用其他圖形對圓先割后拼嗎？如果你想到了，用剪刀剪開來拼一拼？剛才有同學想到用三角形分割，可不可以？請小組合作探究一下。

這里，教師把“數格子”的方法解釋為小正方形的累加，既降低了學生的認知難度，也為后面小三角形累加的方法做了鋪墊。于是，學生根據切蛋糕的經驗將圓等分，在小組合作的基礎上，從簡單分割成4份到分割成8份、16份再拼接，發現隨著份數的增多，拼出來的圖形越來越接近長方形。由此，推測可以用長方形的面積來計算圓的面積，完成認知的順應。在此基礎上，教師運用作圖軟件演示把圓分割成32份、64份、128份等復雜的拼接情況，最終師生一起歸納推導出圓的面積公式。

在課后的問卷調查中，很多學生都表示對分割拼接法印象深刻。

2.增加關聯引導，促進知識遷移

變式是通過變更對象非本質屬性的表現形式，變更人們觀察事物的角度或方法，突出對象中隱蔽的要素，從而凸顯一類對象的本質屬性。通過對問題多層次的變式構造，使學生對問題解決過程及問題本身的結構有一個清晰的認識，是學生積累數學活動經驗、提高問題解決能力的一條有效途徑。鮑建生，黃榮金，易凌峰，等.變式教學研究（續）[J].數學教學，2003（2）：610。在實際教學中，教師可以圍繞問題解決進行多角度的問題關聯引導，促進知識遷移，幫助學生完善認知結構。

例如，人教版小學數學三年級上冊《長方形和正方形的認識》一課，探究“長方形有四個直角”的特點時，多數學生用三角尺的直角對長方形的4個直角分別進行比對后，教師給出關聯提示：比對了幾次？有沒有更容易的方法？于是，學生進一步思考和研討，最終發現“對折1次需要比對2個直角，對折2次只需要比對1個直角”。

接著，探究“正方形的四條邊都相等”的性質時，關于“對折”這個主題的應用，學生遇到了認知瓶頸，即如何說明“相鄰的兩條邊相等”。教師的教學處理宦銘里，李紹平，洪燕君.數學史融入“長方形和正方形的認識”的課堂教學[J].教學月刊·小學版（數學），2021（6）：3639。如下：

師除了用直尺測量，還有不同的想法嗎？

生用折的方法。上下對折重合，上下邊相等;左右對折重合，左右邊相等。

師（指著圖形）上邊和下邊相等了，左邊和右邊相等了，那怎么說明相鄰的兩邊相等呢？

（學生思考。）

師上下邊重合說明上下邊相等，那么相鄰的兩邊要怎么折才能重合？看來還缺這關鍵一折，怎么折？

生斜著折。

師（演示沿對角線對折）這樣，相鄰的兩邊也重合，說明這兩邊也相等，所以——

生（齊）正方形的四條邊都相等。

師還可不可以再折？之前長方形折了幾次，想一想？

生（激動）斜著折，再折一下，四邊都重合，都相等。

（該生演示沿對角線對折再對折。）

師對。剛才同學們利用不同的方法都得到了正方形確實是四邊相等的。既然正方形的四條邊都相等，我們就把每條邊的長叫作邊。

（教師板書：邊。）

“折”是探究活動中的一個難點，尤其是一開始學生不太容易想到“折兩次”。教師圍繞“折”，關聯引導學生通過思考和嘗試，在不同角度的“折”的動手操作中找到新舊知識的相異點，并以此為基點充分感知圖形的具象。同時，教師不斷整理、歸納學生的數學發現，對學生的認知進行比較和評價，利用否定屬性策略提出新問題，激勵學生自主反思，建立長方形和正方形特點的新認知圖式，促進學生對知識的順應。

學生原先的認知結構是學習活動的起點，也是學習過程中所使用的工具本身。當同化和順應發生的時候，知識由“點”連成“線”，再由“線”結成“面”，它們與認知結構中其他觀念產生了緊密的、高強度的聯系，就形成了數學理解。喻平.基于建構主義的數學教學觀[J].中學數學月刊，2009（8）：14。即知識從單點到多點，從多點到關聯，從關聯到拓展，使得學習從淺層走向深層。

（三）如何取得“平衡”

1.設疑追問，巧推平衡

當學生接收到的信息與原有認知結構不匹配時，就會形成認知沖突，產生認知失衡。教師通過追問，可使學生的認知結構不斷經歷同化、順應而達到平衡。這種認知失衡基礎上的追問導致認識發生變化，使知識的學習“化面為體”，從而促使學生的認知結構不斷完善。

例如，《長方形和正方形的認識》一課的總結環節，師生一起回顧和梳理了整個學習過程，并歸納了“量、比、折、畫”等認識圖形的方法后，教師從信封里拿出1個平行四邊形，把它和黑板上的長方形、正方形放在一起，請學生自由探討30秒，給這些圖形起一個統一的名字。有學生說“平行四邊形”。教師馬上又拿出1個梯形放到黑板上，請學生繼續命名。有學生說“有四條邊，叫四邊形”。教師追問：這節課我們就是在研究邊、研究角，既然這些圖形都有4條邊、4個角，那為什么不叫四角形？這時，下課鈴響起。教師說道：這個問題大家回去想一想，我們下節課再來討論。最后的問題提出為下節課的演繹和歸納教學埋下了伏筆。

2.抽象拓展，牽引平衡

20世紀50年代，美國芝加哥大學施瓦布教授倡導學生應當像科學家一樣去發現問題、提出問題、分析問題和解決問題，在探究的過程中建構知識。M.Pedaste，et al.Phases of inquirybased learning： Definitions and the inquiry cycle[J].Educational Research Review，2015（14）：4761。具體而言，知識建構是指學生借助自己已有的知識和經驗，主動地認識知識、理解知識，從而抽象出知識內核的過程，其中新舊知識的相互作用、學習共同體的互動交流，以及適當的情境都非常重要。學生在小組合作討論，以及教師的提示刺激下，其認知經過不斷的同化和順應，一次次達到新的平衡，不斷從低級走向高級，從而使認知結構逐漸拓展，知識建構趨于完備。

例如，教學人教版小學數學五年級上冊《用數對確定位置》時，教師引導學生首先通過教室中的座位與人的對應關系來感知“位置”這個概念（同化），這時“位置”在平面圖上是指一個“方格”;然后順向遷移到用“點”表示“方格”（順應）;最后抽象出“數對”可以表示出這個“點”的位置（平衡）。就如同學生在學習“數”時，先是在情境中通過數小棒這個直觀行為來認識自然數，熟練以后逐步脫離小棒，在頭腦中形成圖像表征，最后再轉化成符號表征，學習“自然數的加減”。在上述認知過程中，學生按照自己對知識深度和廣度的理解，不斷在同化和順應中調適自己的感覺、知覺、記憶、思維、聯想，最終形成一個具有內部規律的整體認知結構，這就達到了一個“平衡”的狀態。

為了對知識點進行關聯拓展，說明認知“平衡”的可塑性，在這節課的“評估與延伸”環節，教師設置了如下探究題目：

如圖2，已知正方形ABCD的兩個頂點A（3，5）和B（3，3），請：（1）在圖中標出正方形的另外兩個頂點C和D可能的位置，并說明理由;（2）用數對表示C和D的位置。

從課堂探究結果來看，大部分學生都能以AB為邊向右側畫出正方形（如圖3），并能正確運用“數對”表示出點C和點D的位置;

只有少數學生是從AB邊向左側或向兩側畫正方形來完成的（如圖4、圖5）。而“以AB為對角線畫出相應的正方形”的結果，是在探究過程中經教師啟發和點撥后才得到的。

三、結語

實踐表明，恰當的教學活動設計，能自然而然地把教材知識的邏輯線、知識本源的歷史線、學生認知的心理線有效地融合，使得學生在學習過程中，基于原有的數學現實，經歷“同化-順應-平衡”的認知過程，展現“點連成線、線結成面、面化為體”的知識內化學習脈絡，最終獲得深刻的數學體驗和感悟。這樣的數學學習更有條理、更有秩序、更加深入，使得學生不但能夠“學會”，而且會“想學”，最終到“會學”。