從“準確理解”到“靈活選擇”

曹琴

摘要：在小學數學教學中培養學生的運算能力，應引領學生認識運算的意義、明確運算的對象、明晰運算的算理，準確理解運算;充分利用工具、自覺判斷結果合理性，精準實施運算;進而能夠根據實際問題情境靈活選擇運算，自覺應用“數學的”方式靈活地解決問題。

關鍵詞：運算能力;算理;算法;應用

本文系江蘇省常州市教育科學“十三五”規劃第二批重點課題“小學數學學科運算能力的校本實踐研究”（編號：CJKZ2020033）的階段性研究成果。運算是小學數學學習中常見且重要的內容，也是解決數學問題時有效且基本的方式。運算能力自然也就成為學生應該具備的關鍵能力。筆者以為，小學數學教學中，不僅要引領學生準確理解運算、精準實施運算，還要讓學生能夠根據實際問題情境靈活選擇運算。

一、準確理解運算

（一）認識運算的意義

運算意義的理解和建構是一切運算教學的起點和源泉。不管是算理的理解、算法的掌握還是問題的解決，都源自對運算意義的理解，即在具體情境中對“算什么”“為什么這樣算”的理解。

比如“分數乘整數”的教學，對于問題：“1朵綢花用310米綢帶，3朵這樣的綢花需要多少米綢帶？”教師借助長方形紙條圖，引導學生首先理解“1朵綢花用310米”的含義，再提供相應的工具，提出要求：“怎樣表示出3朵綢花用的米數？”學生在操作中直觀感知“求3朵綢花用的綢帶長度就是求3個310米是多少”“既可以用加法310+310+310，也可以用乘法310×3”。在直觀操作中抽象，將整數、小數乘法的運算意義推廣到分數乘整數。

（二）明確運算的對象

對運算對象的理解包括對參與運算的數（或者數量）及含義的理解、運算符號的理解以及解決問題中對問題情境的理解。學生對運算對象的理解程度直接反映學生的運算水平和運算能力。只有清楚明白地理解運算中的數或者數量、運算符號、問題等，才能正確、合理、靈活地進行運算。隨著學段的提升，運算對象也逐步復雜——數的范圍不斷擴大，從整數到小數再到分數;問題情境也由單一變為綜合。對于學生明確運算對象的能力和方法的培養需要引起教師的足夠重視。

比如，對于“把四個同樣大的橙子分給小朋友，每個小朋友分12個，可以分給幾個人？” 這一問題情境，引導學生分析其中的信息，明確運算對象：平均分，用除法計算，運算符號為“÷”;總數÷每份數=份數，總數是4，每份數是12，列式為4÷12;進一步明確運算對象的類型，4是整數，12是分數，4÷12是整數除以分數。明確運算對象后，學生可以根據情況選擇方法進行運算。

再如，計算“5×16”時，有學生會把結果寫成“90”，顯然，這是沒有辨析清楚運算的對象，把“5×16”當成“6×15”來計算了。教師可以通過題組對比分析的方法，突出強調運算對象，如：觀察5×16，15×6和18×5，15×8兩組算式，計算并比較，你有什么想說的？借助對象相似的題組分析，可以讓學生在對比中強化對運算對象的認知，知曉明確運算對象的重要性。

（三）明晰運算的算理

算理就是計算的原理，指四則運算中的理論依據。算理為算法提供理論基礎，呈現了知識發展的過程，是算法的解構和解釋。現行各版本教材均特別關注算理的多元呈現和多元表征。有的基于概念本質明晰算理，如蘇教版一年級上冊“9加幾”的教學，例題圖呈現9+4，可以基于數的基數意義，一個一個地數，從1數到13正好數完所有的蘋果，一共有13個蘋果;可以基于數的序數的意義，9后面再數4個數，得出正確結果;當然也可以結合分與合的概念進行“湊十”。這些都是基于加的概念進行的算理表征，后續乘法和除法的教學中也有類似的基于概念的算理表征。有的借助操作表征明晰算理，大多在低年段運用，利用小棒等學具，由直觀操作到表象操作再到抽象分析，逐步完善對算理的理解。有的采用圖形表征，數形結合表征算理，如計算12+14+18+116+132，用圖形表征計算過程，使運算規律的算理形象更直觀，便于學生更好地理解。

二、精準實施運算

（一）充分利用工具

教學中要借助豐富的實踐活動，將算理的理解與解析建立在與原有算法相關知識發生、發展與聯系的基礎之上，使得新舊知識多角度、深層次地溝通，“明理，會意，成形”，使運算能力的形成顯性化。提供相應、適合的學習工具是達成這一目標的重要手段。

比如，“分數乘分數”教學中，對于35×14和23×45，教師提供長方形指導操作，讓學生在圖形分割中邊操作邊體會分數乘分數的含義。“怎樣表示出3/5的1/4？”學生先分割長方形得到3/5 （如圖1），然后表示出3/5的1/4 （如圖2）;“為什么只將35的部分平均成為4份，取1份？”“為什么不斜著平均分成4份？”“結果是多少？一共平均分成多少份？一共取了多少份？”教師借助平均分長方形（單位“1”）的過程，不斷使學生加深對單位“1”變化的體悟，體會分數乘法的內涵，進而由3/20這個結果推想算法，發現分子乘分子的積作為積的分子、分母乘分母的積作為積的分母。

（二）自覺判斷結果合理性

結果合理性的判斷包括能根據實際的問題情境，對運算結果合理性的判斷以及掌握幾種對運算結果進行正誤判斷的能力。

比如，對于“張叔叔買了一輛售價為78500元的汽車，按國家規定購買汽車要繳納10%的購置稅，張叔叔購買這輛車一共要付多少元？”這一問題，有學生列式為78500×10%=785（元）。這時，教師可以這樣引導學生判斷結果的合理性：根據問題情境和生活經驗直接判斷：785元絕對不可能買到一輛汽車;反觀問題情境中的條件——“售價為78500元”，一共要付的錢肯定比這個要多。

再如，對題目“48×1.2=5.76，你能不計算，判斷計算結果是否正確嗎？”這時，教師需要給予指導，使學生掌握多種判斷方法：其一，根據小數乘法的法則。兩個因數一共是一位小數，積最多是一位小數，這里是兩位小數，計算結果是錯的。其二，估算。48×1=48，估小了結果為48，正確結果肯定比48要大。有了方法作為支撐，學生才能熟練和自覺地進行結果合理性的判斷。這些判斷結果合理性的方法不僅僅是為了解決眼前的問題，更重要的是讓學生自覺應用于日常的計算中。

三、靈活選擇運算

學生運算能力的培養，不僅要追求準確理解運算、精準實施運算，更要以具體運算問題為載體，理解問題情境，自覺應用“數學的”方式靈活地解決問題。解決實際問題時，大致可按照圖3所示的思路靈活選擇方法。

比如，對于“學校準備開展綜合實踐活動，老師要為全班48位同學定制班級徽章，每個徽章2.5元，老師帶200元夠嗎？一共要付多少元？”這一問題，教師帶領學生認真審題之后，選擇計算方法——判斷“200元夠嗎”并不需要準確計算出結果，所以最簡潔的方法是估算。有了估算的意識之后，還要會正確地估算。把48估成50，把2.5估成3，50×3=150元，估大了都只要150元，所以200元肯定夠。對于“一共要付多少元”，在明確運算對象的基礎上，知道需要精確計算，列式“2.5×48”。如何更靈活地準確計算，也暗藏玄機——可以豎式計算，可以簡便計算;簡便計算的方法還多種多樣，可以是2.5×4×12，還可以是2.5×（40+4+4）。這個過程，學生步步為營地分析，不斷地遞進式思考更靈活的方法。