簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)特征及其分類應(yīng)用

羅倩敏(正高級(jí)教師) 李亮芝

（北京市第十八中學(xué)）

簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是一種速度和加速度都不斷變化的“雙變”運(yùn)動(dòng)，是振動(dòng)中最簡(jiǎn)單、最基本的一種運(yùn)動(dòng)形式.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)在簡(jiǎn)諧波、重力場(chǎng)、電場(chǎng)、磁場(chǎng)、分子力場(chǎng)中多有體現(xiàn)，因此，研究簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)特征及其分類應(yīng)用十分必要.

1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特征

1.1 回復(fù)力特征

圖1所示為彈簧振子.設(shè)輕彈簧的勁度系數(shù)為k，小球質(zhì)量為m，O為平衡位置，不計(jì)摩擦與空氣阻力，彈簧彈力提供回復(fù)力，定義水平向右為正方向，當(dāng)位移為x時(shí)，得簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)回復(fù)力F＝－kx.

圖1

1.2 動(dòng)力學(xué)特征

由牛頓第二定律F＝ma，聯(lián)立回復(fù)力F＝－kx，得

1.3 振動(dòng)特征

以第一次位于平衡位置時(shí)刻為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，用傳感器得小球的位移x(或速度v、加速度a)隨時(shí)間t呈正弦(或余弦)函數(shù)變化，即振動(dòng)方程x＝Asin(ωt＋φ0)，v＝ωAcos(ωt＋φ0)，a＝－ω2Asin(ωt＋φ0).

1.4 速度—位移特征

設(shè)小球在O點(diǎn)的速度為v0，在任意點(diǎn)的速度為v，兩點(diǎn)間位移為x，由于回復(fù)力是線性變化的，所以在這段位移內(nèi)的平均回復(fù)力為，由動(dòng)能定理得

1.5 對(duì)稱特征

根據(jù)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特征，不難發(fā)現(xiàn)位移、速度和加速度關(guān)于平衡位置對(duì)稱.

2 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)分類應(yīng)用

2.1 簡(jiǎn)諧波

例1一列簡(jiǎn)諧橫波某時(shí)刻波形如圖2所示.由該時(shí)刻開(kāi)始計(jì)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)L的振動(dòng)情況如圖3所示.下列說(shuō)法正確的是( ).

圖2

圖3

A.該橫波沿x軸正方向傳播，且質(zhì)點(diǎn)N在該時(shí)刻向y軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)

B.質(zhì)點(diǎn)L經(jīng)半個(gè)周期將沿x軸正方向移動(dòng)到N點(diǎn)

C.該時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)K與M的速度、加速度都相同

D.設(shè)質(zhì)點(diǎn)L的質(zhì)量為m，最大速率為v，質(zhì)點(diǎn)從該時(shí)刻起經(jīng)過(guò)半個(gè)周期的奇數(shù)倍時(shí)間內(nèi)其動(dòng)量變化為－2mv

解析

由圖3可知，質(zhì)點(diǎn)L在該時(shí)刻向y軸正方向運(yùn)動(dòng)，依據(jù)“同側(cè)”(即質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向與波傳播方向處在波的圖像的同側(cè))法，由圖2可知，該橫波沿x軸正方向傳播.同理可知，質(zhì)點(diǎn)N在該時(shí)刻向y軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng).由于波傳播的是振動(dòng)形式，質(zhì)點(diǎn)并不隨波一起遷移，所以選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.因K、M間隔半個(gè)波長(zhǎng)，則K、M的振動(dòng)步調(diào)始終相反，因此，該時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)K與M的速度、加速度大小相同，但加速度方向不同，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；質(zhì)點(diǎn)L從該時(shí)刻起經(jīng)過(guò)半個(gè)周期的奇數(shù)倍時(shí)間，質(zhì)點(diǎn)的初末位置均在平衡位置，且振動(dòng)方向相反，其動(dòng)量變化為－2mv，故選項(xiàng)D正確.

點(diǎn)評(píng)

簡(jiǎn)諧波是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)在空間傳遞時(shí)形成的波動(dòng)，其波函數(shù)為正弦或余弦函數(shù)形式.解決這類問(wèn)題要關(guān)注以下幾點(diǎn)：1)明確各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)頻率、波長(zhǎng)、波速，以及它們之間的關(guān)系.2)掌握“同側(cè)”法判斷質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向的關(guān)系，知道質(zhì)點(diǎn)不會(huì)隨波遷移，理解波動(dòng)圖像與振動(dòng)圖像的區(qū)別與關(guān)聯(lián)，注意位移、速度(動(dòng)量)和加速度都是矢量，明白其變化的周期性和對(duì)稱性.

2.2 重力場(chǎng)

例2如圖4所示，有擺長(zhǎng)為l的單擺，擺球質(zhì)量為m，將小球拉開(kāi)偏離豎直線微小角度θ(θ＜5°)由靜止釋放，不計(jì)空氣阻力，取重力加速度為g.

圖4

(1)試證明小球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)；

解析

(1)如圖5所示，設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到偏離豎直線α(α＜θ)角時(shí)，對(duì)應(yīng)平衡位置O的位移為x，顯然重力沿運(yùn)動(dòng)軌跡切向的分力提供回復(fù)力，即F＝mgsinα，由于θ＜5°，由幾何關(guān)系得聯(lián)立解得因F指向平衡位置O，而x背向平衡位置O，即F＝故小球是做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).

圖5

點(diǎn)評(píng)

重力場(chǎng)中的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)主要有單擺與彈簧振子兩種模型.解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵，一是確定平衡位置所在點(diǎn))二是找到提供回復(fù)力的力，可以是某力的分力，也可以是合力)三是明確條件(最大擺角小于5°或在彈性限度內(nèi))，從而根據(jù)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能定理、特征方程、幾何關(guān)系等規(guī)律解決相關(guān)問(wèn)題.

2.3 電場(chǎng)

例3如圖6所示，一個(gè)半徑為R、電荷量為＋Q的均勻帶電圓環(huán)固定在真空中，環(huán)心為O，MN是其中軸線.現(xiàn)讓一電荷量為－q、質(zhì)量為m的帶電粒子從MN上的P點(diǎn)由靜止釋放，P、O間的距離為d(d?R)，不計(jì)粒子重力.求：

圖6

(1)帶電粒子運(yùn)動(dòng)的周期T；

(2)粒子運(yùn)動(dòng)到距離O點(diǎn)為x0時(shí)的速度大小v.

解析

(1)設(shè)帶電環(huán)上微元長(zhǎng)Δl，其帶電荷量為由場(chǎng)強(qiáng)公式得如圖7所示，而整理得E＝因x?R，簡(jiǎn)化得，方向由O指向P.帶電粒子所受電場(chǎng)力為F＝Eq，即

圖7

方向指向O，即帶電粒子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)周期公式得

(2)對(duì)－q，從P點(diǎn)到x0處由動(dòng)能定理得解得

點(diǎn)評(píng)

電場(chǎng)中的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，因電場(chǎng)有勻強(qiáng)和非勻強(qiáng)之分，所以在勻強(qiáng)電場(chǎng)中有類單擺和類彈簧振子模型，在非勻強(qiáng)電場(chǎng)中有均勻帶電圓環(huán)形中軸線電場(chǎng)和等量同種電荷的連線中垂線的電場(chǎng)兩種模型.解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵，一是找到場(chǎng)強(qiáng)為零的點(diǎn)——平衡位置)二是由微元法、對(duì)稱法、等效法等找回復(fù)力)三是明確模型條件，從而由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特征方程、動(dòng)能定理、幾何關(guān)系等規(guī)律解決相關(guān)問(wèn)題.

2.4 磁場(chǎng)

例4如圖8所示，光滑的平行金屬導(dǎo)軌水平放置，導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)，左端接一阻值為R的定值電阻；導(dǎo)軌處在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向與導(dǎo)軌平面垂直.一根與導(dǎo)軌垂直的銅棒在與導(dǎo)軌平行且共面的外力作用下，在導(dǎo)軌上做振幅為A的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)周期為T(mén).已知銅棒電阻為r，電子電荷量為e.導(dǎo)軌的電阻不計(jì)，設(shè)計(jì)時(shí)起點(diǎn)為平衡位置且向左運(yùn)動(dòng)，位移向左為負(fù)，電流順時(shí)針為正方向.

圖8

(1)在圖9中畫(huà)出通過(guò)電阻R的電流i隨時(shí)間t變化的圖像；

圖9

(2)求在一個(gè)周期T內(nèi)，電阻R產(chǎn)生的焦耳熱；

(3)從微觀角度，求出銅棒內(nèi)一個(gè)電子所受金屬離子撞擊的平均阻力的最大值；

(4)在同一坐標(biāo)系中大致畫(huà)出銅棒受回復(fù)力、安培力、外力相對(duì)平衡位置位移x的圖像.

解析

(1)因銅棒做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，以平衡位置為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，其感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E＝BLvmcosωt，由歐姆定律得聯(lián)立得i＝其圖像如圖10所示.

圖10

(2)一個(gè)周期T內(nèi)，電阻R產(chǎn)生的焦耳熱為Q＝

(3)任何時(shí)刻電子均認(rèn)為受力平衡，即有evB－由閉合電路歐姆定律有BLv＝ir＋U，聯(lián)立解得顯然當(dāng)電流最大時(shí)，電子所受金屬離子撞擊的平均阻力最大，即

(4)由于銅棒做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，則其回復(fù)力滿足F外＝－kx，由初始狀態(tài)得知圖像是在第二、四象限的直線.由于銅棒受安培力FB＝BiL，聯(lián)立由已知得銅棒的最大速度是一定的，則銅棒的速度與位移關(guān)系滿足方程，即v-x成橢圓規(guī)律變化，而FB∝v，則FB∝x，即FB-x也成橢圓規(guī)律變化，由于安培力與外力是共線的，則得F外-x呈拋物線變化，故其對(duì)應(yīng)圖像如圖11所示.

圖11

點(diǎn)評(píng)

勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，主要有類單擺和類彈簧振子兩種模型.解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵，一是明確帶電粒子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，洛倫茲力不提供回復(fù)力)二是知道導(dǎo)體棒做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，因電流有恒定與振蕩變化之分，應(yīng)區(qū)別對(duì)待.若是恒定電流，則將安培力和重力、勻強(qiáng)電場(chǎng)力一樣去分析，找到回復(fù)力)若是振蕩變化電流，則要根據(jù)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)物理量間的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行數(shù)理處理或物理矢量合成，如由回復(fù)力—位移關(guān)系(線性)、速度—位移關(guān)系(橢圓)、力的合成，推導(dǎo)出外力—位移關(guān)系為拋物線)三是要運(yùn)用力電綜合知識(shí)、宏觀微觀關(guān)聯(lián)等解決問(wèn)題.

2.5 疊加場(chǎng)

例5有一擺長(zhǎng)為l的絕緣單擺，擺球質(zhì)量為m、帶電荷量為＋q，處在正交且勻強(qiáng)的電磁場(chǎng)中，靜止時(shí)絕緣線偏離豎直方向夾角α＝37°，如圖12所示.用絕緣手套將小球拉開(kāi)使之偏離平衡位置微小角度θ(θ＜5°)靜止釋放，小球圍繞平衡位置小幅振動(dòng)，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g.試求：

圖12

(1)勻強(qiáng)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)E的大小及小球運(yùn)動(dòng)的周期T.

(2)小球的最大速度vm及絕緣線對(duì)小球的最大拉力Fm.

解析

(1)小球靜止時(shí)受力平衡，有Eq＝mgtan37°，即小球振動(dòng)是由電場(chǎng)力與重力的合力沿軌跡切向指向平衡位置的分力提供，洛倫茲力始終與速度方向垂直，即同例2方法可得

故小球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，則其運(yùn)動(dòng)周期

(2)對(duì)小球，顯然在平衡位置速度最大，從偏離平衡位置角度θ到平衡位置過(guò)程，由動(dòng)能定理可得聯(lián)立解得在平衡位置處絕緣線對(duì)小球的拉力最大，由牛頓第二定律得聯(lián)立解得

點(diǎn)評(píng)

疊加場(chǎng)中的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)主要是帶電物體參與的類彈簧振子與類單擺兩種模型.解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵，一是找到合場(chǎng)力作用下的平衡位置)二是找到提供回復(fù)力的力(洛倫茲力不提供)；三是明確條件：類單擺最大擺角小于5°，類彈簧振子在彈性限度內(nèi)，從而根據(jù)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特征方程、動(dòng)能定理、幾何關(guān)系等規(guī)律解決相關(guān)問(wèn)題.

2.6 分子（或原子）力場(chǎng)

例6在研究物理學(xué)問(wèn)題時(shí)，為了更好地揭示和理解物理現(xiàn)象背后的規(guī)律，我們需要對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行一定的概括和抽象，抓住主要矛盾，忽略次要因素，建構(gòu)物理模型.諧振子模型是物理學(xué)研究振動(dòng)問(wèn)題時(shí)所涉及的一個(gè)重要模型.

(1)如圖13所示，在光滑水平面上兩個(gè)物塊A與B由彈簧連接(彈簧與A、B不分開(kāi))構(gòu)成一個(gè)諧振子.初始時(shí)彈簧被壓縮，同時(shí)釋放A、B，此后A的v-t圖像如圖14所示(規(guī)定向右為正方向).已知mA＝0.1 kg，mB＝0.2kg，彈簧質(zhì)量不計(jì).在圖14中畫(huà)出B物塊的v-t圖像并求初始時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能Ep.

圖13

圖14

(2)雙原子分子中兩原子在其平衡位置附近振動(dòng)時(shí)，如圖15所示，這一系統(tǒng)可近似看作諧振子，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律與(1)的情境相似.已知兩原子之間的勢(shì)能Ep隨距離r變化的規(guī)律如圖16所示，在r＝r0點(diǎn)附近Ep隨r變化的規(guī)律可近似寫(xiě)作r0)2，式中Ep0和k均為常量.假設(shè)原子A固定不動(dòng)，原子B振動(dòng)的范圍為r0－a≤r≤r0＋a，其中a遠(yuǎn)小于r0，請(qǐng)畫(huà)出原子B在上述區(qū)間振動(dòng)過(guò)程中受力隨距離r變化的圖線，并求出振動(dòng)過(guò)程中這個(gè)雙原子系統(tǒng)的動(dòng)能的最大值.

圖15

圖16

解析

(1)由圖像14可 知，當(dāng)vA＝－2 m·s－1時(shí) 彈簧恢復(fù)到原長(zhǎng)，由動(dòng)量守恒定律有0＝mAvA＋mBvB，代 入已知得vB＝1m·s－1.B物塊的v-t圖像如圖17所示.由機(jī)械能守恒定律得

圖17

(2)原子B振動(dòng)過(guò)程中受力隨距離變化的圖像如圖18所示，由題意可知，原子B處于r1＝r0處時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)能最大，設(shè)為Ek1，系統(tǒng)的勢(shì)能最小為Ep0.原子B在r2＝r0－a處時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)能為0，系統(tǒng)的勢(shì)能最大為，由能量守恒定律得Ep1＋Ek1＝Ep2＋0，聯(lián)立得

圖18

點(diǎn)評(píng)

分子(或原子)力場(chǎng)中的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，主要是分子(或原子)之間的作用力滿足或近似滿足F＝－kx時(shí)的類彈簧振子模型.解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵，一是找到平衡位置點(diǎn)(r＝r0)；二是看分子或原子間的作用力與其間距的關(guān)系是否近似線性關(guān)系)三是看分子或原子勢(shì)能與其間距的關(guān)系是否近似線性關(guān)系)四是明確分子(原子)動(dòng)能與勢(shì)能之和是否為定值.

總之，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的應(yīng)用要明確對(duì)象模型、場(chǎng)景模型各自特點(diǎn)與分類，聚焦共性：平衡位置、回復(fù)力F＝－kx、對(duì)稱性、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物理量及其特征方程，明析各種簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)類型的差異，綜合運(yùn)用波動(dòng)振動(dòng)關(guān)聯(lián)、牛頓運(yùn)動(dòng)定律、動(dòng)能定理、能量守恒定律、動(dòng)量定理、動(dòng)量守恒定律、電磁場(chǎng)與電路知識(shí)、宏觀微觀關(guān)聯(lián)等規(guī)律，結(jié)合微元法、等效法、圖像法、數(shù)理思維法等科學(xué)思維法解決相關(guān)問(wèn)題.