數(shù)形結(jié)合提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力

2022-02-22 13:28:30南京師范大學(xué)附屬中學(xué)仙林學(xué)校小學(xué)部南郵校區(qū)

新教育 2022年5期

□ 南京師范大學(xué)附屬中學(xué)仙林學(xué)校小學(xué)部南郵校區(qū) 袁琳

一、聯(lián)系實(shí)物，體會(huì)數(shù)理內(nèi)涵

數(shù)形結(jié)合中的“形”可以理解為實(shí)物、模型圖、線段圖、數(shù)軸、直角坐標(biāo)系等，其中實(shí)物演示也是幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)原理、直觀認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)事物的一種重要方式。教師要遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，通過引入生活中常見的實(shí)物模型，讓學(xué)生通過數(shù)學(xué)概念的現(xiàn)實(shí)原型來理解抽象知識(shí)，逐步建立理性認(rèn)識(shí)。

例如，以數(shù)軸概念的講解來說，教師可以展示馬路的圖片，或讓學(xué)生畫一條馬路，要求圖片中含有楊樹、柳樹、電線桿、站牌等物體，讓學(xué)生思考：?jiǎn)栴}1：馬路可以用什么幾何圖形表示？問題2：站牌在馬路中起到什么作用?問題3：你是怎么確定各物體的位置的？以此來引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用直線、點(diǎn)、方向、距離等幾何符號(hào)進(jìn)行畫圖，表示實(shí)際問題。接著，教師和學(xué)生一起在黑板上采用正負(fù)數(shù)、幾何符號(hào)、方向等知識(shí)將樹、電線桿與汽車站牌的相對(duì)位置關(guān)系畫出來，并強(qiáng)調(diào)0表示基準(zhǔn)點(diǎn)、數(shù)的符號(hào)的實(shí)際意義是方向等知識(shí)點(diǎn)。有了這個(gè)鋪墊之后，教師可讓學(xué)生對(duì)照觀察溫度計(jì)的實(shí)物或觀察教材圖片，結(jié)合黑板上馬路的圖示分析溫度計(jì)的結(jié)構(gòu)，0℃是溫度的基準(zhǔn)點(diǎn)，有正負(fù)兩個(gè)方向，這樣讓學(xué)生提前感受原點(diǎn)、單位長度、方向這三要素。最后再引出數(shù)軸的定義和講解，在數(shù)學(xué)中，可以用一條直線上的點(diǎn)表示數(shù)，這條直線叫做數(shù)軸，原點(diǎn)、正方向、單位長度為數(shù)軸的三要素，以此來幫助學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)到數(shù)軸這個(gè)概念。

二、繪制導(dǎo)圖，厘清相互關(guān)系

思維導(dǎo)圖是表達(dá)發(fā)散性思維的有效圖形思維工具，它應(yīng)用到數(shù)學(xué)教學(xué)中可以幫助學(xué)生借助思維導(dǎo)圖的結(jié)構(gòu)框架來深入挖掘知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)涵，思考和總結(jié)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系，在此基礎(chǔ)上調(diào)動(dòng)大腦思維，建立系統(tǒng)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系，促使學(xué)生形成系統(tǒng)的學(xué)習(xí)和思維的習(xí)慣。

例如，以“圖形的認(rèn)識(shí)”作為統(tǒng)領(lǐng)概念，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過繪制思維導(dǎo)圖的方式來對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)中關(guān)于圖形的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行一次系統(tǒng)的梳理與總結(jié)。教師引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立完成平面圖形、立體圖形這兩個(gè)大框架的完善與填充。在學(xué)生完成的思維導(dǎo)圖中，平面圖形選取了三角形、四邊形、圓三個(gè)方向，又將四邊形細(xì)化為學(xué)過的長方形、正方形、平行四邊形、梯形等，補(bǔ)充了其定義、性質(zhì)、周長及面積公式的知識(shí)點(diǎn)。立體圖形以球、圓柱圓錐、長方體正方體為三級(jí)結(jié)構(gòu)，并在思維導(dǎo)圖中繪制了各立方體的模型，加入了表面積、體積公式的知識(shí)點(diǎn)。整體來看結(jié)構(gòu)清晰，內(nèi)容豐富，完成的較為成功。

也就是說，繪制思維導(dǎo)圖的過程就是知識(shí)整合的過程，它更順應(yīng)我們大腦的思維模式，將思維導(dǎo)圖引入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，可以為學(xué)生提供有效的思考框架，記錄和引導(dǎo)學(xué)生的思維過程，通過數(shù)與形的結(jié)合幫助學(xué)生鞏固和記憶數(shù)學(xué)知識(shí)，效果較好，是教師可以關(guān)注的教學(xué)方向。

三、借助數(shù)軸，發(fā)展邏輯思維

數(shù)軸是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)一個(gè)非常重要的工具。在小學(xué)階段，學(xué)生第一次接觸數(shù)軸這個(gè)概念，教師可以將數(shù)軸的學(xué)習(xí)與小學(xué)數(shù)學(xué)中的加減法、分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)等知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系起來，引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)軸的圖示來理解數(shù)學(xué)知識(shí)，感受數(shù)形結(jié)合思想，促進(jìn)學(xué)生的抽象思維能力及邏輯推理能力的共同發(fā)展。

例如，題目是這樣的：在數(shù)軸上，如果點(diǎn)a表示的數(shù)是-2，那么到點(diǎn)a距離3個(gè)單位的點(diǎn)所表示的數(shù)是______。我們就需要用到數(shù)形結(jié)合思想來分析問題。首先畫出數(shù)軸，具體步驟包括畫一條直線、選取原點(diǎn)、正方向、規(guī)定單位長度，接下來在數(shù)軸上用短豎標(biāo)出刻度，數(shù)軸下標(biāo)出數(shù)值。接著對(duì)照題意，找到a所表示的數(shù)-2，要求的數(shù)到點(diǎn)2的距離是3，結(jié)合數(shù)軸可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)數(shù)既可以在a的左側(cè)，也可以在a的后側(cè)，分別是-1和5。這道題的易錯(cuò)點(diǎn)是在數(shù)軸上距離已知點(diǎn)n個(gè)單位長度的點(diǎn)有兩個(gè)，分別位于已知點(diǎn)的兩側(cè)，學(xué)生很容易忽略其中的一個(gè)點(diǎn)導(dǎo)致錯(cuò)誤。但只有學(xué)生養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合的良好思維習(xí)慣，借助數(shù)軸圖來思考和分析問題，就可以盡可能避免這類錯(cuò)誤，提高答題正確率。

學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題的關(guān)鍵就是能夠建立數(shù)與形的聯(lián)系，而數(shù)軸本身就是數(shù)與形結(jié)合的有力工具。作為小學(xué)數(shù)學(xué)教師，不僅要帶領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識(shí)和理解數(shù)軸的定義及其性質(zhì)，建立起數(shù)的位置感和秩序感，還要善于將數(shù)軸與其他數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)及題目聯(lián)系起來，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。

四、動(dòng)手操作，發(fā)展空間想象

如果說聯(lián)系實(shí)物、創(chuàng)設(shè)情境是為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念提供感性材料支持，幫助學(xué)生獲得感性認(rèn)識(shí)的話，教師還要在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步借助多種表征活動(dòng)讓概念表象操作化與活動(dòng)化，讓學(xué)生通過動(dòng)手操作和觀察思考來經(jīng)歷知識(shí)的形成過程，真正理解數(shù)學(xué)事物的本質(zhì)和規(guī)律，加速學(xué)生的認(rèn)知進(jìn)程。

以一道數(shù)學(xué)題目為例：小明將一張正方形紙對(duì)折兩次，如圖所示，在中央點(diǎn)打孔后再將它展開，展開后的圖形是（）。

這道題對(duì)學(xué)生的空間想象能力要求較高，首先一張正方形紙對(duì)折兩次，平均分成4份，每一份上都有一個(gè)小圓圈，可以排除A、C，到這一步大部分學(xué)生都沒有問題。但究竟展開之后是B還是D的形狀，一些學(xué)生在腦海中建構(gòu)不出對(duì)折展開之后的圖形變化，感到難度很大。那么，教師可以讓學(xué)生準(zhǔn)備一張正方形紙，依據(jù)題意將紙對(duì)折兩次，在中間減去一個(gè)圓形后再展開，這時(shí)候通過動(dòng)手操作學(xué)生就可以確定正確答案為B，并通過操作過程更加直觀地觀察到了圖形的變化，我們是沿著正方形的兩邊對(duì)折的，不是沿對(duì)角線對(duì)折的，所以最后展開后的圖形不會(huì)沿對(duì)角線成軸對(duì)稱。就這樣，學(xué)生利用動(dòng)手實(shí)踐的方式直觀清晰地感受到數(shù)與形的結(jié)合與相互轉(zhuǎn)化，有效促進(jìn)了空間想象能力的發(fā)展，課堂教學(xué)較為成功。

五、建構(gòu)模型，快速解決問題

數(shù)學(xué)模型可以理解為用數(shù)學(xué)語言去認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界，解決實(shí)際問題，是溝通數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁。教師在開展教學(xué)時(shí)要善于結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)來設(shè)計(jì)生活實(shí)踐類問題，讓學(xué)生通過習(xí)題訓(xùn)練來理解生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，學(xué)會(huì)構(gòu)建及應(yīng)用數(shù)學(xué)模型巧解問題，提升學(xué)生學(xué)以致用的能力。

例如，題目是這樣的：某小學(xué)五年級(jí)學(xué)生參加運(yùn)動(dòng)會(huì)，此次運(yùn)動(dòng)會(huì)有跑步和籃球兩個(gè)項(xiàng)目，報(bào)名跑步的有31人，報(bào)名籃球的有15人，兩個(gè)項(xiàng)目都報(bào)名的有8人，全班共50人，沒有報(bào)名運(yùn)動(dòng)會(huì)項(xiàng)目的有多少人？這個(gè)題是一道生活實(shí)際類問題，但很多學(xué)生不知道如何列式進(jìn)行計(jì)算，教師就可以引入韋恩圖來幫助學(xué)生理解與建構(gòu)這類型題目的解題模型。韋恩圖是用來展示不同數(shù)據(jù)集合之間的關(guān)系，集合通常用圓來表示，如在這道題目中，我們把報(bào)名跑步和報(bào)名籃球的圓圈連在一起，重疊部分就是兩個(gè)項(xiàng)目都報(bào)名的8人。根據(jù)圖示就可以找到題目中這些數(shù)據(jù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，要想求出沒有報(bào)名的學(xué)生有多少人，需用50-（31+15-8）=12（人），由此便可順利地解決這類型題目，幫助學(xué)生總結(jié)應(yīng)用韋恩圖模型來解決此類型問題的基本思路，教學(xué)效果較好。

也就是說，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的方式可以幫助學(xué)生更加系統(tǒng)地去梳理數(shù)形結(jié)合思想所適用的題目類型，并在這個(gè)過程中去歸納和總結(jié)解題的技巧與方法，達(dá)到優(yōu)化解題途徑、提升解題效率的效果。同時(shí)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想不僅局限于文中提到的聯(lián)系實(shí)物、繪制導(dǎo)圖、借助數(shù)軸、動(dòng)手操作及建構(gòu)模型這幾個(gè)方向，其更多可行性與實(shí)踐策略還有待教師繼續(xù)去思考與探索。