運用辯證法，巧解數(shù)學(xué)題

高保國

摘 ?要：自然辯證法強調(diào)辯證思維和理論思維的重要性，對今天的教育科研和解題教學(xué)很有啟發(fā)和指導(dǎo)意義。自然辯證法可以開拓視野，開闊思路，擴大知識面，改善知識結(jié)構(gòu)，使我們能夠?qū)２┙Y(jié)合，活躍思想，在所學(xué)的各門孤立的知識塊之間建立起聯(lián)系，加深了從整體上對自然界的本質(zhì)、特點和發(fā)展規(guī)律的認識，在頭腦里形成一幅較完整的自然界發(fā)展的辯證圖景，提高理論思維能力，提高自身綜合研究與分析問題的能力，這非常符合交叉科學(xué)時代對科技人才的要求。本文通過幾個實例，對辯證法在解題教學(xué)中的應(yīng)用進行了簡要的論述。

關(guān)鍵詞：自然辯證法;質(zhì)量互變規(guī)律;對立統(tǒng)一規(guī)律;否定之否定;解題

毋庸置疑，自然辯證法為科研工作者提供了科學(xué)的認識論和方法論的指導(dǎo)。著名科學(xué)家錢學(xué)森說：“馬克思主義哲學(xué)確實是指導(dǎo)科學(xué)研究的重要武器，特別是自然辯證法。”著名數(shù)學(xué)家楊樂、張廣厚也認為：“唯物辯證法可以替一切科學(xué)的研究方法規(guī)定一個總的正確方向。”自然辯證法在探討科學(xué)發(fā)現(xiàn)和科學(xué)發(fā)明中的作用日趨顯著。高中生已經(jīng)學(xué)習了辯證法的基本知識，如果在數(shù)學(xué)解題中能夠進行具體運用，必將事半功倍。

恩格斯認為，辯證法的規(guī)律“可以簡化為下面三個規(guī)律：量轉(zhuǎn)化為質(zhì)和質(zhì)轉(zhuǎn)化為量的規(guī)律;對立的相互滲透的規(guī)律;否定的否定的規(guī)律”。下面舉例說明其在數(shù)學(xué)解題中的運用。

一、質(zhì)量互變規(guī)律

唯物辯證法指出：事物的屬性具有質(zhì)和量兩個屬性。量是指衡量事物處在的某種狀態(tài)的數(shù)量或具體形式;質(zhì)是指事物成為它自身并區(qū)別于另一事物的內(nèi)在規(guī)定性。量變是事物連續(xù)的、逐漸的、不顯著的變化，是事物在數(shù)量上的變化;質(zhì)變是事物根本的變化，是一種飛躍，往往表現(xiàn)為突變。質(zhì)量互變規(guī)律，即從量變到質(zhì)變，是說處在不斷的變化之中的事物，在其每次由一種性質(zhì)變化到另一種性質(zhì)的過程中，總是由微小的變化（即量變）慢慢積累開始，當這種積累達到一定程度就會導(dǎo)致事物由一個性質(zhì)變化到另一個性質(zhì)（即質(zhì)變）。量變是質(zhì)變的準備，沒有量變就不會發(fā)生質(zhì)變;經(jīng)過質(zhì)變，在新質(zhì)基礎(chǔ)上又開始新的量變……如此循環(huán)往復(fù)，推動事物無限地發(fā)展下去。因此說質(zhì)量互變規(guī)律揭示了事物發(fā)展的狀態(tài)。在數(shù)學(xué)當中，當數(shù)量發(fā)展到一定程度時，位置關(guān)系就會發(fā)生質(zhì)的改變，因此在解題當中，要注意這種數(shù)量、位置之間的辯證關(guān)系。

二、對立統(tǒng)一規(guī)律（矛盾的規(guī)律）

唯物辯證法指出：一切存在的事物都由既相互對立、又相互統(tǒng)一的一對矛盾組合而成。即所謂“物無非彼，物無非是” 。矛盾著的雙方既對立又統(tǒng)一，從而推動著事物的發(fā)展。因此對立統(tǒng)一規(guī)律揭示了事物發(fā)展的源泉和動力。數(shù)學(xué)所反映的數(shù)量關(guān)系和空間形式同樣也充滿著矛盾、充滿著“對立統(tǒng)一”的內(nèi)容。

例題分析：數(shù)學(xué)題目中的數(shù)與形既矛盾，又統(tǒng)一，數(shù)就是形，形就是數(shù)，數(shù)還是數(shù)，形還是形。如果根據(jù)本題條件中的數(shù)能夠聯(lián)想到長方體當中的體對角線與過同一頂點的三條棱所成角的余弦值的平方和為1，即可利用構(gòu)造法進行證明。

正如羅增儒教授所說，由于一定的數(shù)學(xué)內(nèi)容可以有多種不同的存在形式，同一數(shù)學(xué)形式也可以從多種內(nèi)容去理解，因此，我們的解題思考應(yīng)“廣開門路”，正如數(shù)學(xué)家Hilbert在巴黎世界數(shù)學(xué)家大會上曾說過的那樣：“數(shù)學(xué)學(xué)科是一個不可分割的有機整體，她的生命力正在于各部門之間的聯(lián)系，的確，數(shù)學(xué)最為迷人之處是不同的分支之間有許多相互影響，預(yù)想不到的聯(lián)系有時會奇跡般地展現(xiàn)在你的眼前。”

三、否定之否定規(guī)律

唯物辯證法指出：事物的發(fā)展是一個過程連著一個過程的，過程的更替要通過否定來實現(xiàn)。在事物發(fā)展的長鏈條中，經(jīng)過兩次否定，三個階段——即肯定、否定、否定之否定——就表現(xiàn)為一個周期。因此說，否定之否定規(guī)律揭示了事物發(fā)展的趨勢和道路。需要特別指出的是：否定之否定后的狀態(tài)并不是原有的肯定的狀態(tài)，而是一種更上層樓后的“揚棄”。用列寧的話說就是“仿佛是舊東西在高級基礎(chǔ)上的回復(fù)”，是“內(nèi)容的前進、形式的復(fù)歸”。唯物辯證法指出：事物發(fā)展的總趨勢是前進的、上升的，而道路卻是迂回曲折的，之所以說總趨勢是前進的，正是因為否定不是“拋棄”，而是“揚棄”，是在肯定一部分的基礎(chǔ)上再發(fā)展，是集中了前兩個階段的積極成果后的更加完善。而之所以說發(fā)展是曲折的，是因為事物的發(fā)展是事物內(nèi)部矛盾斗爭推動的。

“自然辯證法”正確地把握了哲學(xué)與自然科學(xué)的關(guān)系，在學(xué)生思維能力發(fā)展中的作用主要有以下幾個方面：（1）自然辯證法作為一種哲學(xué)，雖然它并不能代替具體科學(xué)，但可以為具體科學(xué)提供世界觀和方法論的指導(dǎo)。（2）自然辯證法有助于培養(yǎng)和提高學(xué)生的理論思維和科技實踐能力，有助于形成正確的科學(xué)思維、思路、方法和精神、有助于科學(xué)修養(yǎng)的加強、有助于正確選擇重點，合理運用調(diào)控手段、有助于啟發(fā)思路、改進方法、獲取突破性進展。（3）學(xué)習自然辯證法有利于拓展學(xué)生的知識面，有利于增強科學(xué)研究的預(yù)見性、創(chuàng)造性、系統(tǒng)性、科學(xué)性，克服學(xué)習研究中的盲目性、機械性、曲折性、搖擺性。（4）學(xué)習自然辯證法有助于學(xué)生樹立辯證唯物主義的世界觀，掌握科學(xué)方法，形成良好的綜合科學(xué)素質(zhì)和健全人格。（5）學(xué)習自然辯證法有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神。（6）有助于青年學(xué)生形成正確的世界觀、人生觀、價值觀和方法論。而這恰恰是我們要解決的問題。

自然辯證法既保持了傳統(tǒng)哲學(xué)追求智慧形而上品格，又具有現(xiàn)代科學(xué)追求知識形而下品格，是科技時代人類智慧楷模;它既蘊涵自己的世界觀、人生觀、價值觀，又是一種科學(xué)方法論，自然辯證法與自然科學(xué)相互作用，相互促進，共同發(fā)展。在科學(xué)研究這個領(lǐng)域，自然辯證法和自然科學(xué)是密不可分的。鑒于此，希望大家在解題過程中，用好辯證法，巧解數(shù)學(xué)題。

參考文獻：

[1]羅增儒. 高中數(shù)學(xué)好題巧思妙解 [M].西安：陜西師范大學(xué)出版社，1997.

[2]莫頌清.一道平幾題的純幾何證明[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，1985，1：46-47.

（作者單位：任丘市第一中學(xué)，河北 ? 任丘 ? 062550）