“解決問題策略”教學的要素思維培養

摘 要 教學“解決問題策略”時，教師需要以新的教學視角轉變教學觀念、創新課堂結構，引領學生在分析數量關系的過程中深刻理解“必備概念”和“必要信息”等題中要素，引發學生產生針對性的數學思考，生成對應的要素思維，促進常態思維和一般方法的靈活化、針對化、新穎化和創造化，繼而實現思維策略化，最終感悟“解決問題策略”的數學思想方法。

關? 鍵? 詞 要素思維 教學視角 思維分析

引用格式 于正軍.“解決問題策略”教學的要素思維培養[J].教學與管理，2022（05）：32-36.

探索“解決問題策略”單元的教學，其目標必然指向學生策略意識和策略思維的培養與形成，最終領悟“解決問題策略”的數學思想方法。然而，一線教師在教學這部分內容時依然受制于傳統的教學視角：一方面，教師在教學過程中未能深入理解教材的編寫意圖，窄化了“解決問題策略”單元的教學目標，直接把“解決問題策略”的教學異化為傳統的應用題或實際應用的教學，甚至淪落為數學練習題講解課，不能體現其教學思想，達成其應有的教學目標;另一方面，教師在引導學生分析實際問題中的數量關系時沒有形成相應的“要素思維”，遠離了“解決問題策略”單元的教學能力目標。因此，在教學“解決問題策略”單元內容時，需要以新的教學視角轉變教學觀念，引領學生在分析數量關系的過程中深刻理解“必備概念”和“必要信息”等題中要素，引發學生產生針對性的數學思考，生成對應的要素思維。要素思維是學生在理解數量關系過程中習得數學思想方法必備的思維因素，有必要從非要素思維和要素思維“二維”教學視角對“解決問題策略”單元的教學實踐作思維分析，讓要素思維成為當下“解決問題策略”單元追尋的教學新視角。

一、在類比分析中培養要素思維

類比分析的思維方法無時不貫穿于數學運算和解決實際問題過程中，是學生形成科學的運算思維，培養分析問題和解決問題意識的重要數學思想方法。因此，教師引領學生分析具體數量關系時，不應急于將數量關系的分析與理解直接聚焦于探索具體的計算方法上，而要啟發學生探索實際問題中數量關系的關鍵要素及其思維聯系，進行類比分析、有序思考，使學生經歷實際問題的生成過程，逐步逼近問題解決的數學本質，自然探索解決實際問題的運算方法，從而幫助學生形成相應的數學要素思維能力和策略思想方法。

例如，教學蘇教版《數學》三年級下冊“從問題想起的策略”。

1.非要素思維教學視角分析：看重問題的解答方法，忽視問題的形成過程

首先，出示例題主題圖：從圖中你知道哪些信息？如此直接提問，只能反映學生對例題主題圖中具體內容的觀察與關注，使學生在交流時僅僅根據圖中的內容信息進行直觀復述，而不去思考圖中運動服飾的類別以及價格之間的差異特征。接著，引出所求問題：“最多剩下多少元”表示什么意思？直接引出所求問題并追問其含義，反映了教師只是一味地帶領學生機械地理解所求問題的字面含義，迫使學生被動接受“總量-最少用去量=最多剩下量”的數量關系式。學生無法經歷實際問題的生成過程，難以體會所求問題的實際價值和現實意義，阻礙學生形成策略的主動意識和思維方法。

2.要素思維教學視角分析：經歷問題的生成過程，彰顯問題的現實價值

首先，教師引導學生仔細觀察例題主題圖，并相機啟發：圖中有不同的運動服、運動鞋和帽子，哪種價格貴一些？哪種便宜一些？在問題中滲透類比分析的思維要素，學生會在要素思維的驅動下，用數學的眼光和數學的思維去審視例題主題圖，凸顯數學問題中要素思維的啟迪功能。因為學生不僅要觀察主題圖中有什么，更要思考、比較不同運動服飾之間的價格差異，助推學生尋找諸如“最貴或最便宜的運動服、運動鞋和帽子”等要素信息，為解決“最多剩下多少元”形成“從問題想起的策略”的思維方法提供有效的數量依據。在學生分析例題主題圖數量的基礎上，教師順勢利導：用300元買這些運動服飾可能還剩多少錢？“可能”凸顯了問題的開放性，賦予學生廣闊的思維空間，直指“從問題想起的策略”的思維要素。由于學生選擇不同的買法得到不同的剩余錢數，使學生切身體會了“剩下錢數多與少”與“所用錢數多與少”之間的依存關系，自然經歷了哪一種買法剩下的錢最多、哪一種買法剩下的錢最少的類比分析的思維過程。由此，所求問題“買一套運動服和一雙運動鞋最多還剩多少元”的要素思維在學生分析、比較的數學思考中自然生成，學生也自然體驗了“從問題想起”的策略思維及意識的形成過程，感悟了“從問題想起的策略”的數學思想方法，促進了解決實際問題中數學要素思維的自然建構。

二、在認知沖突中培養要素思維

在探究新知的過程中，學生的已有認知一旦形成沖突，就會激發學生產生新的探究欲望和認知動力，促進學生形成主動思考和積極思維的認知心理和學習情感。所以，教師在創設數學問題時要準確把握新、舊知識之間的聯系，助推學生數學思維方法的自然遷移，在遷移中產生新的認知沖突，不斷激勵學生自主分析數量關系中的思維要素，形成“解決問題策略”的要素思維和數學方法。

例如，教學蘇教版《數學》四年級下冊“畫線段圖的策略”。

1.非要素思維教學視角分析：理解題意行于表面，畫圖策略流于形式

例題揭示后，教師直接引導學生理解題意：從“小春比小寧多12枚”這個條件，說一說小寧和小春誰的郵票多？如果用線段圖表示應該怎么畫？如此創設問題并刻意要求學生畫線段圖表示數量關系，會把學生的數學認知自發引向數量關系意義的思維表層，未能觸及數量關系背后的要素思維。忽視了基于實際問題的結構特征對學生已有知識經驗激活的有效促進，導致學生未對數量關系進行深入分析，從而使學生喪失畫線段圖的主觀愿望和內在需求。教師在課堂上要求學生用線段圖表示題中的已知條件和所求問題后，緊跟著提問：根據圖中的信息可以怎樣列式解答？如此教學，教師走入把畫幾何圖形等同于幾何直觀的教學誤區，忽視了線段圖在幾何直觀思維培養方面的啟迪功能，只是簡單地把文字應用題轉化為圖畫應用題，缺失了對學生幾何直觀能力和畫圖策略意識的培養。

2.要素思維教學視角分析：數量分析直抵本質，幾何直觀啟迪方法

課始，教師提問：從題中“小春比小寧多12枚”這個條件，你想到了什么？有的學生答：小寧比小春少12枚？有的學生答：小春郵票數多，小寧郵票數少。教師趁勢追問：他們兩人郵票數量相同嗎？此時學生若有所悟，并隨機插話“先把他倆的郵票數變得同樣多”。如此引導學生圍繞問題的數學本質開展數量關系分析，不僅引領學生基于解決問題的策略自主挖掘數量關系中隱藏的思維要素，還激發了學生主動畫線段圖的內在需求，有利于學生直觀感知線段圖變化中數量之間的對應關系，感悟畫圖策略的思維啟迪功能。在學生自主畫線段圖表示題中數量關系的基礎上，教師相機反問：同學們想到了用直觀形象的線段圖表示小春和小寧郵票數量之間的關系，你們是怎么想到的？有學生答：可以把小春和小寧郵票數同樣多的樣子在線段圖上畫出來。學生在“將兩人郵票數變得同樣多”的要素思維的驅使下，自主展開對線段圖“割、補、分”的動手操作活動。在操作過程中，學生的數學思維被自然激活，不僅主動感知畫圖策略的直觀功能，而且根據線段圖的本質特征自主探索了小春和小寧郵票數同樣多的三種思維方法（小春變得和小寧同樣多，總數減少12枚;小寧變得和小春同樣多，總數增加12枚;小春給小寧6枚后兩人變得同樣多，總數不變）。學生借助線段圖的幾何直觀，深深地體悟到畫線段圖的策略功能不是簡單表示出題中的數量關系，不僅是“信息直觀”，而且讓抽象的代數關系與思維方法直觀化，從而實現啟迪思維，感悟策略的數學效能。

三、在觀察變化中培養要素思維

觀察能力是數學學習的基本核心素養，學會觀察是學生學好數學的必備能力。引領學生觀察圖形變化，自主探索圖形變化中的數量關系，是發展學生空間觀念和策略意識的必然前提。因此，在發現問題和分析問題的過程中，要適時引導學生在圖形變化中觀察、在觀察中聚焦思維，促使學生捕捉數量關系中的要素信息，建構“解決問題策略”的要素思維，在解決實際問題的過程中形成應有的策略思想和數學方法。

例如，教學蘇教版《數學》四年級下冊“畫示意圖的策略”。

1.非要素思維教學視角分析：強調局部變化的分析，缺失整體思維的建構

出示例題主題圖后，引導學生理解題意：花圃的長增加3米可以怎樣畫圖？此問題的思維視角只是提醒學生關注是把長方形的長延長還是把寬延長，繼而要求學生思考把長延長的畫圖方法，不能有效促進學生對所求實際問題中要素思維的探索，不利于學生架設已知條件與所求問題之間的思維引橋。在教師帶領學生畫出示意圖后，再次追問：從圖中你知道了哪些信息？現在你會求原來花圃的面積嗎？此時學生只是經歷了根據題意畫出相應的示意圖的過程，思維始終行走在例題的題意表述與畫圖的方法之間，還未對數量之間的關系以及圖形的變化特點進行必要的思維分析，缺失了對策略意識和策略思維的有序培養和整體建構。

2.要素思維教學視角分析：凸顯概念本質的理解，突出幾何直觀的培養

在學生畫示意圖之前，教師引導學生進行“前置”思維想象：想一想花圃的長增加3米后，花圃的形狀應該是什么樣子？學生在課堂上自發地用雙手對變化后的花圃形狀進行“比劃”，從學生的手掌沿著水平方向向外拉這一數學操作，說明學生對變化后花圃的樣子進行了直觀建構。如此引導，使學生在理解題意時不僅要關注“線”的延長，更加關注“面”的增加，“花圃的長增加3米”中的思維要素被充分挖掘，凸顯了該問題設計中要素思維的效能。從而助推學生的思維更加逼近例題的編寫意圖和數學概念的思維本質，培養了學生幾何直觀能力，增強了學生自主畫圖的策略意識和主動思考的思維習慣。

在學生動手比劃和空間想象的基礎上，教師相機要求學生畫出示意圖并引發思考：你從這個示意圖中看到了哪些面積？如此設問的要素思維自然激發學生用聯系的眼光觀察示意圖中每一部分的面積，而不是機械地要求學生用孤立的眼光在示意圖中直接尋找原來花圃的面積。從而促進學生在圖形的變化中主動思考原來的面積、現在的面積以及增加的面積各個部分之間的數量關系，探索圖形數量關系之間的條件要素，為學生自主建構畫示意圖的數學策略提供了認知方法和活動經驗。

在學生觀察示意圖時，教師進一步啟迪：咱們在觀察示意圖時注意力應該集中在哪一部分面積上？如此引導，為學生的數學思考指明了方向，直指畫圖策略的要素思維。打破了學生為急于得到所求結果，而把思維機械定勢在示意圖中“原來花圃的面積”那一部分，無法探尋所求問題的必要條件。因為“變化的面積”才是解決此類題型的思維突破口，學生需要關注“變化的面積”才能探索出解答原來花圃面積的必要條件，形成必要的策略方法。因此，只有在引領學生觀察的過程中滲透要素思維，學生的觀察才能聚焦，思維才有方向，畫示意圖的數學策略功能才能在學生的數學思考中得以彰顯，實現策略意識和思維方法的真正形成。

四、在自主審視中培養要素思維

轉化的數學思想凸顯了數學思維的直觀性、數學認知的或然性以及數學方法的巧妙性等特點，符合兒童的思維特征和認知特點。因而，轉化策略意識的培養需要凸顯兒童幾何直觀認知中的要素思維，引領學生在直觀審視中促進認知方式的轉變和思維悟性的提升。在兒童的認知世界里，圖形轉化理應基于圖形固有特征方可實現，學生需要通過要素思維審視圖形轉化的潛在特征，才能基于已有知識經驗，在探索“解決問題策略”的過程中，經歷不斷優化思維方法的過程，促進轉化策略的自然形成。所以，教學時需要基于圖形本身的固有特點引領學生進行直觀審視，在充分把握圖形特征的基礎上激活學生的已有認知和知識經驗，激發學生主動探究的求知欲望，從而點燃學生幾何直觀認知中的要素思維，在不同數學方法的體悟和甄別中，主動形成轉化的策略意識和思維方法，積累轉化思想的活動經驗，彰顯轉化思想的數學價值。

例如，教學蘇教版《數學》五年級下冊“轉化的策略”。

1.非要素思維教學視角分析：忽視轉化前置的思維審視，忽略轉化策略的直觀認知

教師在課堂上引出例題主題圖，通常要求學生根據自己的認知經驗直接猜一猜：這兩個圖形哪個面積大一些？學生在課堂上不加思索，隨意猜測。爾后，教師直接要求學生根據已有的知識經驗想辦法驗證哪個圖形的面積大一些。如此教學，學生始終處以一種被動探索和被動轉化的學習狀態，無法實現對轉化策略的思維方法與數學思想的感悟。

2.要素思維教學視角分析：激發兒童認知新沖突，激活學生思維新靈感

教師引出例題主題圖后，沒有直奔所求問題，而是從兒童的認知現實出發，引導學生自主審視兩幅圖的樣子，它們像什么？如此兒童化的“生活設問”，激發了學生主動觀察圖形特征的認知興趣，激活了學生已有的認知經驗。學生從各自的生活經驗和審美認知進行形象表達，符合學生的認知特點和心理特征，凸顯了基于兒童認知視角的要素思維的數學啟迪功能，為進一步探索轉化的策略方法提供了積極的思維審視和觀察認知。

在學生對兩幅圖以生活化的審美視角交流的基礎上，教師緊扣轉化策略的思維要素，順勢引出“數學設問”：這兩個圖形不是我們學過的規則的數學平面圖形，不方便直接數方格或通過直觀觀察直接計算進行比較，但這兩個圖形也有各自特別的地方，它們也有規則的地方，誰能說說這兩個圖有哪些特點？有什么共同的特點？如此從“生活設問”的感性認知思維上升到“數學設問”的理性認知思維，是從兒童的思維現實出發，基于兒童的認知起點及時施予要素思維的啟迪，激發了學生新的認知沖突，激活了學生的思維新靈感。學生此時自然對這些圖形進行“解剖”，發現這兩個圖形在“不規則”的背后也隱藏著“規則”的地方，即這兩個圖形中均隱含著諸如“半圓”的規則圖形，這些“規則”的地方是實現圖形轉化的要素條件，必然會助推學生內心深處產生由“不規則”向“規則”轉化、由“可以數”向“可計算”轉化的內心驅動和思維沖動。學生交流圖形特點的同時，凸顯了思維轉化的必要條件以及方法轉化的必要因素，從而使學生在自然生成要素思維的基礎上，形成轉化策略的意識，感悟轉化策略的數學思想方法。

五、在應用感悟中培養要素思維

在解決問題的策略教學中，每當到了課堂鞏固練習的教學環節，教師時常“教、練”分離，全然不顧“解決問題策略”的教學目標。所以，在講解“解決問題策略”的課堂練習題時，需要引領學生跳出習題去練習，緊扣策略教學的課堂目標，深刻體會習題的編寫意圖，深入探索習題中的思維要素，“于策略中思考練習，在應用中感悟策略”。

例如，教學蘇教版《數學》五年級下冊“轉化策略”一課的課堂鞏固練習。

2.用分數表示各圖中的涂色部分。

1.非要素思維教學視角分析：從練習的角度解決問題，從問題的解決鞏固練習

在常態教學中，一線教師直接要求學生根據題意用分數表示各圖中的涂色部分。孰不知，學生的觀察注意力一旦集中到圖形的涂色部分，關于分數的已有知識經驗立即被激活，全然忘卻本節課轉化策略思想方法的學習和感悟，直接依據分數的知識概念進行判斷。這種“就題解題”式的練習教學，只能強化對練習題中知識概念的機械鞏固，而偏離“解決問題策略”練習題的教學目標，弱化解決問題策略練習題的數學價值。

在集體交流環節，教師習慣性地追問學生：你是怎么想的？學生的思考僅僅停留在“圖形運動”的認知思維里，立足于從分數意義的知識概念角度，專注于解題結果的獲得，忽視了對圖形運動過程中轉化策略要素思維的深入感悟。

題中第三幅圖的圖形特征時常會使學生產生“涂色部分占? ”的視覺錯誤，為驗證、判斷? 和? 兩種結果的正確性，課堂上被動開展小組交流、動手操作、課件動態演示等數學活動，無法培養學生解決問題策略的思維方法，感悟轉化策略思想。

2.要素思維教學視角分析：以策略的思維解決問題，以問題的解決感悟策略

策略意識的培養，需要從兒童的認知特點出發，以策略的眼光理解題意。所以，學生觀察圖形時，理應從要素思維視角啟迪：你能直接看出這些圖形中的涂色部分占整個圖形的幾分之幾嗎？此問題中的思維要素“直接看出”符合兒童的認知思維特點，激發了學生的認知沖突和數學探索的內心沖動。因為學生從圖中只能直接看出平均分的份數，卻不能直接看出涂色部分所占的份數，從而激發學生對圖中涂色部分“重新涂色”的欲望，凸顯了學生對涂色部分圖形進行轉化的主動意識，彰顯了要素思維的啟迪功能。

為了使學生形成運用思維解決問題的習慣與技能，在學生產生主動轉化的需求后，還需要進一步引領學生對轉化的策略思想進行深入感悟和充分表達：你是怎么想到要對圖中的涂色部分進行平移和旋轉的？這樣引導可以促使學生如此表達：這樣操作是把涂色的兩部分轉化成一個涂色整體，從而進一步引導學生感悟：這樣操作是把非整份數的涂色部分轉化成整份數的涂色部分。學生在充分表達轉化體驗的過程中，自然感知到轉化策略在解決實際問題中的便捷性和優越性。

課堂上，教師引出題中第三幅圖后直接設問：這個圖形中涂色部分還需要轉化嗎？如此引導的要素思維直抵學生對轉化必要性的判斷及轉化價值的體會，促進學生對圖形特征的深入觀察與深度分析，從而激發學生產生新的認知需求。因為此時學生眼中的涂色部分是一個規則的正方形，無需對它的形狀進行變化、重組，在學生內心深處自然不會產生轉化的心理欲望，符合學生的認知思維。如此“兒童化”認知自然引發學生產生認知沖突：轉化不是簡單地把所謂的不規則圖形轉化成規則的圖形。此時學生在課堂上開始發出不同的聲音：需要把這個正方形轉化成不規則的圖形。在轉化策略的啟迪下，學生深切地感悟到把規則圖形向不規則圖形轉化的策略思想，實際上是把“涂色部分非整格數向整格數轉化”。也有學生運用前兩幅圖轉化的方法，把問題先轉化成求空白部分的面積占整個圖形幾分之幾，繼而求出涂色部分面積占整個圖形幾分之幾。故而，教學時要從鞏固習題的“內容深處”啟迪學生的要素思維，以策略的視角引領學生解決問題，而不是讓學生的思維停留在練習題的“概念表層”，機械解題，阻礙解決問題中的策略感悟。

綜上所述，“解決問題策略”單元教學的教學目標，是引領學生在已有知識經驗的基礎上，促進常態思維和一般方法的靈活化、針對化、新穎化和創造化，繼而實現思維策略化。在學生深度感悟實際問題知識結構特征的基礎上，分析數量關系中的必備條件和必要因素，繼而形成分析問題中的要素思維，讓要素思維自然成為課堂教學的新視角、新路徑和新方向。不斷轉變學生的思維方式，促進以策略的思維解決實際問題的數學思想方法的形成，催生數學核心素養在要素思維的課堂上扎根、發芽和生長。

[責任編輯：陳國慶]