旋轉紙牌飛行動力學建模與飛行軌跡分析

于錫澤，楊珺喆，劉昕雨，張翀

（沈陽航空航天大學，遼寧沈陽，110136）

0 引言

扔紙牌是受人們普遍喜愛的一項運動，它操作簡單，只需將紙牌用無名指和中指及拇指夾住，再把手腕蜷縮成圈，奮力甩出，即可使紙牌按一定的飛行軌跡飛出。我們不難觀察到紙牌飛行時會出現兩種現象：總有一個時刻，紙牌的平衡狀態會被打破，最終飄向地面，并且初始角速度越大，平衡持續時間會越長；飛行中的紙牌會產生水平方向的偏移運動。

我們做一組對照試驗：將一水平放置的紙牌從一定高度做自由落體運動，記錄落地時間；將同一張紙牌水平放置到同樣高度，給予一定角速度并使其做自由落體運動，記錄落地時間。通過對照試驗可觀察到紙牌飛行的第三種現象：旋轉的紙牌下落時間更長。

簡單分析以上三種現象的條件差異，不難發現紙牌飛行存在三個條件變量：初始線速度、初始角速度和初始角度。上述三種現象如何解釋以及三種初始條件如何決定紙牌的飛行軌跡，還有待做出進一步研究。

1 紙牌飛行動力學分析

1.1 紙牌動力學分析

紙牌在飛行過程中至少會受到重力與空氣阻力，其中空氣阻力可分為垂直于紙牌平面的力，簡稱垂直阻力，和平行于紙牌平面的力，簡稱平行阻力。我們把這些作用力等效為一個隨時間不斷變化的力與力偶的疊加效果，記為。該作用力隨時間的積累會造成角動量L的改變，使紙牌角速度與線速度的角度差值變小，也因此會進一步增大垂直阻力。記角速度方向與線速度的角度差值為α，k為常數，根據角動量公式：

其中M∝sinα?M=k×sinα

根據矢量變化關系及洛必達定理[1]有：

結合公式(1)(2)，并做進一步運算得：

由于紙牌本身具有質量輕、易變形、面積大的特點,紙牌在飛行中易受到氣流作用，由上述公式推導可知：空氣阻力大小取決于角度差值α，而且角度差值α也受到角動量大小影響，所以角動量的大小就間接的決定了空氣阻力對角動量本身的影響；角動量越大角度差值及空氣阻力就越不宜改變，進而角動量的變化速度就小。當角動量變化速度達到某一值時紙牌會失去穩定特性，因此在相同條件下初始的角動量越大，紙牌穩定狀態就越不容易打破。

1.2 紙牌進動分析

一個陀螺逆時針旋轉，自身軸線會產生繞z軸的角速度，這是由于重力矩使陀螺角動量改變[2]，記陀螺對中心軸的轉動慣量為I，角動量為L，進動角速度為ω進，自轉角速度為ω自，陀螺質心到軸底端距離為d，則有：

進一步化簡得：

將紙牌飛行模型類比陀螺進動模型，認為：紙牌繞其質心的速度方向偏轉的角速度為進動角速度ω進，繞垂直于紙牌面且過質心的方向旋轉的角速度為自轉角速度ω自。當紙牌受到平行于紙牌方向的力時，就會有紙牌進動現象的發生，從而使偏轉角不斷疊加。在偏轉角度與垂直空氣阻力共同作用下，紙牌會產生水平方向上的偏移。

1.3 紙牌馬格努斯效應

旋轉紙牌飛行中產生的馬格努斯力來自于紙牌的兩面空氣流速不同所導致的壓強差[3]，以旋轉紙牌由水平狀態自由下落為例，如圖1所示。

圖1 馬格努斯力示意圖

旋轉的紙牌在空氣中下落時，紙牌的底面對氣體進行一次加速后，紙牌的頂面會再次對氣體進行加速。設紙牌旋轉角速度為ω，紙牌平均半徑為R，根據伯努利方程：

紙牌下部氣體流至紙牌上部后會經紙牌旋轉加速，且有：

紙牌兩側的壓力差產生一個垂直紙牌向上的馬格努斯力，記為FM，其大小為

紙牌的旋轉會給流經的氣體產生兩次加速，同樣也導致了紙牌上方氣體流速要大于上方，根據伯努利定理流體速度增加將導致壓強減小，因此紙牌會受到一個由高壓指向低壓方向的力，即垂直紙牌向上的馬格努斯力。在該力的作用下，克服重力，使得在同樣高度下落地時間要長于非旋轉的紙牌。

2 紙牌飛行動力學建模與軌跡仿真

2.1 動力學模型建立

為了計算方便我們以水平拋擲紙牌為例分析，以拋擲處的紙牌質心為坐標原點，以豎直向上方向為z軸方向，以初始速度方向為x軸方向，以右手準則確定y軸，建立笛卡爾坐標系，令進動角速度為ω1，自轉角速度為ω2，初始速度為v0。如圖2所示。

圖2 動力學模型圖

對于飛行中任意時刻，紙牌所受到的作用力包括：重力G、空氣阻力Ff、馬格努斯力FM。記紙牌在某一時刻速度為v，進動角度（繞x軸轉動角度）為θ1，速度與水平面夾角為θ2，如圖3所示。

圖3 紙牌受力分析圖

通常情況下，我們認為空氣阻力與速度的n次方成正比，具體形式如下：

公式 （9）中C為空氣阻力系數；ρ為空氣密度；S0為物體特征面積；v為物體與空氣的相對運動速度；n為空氣阻力指數[4-6]。紙牌表面的雷諾數Re?1，所以空氣阻力指數n取2；對于紙牌的特征面積S0，與紙牌面積S以及迎風角（即θ2）有關，且有S0=Ss inθ2。記所有常系數的乘積為k1，則飛行中的紙牌受到的空氣阻力表達式：

記k2、k3為常數，由于飛行紙牌受到的平行阻力與自轉角速度有關，對公式（5）進行積分可推導進動角度θ1與時間t及自轉角速度ω2關系：

根據公式（7）可推導紙牌受到的馬格努斯力表達式：

2.2 常系數求解

給常系數設置范圍及步長，帶入推導公式，將計算出來的結果作為理論值。通過實驗測量實際數據，作為實際值。把理論值與實際值帶入最小二乘法公式，將其作為模式搜索法[7]的目標函數，記為φ(k)，利用matlab軟件找到φ(k)函數取得最小值時對應的常系數值，該值即為常系數的最優解。以求解空氣阻力表達式中常系數為例。

為了更好求得空氣阻力式中的常系數，就要盡最大可能減少其它不確定力的存在，而沒有自轉就不會產生馬格努斯力，因此將水平放置的紙牌從某一高度放下，使其做非自轉的自由落體運動。錄制并逐幀觀察紙牌的下落視頻，記錄5組落地高度與落地時間，見表1。

表1 高度與時間數據表

理論上落地高度與時間有如下關系：

其中速度可通過運動學方程求出，常系數k1搜索范圍設為0至0.01，步長設為0.0001。利用matlab軟件進行計算，求出的φ(k1)函數圖像如圖4所示。

圖4 目標函數結果圖

可以得出結論：當k1=0.0043時，目標函數φ(k1)有最優解。將該值代入高度與時間的理論關系，得到幾組理論落地高度，同見表1。

紙牌進動角度與馬格努斯力表達式中常系數的求解方法與上文基本一致，但在測量數據方式上有些差異。在測進動角度參數的實驗中，需要保持紙牌水平拋擲并且給與初始速度與角速度，記錄偏轉角度與偏轉時間，并且其二者理論關系上文已提及；在測馬格努斯力參數的實驗中，需要將紙牌水平放置并使其從某一高度旋轉、自由下落，記錄落地高度與落地時間，并且可推導其二者理論關系為：

用同樣的求解方法，最終求得k2=2.92；k3=7.15×10?6。

2.3 紙牌飛行軌跡求解

由牛頓定理得非線性微分方程：

vx,vy,vz,v以及進動角度θ1,速度與水平面夾角θ2隨時間發生變化，且有以下關系：

方程（14）、（15）無法用解析法求得，只能用數值求數。利用matlab給出的ode45()函數，實現變步長龍格-庫塔算法[8-9]。由于該推導公式是由水平拋擲得出的，所以只能對初始線速度、初始角速度這兩個初始量做出討論。改變初始速度與角速度大小并輸入matlab軟件中，作為變量的初始值，分別求解理論軌跡，得到結果如圖5所示。

圖5 不同初始條件紙牌飛行軌跡

其中條件1為ω0= 30rad/s,v0=7.5m/s;

條件2為ω0= 40rad/s,v0=7.5m/s;

條件3為ω0= 50rad/s,v0=7.5m/s;

條件4為ω0= 40rad/s,v0=5m/s;

條件5為ω0= 4 0rad/s,v0=10m/s。

3 實驗驗證

3.1 實驗原理

采用的實驗裝置由紙牌、紙牌發射器、傳感器、處理器以及數據顯示器五大部分組成，見圖6所示。紙牌發射器能利用皮筋的勢能轉換發射紙牌，并且可調節紙牌發射時的初始角速度以及初始速度；傳感器包括角速度傳感器及速度傳感器，能夠測量速度及角速度的大小，并可上傳至處理器；處理器則能接收傳感器信號，并與顯示器相連，將數據顯示到顯示器上。

圖6 實驗裝置圖

基于上述實驗裝置我們可以對發射紙牌的初始條件進行調節，并且可以采取定高測距的方法測量某一初始條件下紙牌經過的位置坐標。將發射裝置置于某一高度并發射紙牌，測量紙牌落地點到發射處的水平橫縱距離，這樣即可準確測量紙牌飛行軌跡的一組數據。調整發射高度并反復這一過程，可求解某一初始條件下的多組軌跡點數據。

3.2 理論軌跡驗證

為了驗證上文中理論軌跡的合理性并且進一步分析初始速度與初始角速度對紙牌飛行軌跡的影響，以條件1～5為初始條件，分別測量實際軌跡點坐標。將條件1、2、3測量的點以及理論軌跡繪制到同一幅圖片中，如圖7所示，可得到初始角速度對紙牌軌跡的影響規律：同一高度下，初始角速度大小與x軸向和y軸向位移成正比，且y軸向位移更為明顯；角速度越大紙牌落地時間越長。將條件2、4、5測量的點以及理論軌跡繪制到同一幅圖片中，見圖8所示，可得到初始速度對紙牌軌跡的影響規律：同一高度下，初始速度大小與x軸向位移成正比且較為明顯，而與y軸向位移無關。并且行經點與理論軌跡有較高的重合度，證明了紙牌飛行軌跡公式的合理性。

圖7 以角速度為變量軌跡圖

圖8 以速度為變量軌跡圖

4 結語

結合空氣動力學以及流體力學等知識對紙牌飛行問題進行研究，既能夠提高學生對物理學的興趣，也能增強他們對問題的分析、解決的能力。本文通過對紙牌進行力的分析以及與陀螺進動現象的類比，對旋轉紙牌飛行的三種奇妙現象做出了解釋，并推導出了含有參數和系數的力的表達式，又通過實驗得到的數據將系數求解出來，給定初始條件，借用matlab軟件對軌跡坐標進行求解。最后通過實驗驗證了本文軌跡推導的合理性，并且也得到了初始速度與初始角速度對飛行軌跡的影響規律。但是本文關于軌跡的研究是建立在水平拋擲的條件上，因此對影響軌跡的因素的研究還有待進一步完善，建議結合Tracker軟件進行討論。