關于BRK-代數的Pythgorean 模糊BRK-理想研究

宋愛麗

（喀什大學 數學與統計學院，新疆喀什 844000）

0 引言

自從Zadeh 引入模糊集概念以來，許多學者研究和討論了模糊集概念的推廣.文獻[1,2] 引入了直覺模糊集的概念，研究了它的相關性質.文獻[3]引入了Pythgorean 模糊集的概念，研究了它的相關特性.Pythgorean 模糊集是直覺模糊集的推廣.隨后模糊集、區間值模糊集、直覺模糊集等概念給廣泛應用于各類代數系統，得到了許多有益的研究成果[4-7].作為BCK/BCI-代數的推廣，文獻[8]引入BRK-代數的概念，文獻[9,10]討論了BRK-代數的模糊結構，研究了BRK-代數的模糊子代數以及模糊BRK-理想及其相關性質.

本文將Pythgorean 模糊集的概念應用于BRK-代數，引入BRK-代數的Pythgorean 模糊BRK-理想的概念，研究它們的模糊特性，以豐富BRK-代數的模糊理論.

1 預備知識

為后面討論方便，先給出一些相關概念和結論.

非空集X上的直覺模糊集形如

其中μA(x):X→[0,1]，νA(x):X→[0,1],并且對任意x∈X,0 ≤μA(x)+νA(x) ≤1.為方便起見用A=(μA,νA)表示直覺模糊集.

假設αA(x):X→[0,1]，βA(x):X→[0,1],并且對任意x∈X,0 ≤(x)+(x) ≤1,則稱A=(αA,βA)為X上的Pythgorean模糊集[3].

定義1.1[8]設X為非空集合，常元為0，若X上的二元運算“*”滿足:

則稱(X;*,0)為BRK-代數.

性質1.1[8](X；*，0)為BRK-代數，則對任意x，y∈X，有：

（1）x*x=0；（2）x*y=0 僅當0*x=0*y；

（3）0*(x*y)=(0*x)*(0*y).

定義1.2[8]BRK-代數X的非空子集S稱為BRK-子代數，若對任意x,y∈S都有x*y∈S.

定義1.3[8]BRK-代數X的非空子集I稱為BRK-理想，如果下列條件成立：

（I1）0∈I；（I2）對任意x，y∈X，若0*(x*y)∈I，0*y∈I.

則0*x∈I.

定義1.4[9]設μ是BRK-代數X上的模糊集，若對任意x,y∈X，都有

則稱μ是BRK-代數X上的模糊BRK-子代數.

定義1.5[10]設μ是BRK-代數X上的模糊集，若對任意x,y∈X,都有

(FI1)μ(0) ≥μ(x)；

(FI2)μ(0*x) ≥min{μ(0*(x*y)),μ(0*y)}.

則稱μ是BRK-代數X上的模糊BRK-理想.

2 BRK-代數的Pythgorean 模糊BRK-理想

定義2.1設X是BRK-代數，A=(αA,βA)是X的Pythgorean 模糊集，若對任意x,y∈X，下列不等式成立：

則稱A=(αA,βA) 是BRK -代數X的Pythgorean 模糊BRK-理想.

定理2.1BRK-代數的直覺模糊BRK-理想一定是Pythgorean 模糊BRK-理想，但是BRK-代數的Pythgorean 模糊BRK-理想未必是直覺模糊BRK-理想.

證明假設A=(αA,βA)是BRK-代數X的直覺模糊BRK-理想，則A=(αA,βA)是X的Pythg?orean 模糊集，并且對任意x,y∈X，有

故A=(αA,βA)是BRK-代數X的Pythgorean 模糊BRK-理想.

BRK-代數的Pythgorean 模糊BRK-理想未必是直覺模糊BRK-理想，如例1.

例1設S={0,1,2,3}，S上的二元運算*如下表：

則(X,?;0)是BRK-代數.

定義X上的Pythgorean模糊集為

則A=(αA,βA) 是BRK-代數X的Pythgorean 模糊BRK-理想.

定義X上的Pythgorean模糊集為

由于αB(0)+βB(0)=0.9+0.2=1.1 >1,因此B=(αB,βB)不是X上的直覺模糊集，從而B=(αB,βB)也不是X的直覺模糊BRK-理想.但B=(αB,βB)是BRK-代數X的Pythgorean模糊BRK-理想.

定理2.2如果A=(αA,βA)是BRK-代數X的Pythgorean 模糊BRK-理想，則BRK-代數X的非空子集A0={x|αA(x)=αA(0),x∈X}是BRK-代數X的BRK-理想.

證明顯然0∈A0.對任意x,y∈X，若0*(x*y)∈A0，0*y∈A0，則

由于A=(αA,βA)是BRK-代數X的Pythgorean模糊BRK-理想，因此(0) ≥(0*x)，且

從而αA(0*x)=αA(0)，即0*x∈A0.故非空子集A0={x|αA(x)=αA(0),x∈X}是BRK-代數X的BRK-理想.

定理2.3如果A=(αA,βA)是BRK-代數X的Pythgorean 模糊BRK-理想，則BRK-代數X的非空子集B0={x|βA(x)=βA(0),x∈X}是BRK-代數X的BRK-理想.

定理2.4如果A=(αA,βA)是BRK-代數X的Pythgorean 模糊BRK-理想，則X的Pythgorean 模糊集A*=(μA,νA)也是BRK-代數X的Pythgorean 模糊BRK-理想.這里A*=(μA,νA)定義為：對任意x∈X，

證明假設A=(αA,βA)是BRK-代數X的Py?thgorean模糊BRK-理想，則對任意x,y∈X有

所以，的Pythgorean 模糊集A*=(μA,νA)也是BRK-代數X的Pythgorean模糊BRK-理想.

定理2.5若A=(αA,βA)和B=(αB,βB)都是BRK-代數X的Pythgorean 模糊BRK-理想.則A和B的交集A?B也是BRK-代數X的Pythgorean 模糊BRK-理想.這里

證明假設A=(αA,βA)和B=(αB,βB)都是BRK-代數X的Pythgorean 模糊BRK-理想,則對任意x,y∈X,有

由定義2.1 可知，A?B是BRK-代數X的Py?thgorean 模糊BRK-理想.

如果A=(αA,βA) 是非空集X上的Pythgorean模糊集，定義Pythgorean模糊集?A和⊕A滿足：

定理2.6若A=(αA,βA)是BRK-代數X的Pythgorean 模糊集，則A是BRK-代數X的Pythg?orean模糊BRK-理想的充分必要條件是?A和⊕A都是BRK-代數X的Pythgorean模糊BRK-理想.

證明必要性.若A=(αA,βA)是BRK-代數X的Pythgorean模糊BRK-理想,則對任意x,y∈X,有

綜上,?A和⊕A都是BRK-代數X的Pythg?orean模糊BRK-理想.

充分性.如果?A和⊕A都是BRK-代數X的Pythgorean模糊BRK-理想，則對任意x,y∈X,有

由定義2.1可知，A=(αA,βA)是BRK-代數X的Pythgorean模糊BRK-理想.

定義2.2設A=(αA,βA)是非空集X上的Py?thgorean 模糊集.對任意t∈[0,1],集合U(αA,t)=分別稱為Pythgorean模糊集A的t-上水平截集和t-下水平截集.

定理2.7設A=(αA,βA)是BRK-代數X上的Pythgorean 模糊集.則A=(αA,βA) 是BRK-代數X的Pythgorean 模糊BRK-理想的充分必要條件是：對任意t∈[0,1]，非空集U(αA,t)和L(βA,t) 都是BRK-代數X的BRK-理想.

證明必要性.A=(αA,βA)是BRK-代數X的Pythgorean模糊BRK-理想，則對任意x,y∈X,有

因此0*x∈U(αA,t)，故非空集U(αA,t)是BRK-代數X的BRK-理想.類似地可以證明L(βA,t) 都是BRK-代數X的BRK-理想.

充分性.設對任意t∈[0,1]，非空集U(αA,t)和L(βA,t)都是BRK-代數X的BRK-理想.

故A=(αA,βA)是BRK-代數X的Pythgorean 模糊BRK-理想.

定理2.8若(X,*,0) 和(Y,*′,0′) 是兩個BRK-代數.定義X×Y上的二元運算.滿足:對任意(x,y),(a,b)∈X×Y,(x,y)°(a,b)=(x?a,y?′b)，則(X×Y,°,(0,0′)) 是一個BRK-代數.

定理2.9若A=(αA,βA)和B=(αB,βB)分別是BRK-代數X和Y的Pythgorean 模糊BRK-理想，則A和B的直積A×B=(αA×B,βA×B) 是BRK-代數X×Y的Pythgorean模糊BRK-理想.這里

證明設A=(αA,βA)和B=(αB,βB)分別是BRK-代數X和Y的Pythgorean 模糊BRK-理想，則對于任意(x,a),(y,b)∈X×Y,有

因此A和B的直積A×B=(αA×B,βA×B) 是BRK-代數X×Y的Pythgorean模糊BRK-理想.

定理2.10若A=(αA,βA)和B=(αB,βB) 是BRK-代數X 的Pythgorean 模糊BRK-理想，則A和B的直積A×B=(αA×B,βA×B) 是BRK-代數X×X的Pythgorean模糊BRK-理想.

3 結論

本文在BRK-代數中引入了BRK-代數的Py?thgorean 模糊BRK-理想的概念，討論了它們的相關性質.得到了BRK-代數的Pythgorean 模糊BRK-理想關于交運算和直積運算的封閉性質.本文相關概念和結果能夠推廣到其他相關代數系統.