基于層次分析法的卓越師范生培養質量評價數學模型

程宏，王曉峰

（閩南師范大學 數學與統計學院，福建漳州 363000）

教育部2018 年9 月發布了《關于實施卓越教師培養計劃2.0 的意見》[1]，針對當前師范生在培養方式、目標定位、師資保障、實習實踐、考核方式等方面存在的問題，提出分類推進的指導意見.國家“十四五”規劃中也指出，全社會要建立高水平的現代教師教育體系，建立健全教師教育評價制度和評價機制，力爭到2035 年形成具有實踐型特色的高水平教師人才培養體系[2-5].

20 世紀70 年代，美國匹茨堡大學教授、運籌學家Satty 提出了一種簡單、靈活且實用的多準則決策方法——層次分析法(Analytic Hierarchy Process,AHP)[6].該方法的優點是利用較少的定量信息(主要是建立各指標層之間判斷矩陣)建立決策思維過程，從而能為多目標、多準則的復雜決策問題最終提供一種簡便的決策方法和數學模型[7-11].比如，對于三層決策問題，設第一層只有1個目標，第二層和第三層分別有m和n個因素，且第二層m個因素A1,A2,…,Am對第一層的權向量為a1,a2,…,am，第三層n個指標B1,B2,…,Bn對第二層因素Aj的層次單排序為b1j,b2j,…,bmj，則第三層B1,B2,…,Bn對第一層的層次總排序分別為，即第三層第i個因素Bi對總目標的權值為.宋陽和佟延秋[12]利用層次分析法研究了學生微格教學評價的數學模型，通過該模型對學生的師范技能做出科學的判斷.董占明和左光紀[13]試用層次分析法建立一個評價高校學生成績的數學模型以全面反映學生的綜合素質.張軍芳等人[10]運用層次分析法對師范生已有教育實習體系標準進行了數學建模分析，對師范生的實習中各個環節因素進行量化分析，對各項指標進行了層次總排序和一致性檢驗，分析結果對今后的教育實習和學生提升教育教學技能都有一定的指導和借鑒意義.

本文從定量分析的角度研究卓越師范生數學教師人才培養質量評價體系的構建，通過層次分析法分析各級指標層對師范生培養質量總目標的影響，提出改進卓越師范生培養質量的建議和措施，為健全師范生人才培養工作、提高師范生培養質量奠定基礎.

1 卓越師范生培養質量評價指標體系層次結構的建立

師范類專業認證標準主要從踐行師德、學會教學、學會育人、學會發展四個方面闡述了對畢業生的培養目標.借助于師范專業認證標準，結合數學學科特點，制定卓越師范生數學人才培養標準體系，詳見表1.

表1 卓越師范生數學教師人才培養標準考核指標體系

在表1中，將卓越師范生人才培養標準指標體系按照層次結構劃分為三個層次：第一層是目標層，用O表示；第二層是準則層，包含6個一級評價指標，用A（ii=1,2,…,6）表示；第三層是子準則層，共給出26個二級評價指標，用B（jj=1,2,…,26）表示.

2 層次分析法模型的建立

2.1 判別矩陣與權向量

在層次分析法中，同一層中的各項指標對上一層的貢獻程度不是均等的，帶有不同的權重.一般地，設第k層某項的總成績y由第k+1 層的n項成績x1,x2,…,xn來確定，則有y=，其中：ωi是第i項的權重，0 <ωi<1且=1.為確定權系數ωi，我們采用了成對比較，即從x1,x2,…,xn中任取兩項xi和xj比較它們對y的貢獻程度.按照Saaty評價尺度表示[7]，可按以下標度給賦值：若aij=1，則認為xi與xj對目標的貢獻程度相同；若aij=3，則認為xi比xj對目標的貢獻程度稍強；若aij=5，則認為xi比xj對目標的貢獻程度強；若aij=7，則認為xi比xj對目標的貢獻程度明顯的強；若aij=9，則認為xi比xj對目標的貢獻程度絕對的強；若aij=2,4,6,8，則認為xi與xj對目標的貢獻程度處于兩個相鄰等級之間.若元素xi與xj對目標的貢獻程度之比為aij，則元素xj與xi對目標的貢獻程度之比為

根據上述評價模型評價指標體系層次結構，采用Saaty評價尺度法構造判別矩陣

矩陣G的唯一特征根λ對應的特征向量ω就是各因素對目標的影響權向量，即有Gω=λω.

2.2 計算判斷矩陣的最大特征根及特征向量

2.3 對判斷矩陣進行一致性檢驗

計算一致性指標CI=，其中n為判斷矩陣的階數，令CR=，稱CR為隨機一致性比率，其中RI表示平均隨機一致性指標，具體取法：當階數n依次取1,2,…,9時，RI分別取為0,0,0.52,0.89,1.12,1.26,1.36,1.41,1.46，如果判別矩陣G所對應的隨機一致性比率CR能夠充分小，在具體運算中，通常認為小于0.1，則可判別矩陣G是充分接近一致陣的，其λmax對應的特征向量ωmax可近似作為權向量.

3 層次分析法模型的求解

3.1 構建判斷矩陣

準則層Ai對目標層O權重的判斷矩陣記為OAi，子準則層Bj對準則層Ai權重的判斷矩陣記為AiBj.為較客觀準確的判斷各子準則層對準則層的權重，我們在我校數學與應用數學師范專業2018級和2019 級學生中進行了問卷調查，問卷調查采用“問卷星”網絡填報方式進行，共收到有效問卷360份.我們采用統計分析方法對各指標權重進行了數據處理，按照Satty 提出的標度法，我們建立如下七個判斷矩陣：

3.2 判斷矩陣一致性檢驗

按照層次分析法，對上述7個判斷矩陣逐一進行一致性檢驗，驗證各自隨機一致性比率是否小于0.1.對于矩陣OAi，先計算矩陣OAi每一行指標元素的積，即

Gi=[5040,15,1,0.033333,0.014286,0.027778]T，計算Gi的n次方根

=[4.1407,1.5704,1.0000,0.56730,0.49259,0.55032]T，接下來對向量進行歸一化，得ω=[0.49760,0.18872,0.12017,0.068174,0.059196,0.066134]T，則ω為所求特征向量，計算矩陣OAi的最大特征值λmax=6.6055，然后進行一致性檢驗[15]，則

所以可以認為判斷矩陣OAi具有滿意的一致性.

對于矩陣A1Bj，每一行指標元素的積Gi=[0.75,20,0.066667]T，計算Gi的n次方根=[0.90856,2.7144,0.40548]T，歸一化后得ω=[0.22554,0.67381,0.10065]T，計算矩陣A1Bj的最大特征值λmax=3.0858，則

所以可以認為判斷矩陣A1Bj也具有滿意的一致性.對剩余的五個判斷矩陣A2Bj,A3Bj，A4Bj，A5Bj和A6Bj做同樣的計算，可得如下一致性檢驗，詳見表2.

表2 卓越師范生數學教師人才培養標準考核指標一致性檢驗

從表2可以看出，7個層次單排序的CR值均小于0.1，該7個層次單排序都通過一致性檢驗.

3.3 層次總排序及其一致性檢驗

由表2 可知，單層次的權重排序比較單一，不能從整體上全面對卓越師范生數學教師人才培養標準考核指標進行分析.為此，還需要經過層次總排序，才能直觀了解到所有的因素對于卓越師范生數學教師人才培養標準考核指標影響程度，構造成對比較矩陣進而得到權重及組合權重.考核指標層次排序詳見如表3.

表3 卓越師范生數學教師人才培養標準考核指標層次總排序

層次總排序一致性指標為

層次總排序隨機一致性指標為

從而可得層次總排序一致性比率為

因此，層次總排序的計算結果具有滿意的一致性.

3.4 建立卓越師范生數學教師人才培養標準考核指標評價數學模型

根據計算出來的組合權重表3 中的組合權重系數的數據，設卓越師范生數學教師人才培養效果為Y，權重是目標層A的系數，目標層的各個指標為自變量y1,y2,…,y6，則構造出卓越師范生數學教師人才培養標準考核指標評價的數學模型為

若進一步考慮組合權重是子準則層B的系數，準則層的各個指標為自變量x1,x2,…,x26，則構建出更為細致的卓越師范生數學教師人才培養標準考核指標評價的數學模型為

4 模型的結論

根據表3 層次分析結果，可以看到卓越師范生數學教師人才培養效果指標體系中的權重按照數學學科知識(A1，0.49760)、教育、教學有關知識(A2，0.18872)、設計數學教學方案的能力(A3，0.12017)、實施教學方案的能力(A4，0.06817)、發現與解決教學問題的能力(A6，0.06613)、總結與反思教學過程的能力(A5，0.05919)順序依次降低.數學學科知識(A1)占的比重幾乎達50%，說明數學學科知識在卓越師范生的培養過程中更需要加強.數學學科知識中高等數學知識(B1)、中學數學知識(B2)、現代信息技術知識(B3)所占權重分別為0.22554、0.67381 和0.10065，可見對于師范專業畢業生來說，中學數學知識(B2)應該足夠重視.

在教育、教學有關知識(A2)方面，教學案例性知識(B6)和數學教學法知識(B5)所占比重較高，分別為0.44855 和0.33537，這就要求在師范生培養方面對于案例性教學要十分重視，將數學教學法與案例式教學有機結合，用理論指導實踐，用實踐驗證理論，使得卓越師范生的培養在看得見、感受得到、可操作的直觀演示下能模仿、可實踐，并且目標達成變得更為具體而直觀.案例式教學在具體操作過程中采用同課異構的形式，也就是學生展示—教師點撥—教師展示的方式進行，通過對比差異，使學生身臨其境，并且使學生在教師、學生身份的角色中自由轉換，感受教育教學理論的可操作性以及優越性.

在設計數學教案的能力(A3)方面，教學目標的設計(B8)權重為0.41036，其次是學生認知特點與起點分析能力(B9)權重為0.18603，可以看出目標設定對于一節課的教學設計所起到核心的作用.教學目標相當于靶子，確定好目標才能有的放矢.教學目標的設計可以直接導向一節課的定位，在四基、四能、核心素養、育人價值方面如何設定，將直接決定教學的下限與上限以及教學質量的高低，所以在卓越師范生培養方面，使學生認識目標的重要性，并能制定出合理而高效的教學目標就成為日常教學的重點.

在實施教學方案能力(A4)方面，問題情境創設引入課題能力(B14)權重為0.40369，因為好的開端是成功的一半，學生學習的良好興趣往往開始于課堂的伊始，從開始導課時就能抓住學生的注意力，讓學生帶著問題走進課堂，使他們的思維在課堂的有限時間內高速馳騁，有效提升學生的思維力，這是優質數學課堂的重要支撐點.而組織學生進行數學探究活動能力(B15)權重為0.25054，說明數學教學中探究性活動的開展對于學生學習數學的價值和意義非常巨大，因而在卓越師范生培養方面，對于導課中如何有效滲透四能的指導以及如何有效開展數學探究活動要有更多的側重.

在總結與反思教學(A5)的過程中，對教學效果的反思(B22)的比重為0.45308.可見，教學效果有最顯性的能直抵人心的存在感，透過教學效果反思，進行教學方案修正，這是最便捷的方式，其實教學目標達成的反思才是改變教學效果最根本的途徑，但由于其內隱性師范生不容易察覺，所以在卓越師范生培養時，應有意識引導學生分析教學目標的反思，使學生的反思能夠更全面改善、更加有效.

在發現與解決數學問題的能力(A6)方面，發現數學教學問題的能力權重為0.64833，說明大家普遍認可對于教學的改進首先來自于高度的教學覺察能力，只有意識到問題的存在才能更好地改進教學.

5 模型的應用

為檢驗所建立卓越師范生數學教師人才培養標準考核指標評價數學模型的效果，我們選取模型（5）作為研究對象，邀請6 位師范專業任課教師對2019 級“卓師班”學生進行打分，為公平期間，每位老師只負責其中一個指標的分數打分.我們從中隨機挑選出10 位同學，分別以1 到10 編號，10 位同學的各項指標成績如表4 所示.

表4 數學與應用數學專業2019級“卓師班”十位同學考核分數

在表4中，共有6 個指標，每個指標賦值100分，按照以往求平均值的方法，我們可得這10位學生的得分依次為91分，94.3分，92分，93分，94.5分，93.6分，90.5分，92.8分，92.6分，94.8分，學生分數從高分到低分排序依次為10，5，2，6，4，8，9，3，1，7.按照模型（5），我們重新計算10 位學生分數，則依次為90.4分，94.9分，91.1分，92.8分，96.1分，94.4分，91.7分，92.3分，91.3分，94.1分，按照新的分數學生分數從高分到低分排序依次為5，2，6，10，4，8，7，9，3，1.從新的排名結果可以看出，編號為5 的學生數學學科知識的分數98分，由于該指標所占權重較大，直接導致了其排名第一的結果.在今后的教學實踐中，我們將嘗試將更為細致、更為全面的數學模型(6)進行卓越師范生培養質量的考核，使卓越師范生的素質得以全面提升.