基于磁場解析模型與遺傳算法的軸向磁通永磁電機(jī)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計

佟文明， 馬雪健， 位海洋， 吳勝男

(沈陽工業(yè)大學(xué) 國家稀土永磁電機(jī)工程技術(shù)研究中心，遼寧 沈陽 110870)

0 引 言

軸向磁通永磁電機(jī)(axial flux permanent magnet motor，AFPMM)具有結(jié)構(gòu)緊湊、效率高、功率密度大等優(yōu)點，在電動汽車、飛輪儲能、航空航天等領(lǐng)域得到廣泛關(guān)注[1-3]。但與徑向電機(jī)相比，AFPMM磁路復(fù)雜，有限元求解過程通常需要通過三維場來完成，這使得AFPMM的性能分析、優(yōu)化設(shè)計更為困難。

電機(jī)的優(yōu)化設(shè)計是一個復(fù)雜的非線性問題，其主要優(yōu)化思路是根據(jù)電機(jī)參數(shù)與性能之間的關(guān)系構(gòu)建模型，然后通過算法尋優(yōu)實現(xiàn)電機(jī)的優(yōu)化設(shè)計[4-5]。有限元方法能夠在給定的電機(jī)參數(shù)下精確計算電機(jī)的性能，基于有限元模型結(jié)合智能優(yōu)化算法進(jìn)行全局尋優(yōu)，可獲得理想的優(yōu)化結(jié)果，但該方法仿真時間過長、計算成本過高。

為了降低計算成本，基于代理模型的優(yōu)化方法被應(yīng)用于電機(jī)的優(yōu)化設(shè)計中，該方法是針對少數(shù)樣本數(shù)據(jù)建立優(yōu)化變量與優(yōu)化目標(biāo)之間的計算模型。文獻(xiàn)[6]在確定合理的極弧系數(shù)前提下，利用響應(yīng)面法構(gòu)建了齒槽轉(zhuǎn)矩與電機(jī)參數(shù)的函數(shù)關(guān)系，最后通過遺傳算法得到了優(yōu)化結(jié)果。響應(yīng)面模型的建立相對簡單，但處理多目標(biāo)優(yōu)化問題時，難以保證模型精度。文獻(xiàn)[7]利用支持向量機(jī)建立了AFPMM目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，然后利用混沌文化差分進(jìn)化算法對電機(jī)的轉(zhuǎn)矩密度及轉(zhuǎn)矩脈動進(jìn)行優(yōu)化。文獻(xiàn)[8]以軸向磁通輪轂電機(jī)電磁力波幅值和平均轉(zhuǎn)矩為優(yōu)化目標(biāo)，通過反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立了電機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)與優(yōu)化目標(biāo)的數(shù)學(xué)模型，采用多目標(biāo)遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化。文獻(xiàn)[9]利用差分進(jìn)化算法和Kriging模型提出一種二級代理輔助多目標(biāo)優(yōu)化算法，選擇電機(jī)的8個幾何變量作為優(yōu)化變量，進(jìn)行敏感度分析，然后通過所提出的算法實現(xiàn)了AFPMM的效率和成本優(yōu)化。雖然采用代理模型能夠減少三維有限元仿真次數(shù)，但整個優(yōu)化過程仍需要較長時間。

為了解決有限元仿真計算耗時長的問題，文獻(xiàn)[10]提出了一種“等效磁路模型+算法尋優(yōu)”的優(yōu)化方法。該方法通過等效磁路模型獲得了定子無磁軛模塊化AFPMM的磁場分布，并在此基礎(chǔ)上，基于遺傳算法綜合考慮電機(jī)電磁與機(jī)械性能約束，建立了以電機(jī)轉(zhuǎn)矩密度與效率為目標(biāo)的優(yōu)化模型，借助遺傳算法工具箱進(jìn)行優(yōu)化處理，獲取了單目標(biāo)和多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果。文獻(xiàn)[11]應(yīng)用等效磁路法提出了定子模塊化AFPMM的磁場計算模型，并利用該模型對電機(jī)效率進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，所得結(jié)果與有限元法計算結(jié)果進(jìn)行對比，驗證了等效磁路法的正確性與優(yōu)化設(shè)計的有效性。相對于有限元，等效磁路計算時間短，但等效磁路模型的構(gòu)建比較復(fù)雜。

為了簡化建模過程，避免優(yōu)化模型過于復(fù)雜，文獻(xiàn)[12] 基于子域法建立了AFPMM電磁轉(zhuǎn)矩和齒槽轉(zhuǎn)矩的解析模型，并將該模型與徑向變極弧系數(shù)法相結(jié)合，對電機(jī)的轉(zhuǎn)矩展開優(yōu)化。文獻(xiàn)[13]針對定子無磁軛模塊化AFPMM建立了氣隙磁場模型，并利用該模型推導(dǎo)了 Halbach 陣列最優(yōu)軸向充磁系數(shù)的解析表達(dá)式，通過計算得到能使電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩達(dá)到最大時的軸向充磁系數(shù)。文獻(xiàn)[12-13]所用的優(yōu)化方法在保證精度的基礎(chǔ)上，簡化了建模過程，但是該方法難以處理多變量、多目標(biāo)優(yōu)化問題。

為解決上述優(yōu)化方法存在計算耗時長、建模復(fù)雜、難以實現(xiàn)多目標(biāo)優(yōu)化的問題，本文提出了一種磁場解析模型與遺傳算法結(jié)合的AFPMM多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計方法。該方法無需使用有限元仿真，可大量減少計算時間，且能夠同時選取多個優(yōu)化變量對電機(jī)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計。首先，通過子域法建立AFPMM的磁場解析模型，并利用麥克斯韋張量法計算電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩；然后，將解析結(jié)果與有限元進(jìn)行對比，以驗證該解析模型的準(zhǔn)確性；最后，以電磁轉(zhuǎn)矩平均值和電機(jī)有效成本作為優(yōu)化目標(biāo)，利用多目標(biāo)遺傳算法進(jìn)行尋優(yōu)，以獲取電機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)的最優(yōu)組合。通過有限元分析，驗證了本文所提出的解析模型結(jié)合遺傳算法實現(xiàn)AFPMM多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計的有效性。

1 AFPMM磁場解析模型

本文所研究的AFPMM為雙定子單轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)，圖1給出了該電機(jī)的結(jié)構(gòu)示意圖。為了簡化磁場解析計算，假設(shè)AFPMM定轉(zhuǎn)子鐵心磁導(dǎo)率無窮大，同時忽略電機(jī)的端部效應(yīng)。

圖1 AFPMM拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.1 Topology of the AFPMM

1.1 空載磁場解析模型的建立

將AFPMM在平均半徑處沿周向展開，可得到電機(jī)的二維等效模型，如圖2所示。圖中x軸、y軸分別代表AFPMM的周向、軸向方向。為了簡化計算，在計算初期忽略了定子開槽的影響。

氣隙處(區(qū)域1)磁通密度B1與永磁體處(區(qū)域2)磁通密度B2可分別表示為：

(1)

式中：H1為氣隙處磁場強度；H2為永磁體處磁場強度；Br為剩磁密度；μ0為真空磁導(dǎo)率；μr為永磁體相對磁導(dǎo)率；M為永磁體磁化強度。

永磁體磁化強度函數(shù)可表示為

(2)

式中：

(3)

(4)

其中：n為磁場空間諧波次數(shù)；αp為永磁體極弧系數(shù)；τp為極距。

在永磁體區(qū)域和氣隙區(qū)域，標(biāo)量磁勢φ滿足拉普拉斯方程：

(5)

磁場強度可表示為：

(6)

磁場在氣隙和永磁體兩部分的分布函數(shù)為偶函數(shù)，因此，拉普拉斯方程的通解形式可表示為：

(7)

(8)

空載磁場解析模型滿足下列邊界條件[14]：

(9)

根據(jù)上述邊界條件，可以求得式(7)和式(8)中的待定系數(shù)為：

(10)

式中

Δ=μrcosh(unhm/2)sinh[un(L-hm/2)]+

cosh[un(L-hm/2)]sinh(unhm/2)。

(11)

將式(6)、式(7)代入式(1)中，可求得空載氣隙磁密為：

sinh[un(L-y)]sin(unx)；

(12)

cosh[un(L-y)]cos(unx)。

(13)

上述推導(dǎo)得到了AFPMM無槽時氣隙磁通密度解析表達(dá)式。為了考慮定子開槽的影響，本文采用保角映射方法對上述表達(dá)式進(jìn)行修正。保角映射的過程如下：映射過程包含Z、W、T三個復(fù)平面，Z、W和W、T復(fù)平面之間保角變換[15]可以表示為：

(14)

(15)

式中

(16)

式中：g為氣隙長度；b0為定子槽口寬度。

復(fù)數(shù)形式的氣隙相對磁導(dǎo)率可以表示為

(17)

w可通過求解以下方程得到：

(18)

(19)

(20)

式中τs為槽距。

考慮定子開槽，AFPMM空載氣隙磁通密度為：

(21)

1.2 電樞反應(yīng)磁場解析模型的建立

在計算AFPMM電樞反應(yīng)磁場時，將電樞繞組等效為槽口處的等效電流片，圖3給出了AFPMM電樞反應(yīng)磁場二維等效模型。

定子三相繞組合成電流片線電流密度[16-17]的表達(dá)式為

(22)

式中：

(23)

v=3c1-k。

(24)

槽開口系數(shù)可表示為

(25)

繞組系數(shù)可表示為

(26)

式中N的計算方法為

(27)

式中：k為時間諧波次數(shù)；f為頻率；p為極對數(shù)；Rs為定子鐵心平均半徑；Nph為每相串聯(lián)匝數(shù)；Ik為各次諧波電流幅值；αe為槽距電角；m為電機(jī)相數(shù)；q為每極每相槽數(shù)；Q為定子槽數(shù)；c、d為互質(zhì)整數(shù)；c1=0，±1，±2，±3，…。

在氣隙區(qū)域矢量磁位Az滿足拉普拉斯方程：

(28)

磁通密度可以表示為：

(29)

矢量磁位Az通解為

cos(2kπft+vpx/Rs)。

(30)

電樞磁場解析模型滿足下列邊界條件：

(31)

根據(jù)上述邊界條件，可以求得

(32)

根據(jù)上述推導(dǎo)可以得出電樞反應(yīng)磁場單獨作用時，氣隙磁密為：

(33)

(34)

AFPMM的電磁轉(zhuǎn)矩可以采用麥克斯韋張量法計算，具體可以表示為

(35)

式中Ri、Ro分別為定子鐵心內(nèi)外半徑值。

2 有限元驗證

為了驗證解析模型正確性，建立了AFPMM有限元模型，電機(jī)的主要參數(shù)如表1所示。

表1 AFPMM的主要參數(shù)

利用有限元軟件分別計算了電機(jī)在理想空載和電樞磁場作用時的氣隙磁密，并與解析計算結(jié)果進(jìn)行對比，如圖4、圖5所示。根據(jù)對比結(jié)果可以看出，解析計算結(jié)果與有限元計算結(jié)果吻合較好，證明了該磁場解析模型的正確性。

圖4 空載磁場氣隙磁密分布Fig.4 Air gap flux density distribution of no-load magnetic field

圖5 電樞反應(yīng)磁場氣隙磁密分布Fig.5 Air gap flux density distribution of armature reaction magnetic field

電磁轉(zhuǎn)矩有限元計算結(jié)果和解析計算結(jié)果如圖6所示，通過有限元和解析計算出的電磁轉(zhuǎn)矩平均值基本一致，但電磁轉(zhuǎn)矩脈動存在差異，這主要是利用保角映射考慮開槽引起。

圖6 AFPMM電磁轉(zhuǎn)矩波形Fig.6 Electromagnetic torque waveform of the AFPMM

3 基于解析模型的多目標(biāo)優(yōu)化

在AFPMM的優(yōu)化設(shè)計中，轉(zhuǎn)矩、效率、成本、體積、重量等均可作為電機(jī)的優(yōu)化目標(biāo)，本文選取AFPMM的電磁轉(zhuǎn)矩平均值Tave和有效成本Cost為優(yōu)化目標(biāo)，優(yōu)化目標(biāo)可定義為

(36)

AFPMM有效成本可以表示為

Cost=CfeWfe+CpmWpm+CcuWcu。

(37)

式中：Cfe、Cpm、Ccu分別為非晶合金、永磁體、銅線的價格，可按25元/kg、350元/kg、70元/kg計算；Wfe、Wpm、Wcu分別為非晶合金、永磁體、銅線的重量。

為了獲得更優(yōu)的電磁轉(zhuǎn)矩與有效成本的設(shè)計方案，利用MATLAB仿真軟件中的遺傳算法工具箱進(jìn)行全局尋優(yōu)，電機(jī)的優(yōu)化流程如圖7所示。

圖7 優(yōu)化設(shè)計流程圖Fig.7 Flow chart of optimization design

在優(yōu)化過程中，優(yōu)化變量應(yīng)選取與優(yōu)化目標(biāo)直接相關(guān)的電機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)。本文選取永磁體極弧系數(shù)αp、氣隙長度g、永磁體厚度hm、內(nèi)外徑比值kd、定子外徑Do為優(yōu)化變量，其取值范圍如表2所示。

表2 優(yōu)化變量及其取值范圍

在電機(jī)設(shè)計過程中，通常將定子鐵心磁密設(shè)計在定子鐵心材料BH曲線“膝點”附近，本文所述的AFPMM定子鐵心采用非晶合金材料，其BH曲線“膝點”位置磁密為1.3 T。定子鐵心中磁密可表示為

(38)

約束條件可表示為

Bt≤1.3。

(39)

式中：KFe為鐵心疊壓(卷繞)系數(shù)；τt為齒距。

4 優(yōu)化結(jié)果及有限元驗證

本文利用多目標(biāo)遺傳算法進(jìn)行尋優(yōu)，以獲取優(yōu)化結(jié)果。通過多目標(biāo)遺傳算法得到的Pareto曲線如圖8所示。

圖8 多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果Fig.8 Multi-objective optimization result

選擇Pareto解集中“Δ”作為最終解，因為該點能夠有效地在轉(zhuǎn)矩增大的同時降低成本。通過有限元對優(yōu)化前后的電磁轉(zhuǎn)矩進(jìn)行對比，如圖9所示。表3為多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果與原始設(shè)計對比，可以看出，優(yōu)化結(jié)果與有限元計算結(jié)果非常接近。優(yōu)化后，電磁轉(zhuǎn)矩平均值由17.71 N·m增加到19.82 N·m，增加了11.91%，AFPMM有效成本由622元減少到561元，減少了9.81%。

圖9 優(yōu)化前后電磁轉(zhuǎn)矩對比Fig.9 Electromagnetic torque contrast before and after optimization

表3 多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果與原始設(shè)計結(jié)果對比

5 結(jié) 論

本文利用子域法建立了7 kW非晶合金AFPMM磁場解析模型，然后借助麥克斯韋張量法計算了電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩，并利用有限元仿真驗證了模型的準(zhǔn)確性。借助上述模型，本文以AFPMM的電磁轉(zhuǎn)矩平均值與有效成本為優(yōu)化目標(biāo)，利用遺傳算法進(jìn)行尋優(yōu)，優(yōu)化后AFPMM電磁轉(zhuǎn)矩平均值增加了11.91%，有效成本降低了9.81%。優(yōu)化結(jié)果表明，利用磁場解析模型結(jié)合遺傳算法可以在給定的約束條件下快速、有效地實現(xiàn)AFPMM的優(yōu)化設(shè)計。