數學課程標準下師范專業“初等數論”翻轉課堂的設計
——以奇數與偶數的性質為例

曾月迪，林麗芳

(莆田學院 數學與金融學院，福建莆田 351100)

“初等數論”是數學師范專業或小學教育專業（數學）的一門重要課程，在計算方法、密碼、編碼、信息等領域有許多的應用。 因為“初等數論”是研究整數的一門課程，因此與中小學數學的聯系非常緊密，對該課程的學習有利于拓展學生的數學視野，有利于提高學生對數學的科學價值、應用價值、文化價值的認知。

“初等數論”內容一直在應用中，但是都沒有系統地進行教學，及至2003年《高中數學課程標準》中專題《初等數論初步》首次被引入高中課程，但是也是作為選修課。劉小妹[1]對中學數論初步的知識與教學進行調查，發覺學生和教師對其重視程度不夠，因此師范專業更應改革“初等數論”的教學方法。

劉雙等[2]構建了“初等數論”課程教學對數學師范生能力培養的結構圖；路秀華等[3]以中國剩余定理為例探討“初等數論”課題化教學方法等。其實，在師范專業中開展“初等數論”的教學探究，還應該結合《普通高中數學課程標準（2017年版）》[4]和《義務教育數學課程標準（2011 版）》[5]中強調的數學學科核心素養：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析[4]、應用意識與創新意識的培養。 翻轉課堂是重要的教學革新方法之一，借用這個方法，形成“初等數論”這門課程教學改革的手段之一，并探究師范生專業課程學習與中小學數學教學能力、創新能力的融入。奇數與偶數是“初等數論”的基本內容之一，從小學一直貫穿到中學，乃至大學。 利用翻轉課堂的設計，培養學生的建模思想與創新意識，傳遞等價分類與同構思想。

1 翻轉課堂設計

1.1 回顧奇數與偶數運算性質

由主要性質1 “偶數±偶數=偶數，奇數±奇數=偶數，奇數±偶數=奇數”。 誘導出的其他性質：

性質2：偶數（奇數）個奇數的代數和是偶數（奇數）。

性質3：任意多個偶數的代數和是偶數。

性質4：偶數×奇數=偶數，奇數×奇數=奇數。

1.2 游戲體驗開篇

以“為什么會有失敗”和“怎么讓自己勝利”的兩個游戲開始進入本節課，讓學生成為課堂的主角。

第一步：分組（游戲設計是根據班級人數而定，后面的分析中會給出原因。 此時假設班級人數為31 人，可分為15 人、16 人兩組，其中15 人的那一組由教師作為裁判）。

游戲一規則：15 個學生，坐成5 行3 列，如圖1座位編號，每個座位的前、后、左、右的座位叫作它的“鄰座”，請學生們都換到自己的鄰座上。沒有坐到鄰座，視為失敗。

圖1 座位編號

獲勝的學生留在原位繼續新的游戲，記好自己所在位置。

游戲二規則： 在PPT 上隨機選一個最終數 （如136），按原來的編號順序報數，報到自己時改變自身狀態（站或坐），如1 號學生原來坐著，報1 時站起來，報15 時坐下，報29 時又站起，以此類推。 2min 時間內請學生選好自己的最初狀態（站或坐），最后坐著的學生為勝利者。

1.3 游戲的建模

在游戲中體驗數學的魅力后，分組討論，培養學生建模與推理能力，探究游戲的真諦，形成學生的思路，并且回過頭來應用到所學的知識中。

1.3.1 游戲一的建模

方法一：15 個數字分成奇數號A 組和偶數號B組，“鄰座” 的調換位置，即奇數號一定要與偶數號互調，見圖1。

反證法，假設可以實現，即每個學生若都能調換成功，要求偶數號和奇數號對應相等，這與事實矛盾，所以一定會有失敗者。

方法二：如圖2標注新號；“鄰座”的調換位置，即0號一定要與1 號互調。

圖2 座位新編號

反證法，假設可以實現，即每個學生若都能調換成功，要求0 號的人數和1 號的人數對應相等，這與事實矛盾，所以一定會有失敗者。

1.3.2 游戲二的建模

假設有14 個學生，PPT 上顯示136。

因為136÷14=9……10，所以這14 位學生中，前10位學生報了10 次，后4 位學生報了9 次。

方法一：兩次報數后恢復原狀，因此，前10 個學生最初應該坐著，10 次報數后還是坐著，后4 位學生應該站著，9 次報數后變為坐著。

方法二：坐著代表0，站著代表1。 每報數一次，由坐變站+1，由站變坐-1。 因此，前10 個學生最初應坐著，即后4 位學生應站著，即

方法三：坐著代表偶數，站著代表奇數。最初狀態：坐為0、站為1；每報一次數+1。 類似可得最初前10 個學生應坐著，后4 位學生應站著。

方法四：坐著記為0、站著記為1；每報一次數+1。 注意兩次報數就恢復原狀，其實就是二進制計算0+1=1、1+1=0。 因此，前10 個學生最初應坐著，即；后4 位學生應該站著，即

1.4 游戲的思想應用

根據分組討論的建模方法，對所利用的數學思想方法聯系曾經所學的課程與中小學數學教學中要應用的方法，進行討論。

1.4.1 游戲一的思想應用

以除以2 余數為0 和1 進行等價分類，這就是利用同余進行等價分類的思想應用。

從數學師范課程來看：“初等數論” 后面的同余理論[6]是利用“除以n 的余數”不同進行的等價分類、近世代數中群、環等的陪集是等價分類，離散數學中強調了二元關系中的等價分類，這都是奇數與偶數等價分類的延伸。

從中小學教學的應用來看： 小學關于偶數與奇數的定義，就是把自然數分成兩類（等價分類），中學擴充為整數進行“除以2 余數為0、1”的等價分類；小學中關于有余數除法的應用[7]等。同時形成推理的一種方法（分類），比如不重復走遍房間問題，如圖3，從1 號房間開始，走1010101010 形式，走9 扇門，最后進的是0號門，因此回不到1。

圖3 房間編號

1.4.2 游戲二思想的應用

在新的網聯、信聯背景之下，互聯網金融平臺的營運與風控能力將從本質上得到提升，做大做優平臺后在資產獲取、風控水平、用戶體驗、技術研發等方面，更具優勢。最終，互聯網金融會徹底揭掉它的“神秘”面紗，成為金融體系的底層設施，構成個人信用值的重要組成，并助力金融步入真正的互聯網社會。

等價類[0]={偶數}和[1]={奇數}的計算，可以看成近世代數中剩余類環的加減運算，此時加和減運算的結果是一樣的。因引奇數與偶數的性質考慮的就是“代數和”，不需要判斷正負。

注意并不是所有的同余類都不考慮加減，這只是[0]、[1]等價類特定的性質，即近世代數中2 階群的特殊性質。

從數學師范課程來看：

（1）高等代數課程行列式中的關于排列定理“對換改變排列的奇偶性”[8]的證明。

先證明“經過相鄰對換，排列的逆序數不是+1、就是-1”。

再證明對換是經過奇數次的相鄰對換而得到。

（2）[0]、[1]的同余計算為“初等數論”接下來的同余計算作鋪墊。

（3）{[0]、[1]}關于“+”本身可看作是近世代數的二元交換群；{[0]、[1]} 也可看作為整數加法群的一個商群；{[0]、[1]}與{奇數、偶數}這兩個有運算的代數結構是兩個同構的群，由此可知二元群在同構意義下只有這一種；當{[0]、[1]}與{奇數、偶數}看作關于加法與乘法的環，這是一個階為2 的域，一般記作Z2，非常簡單但又有許多的應用，并且可進一步聯想到有限域Zp（p 為素數）。

從中小學的應用來看：加強與數學推理、益智游戲的聯系，如杯子翻轉后的開口向上向下問題等；加強與數學競賽、強基考試的滲透，如劉仁[9]，衛小國[10]等利用數論同余方法討論競賽題與不定方程解。

1.5 現實的應用

奇偶性的原理看著簡單，但有很多用處，比如通信中用奇偶性的原理來檢測數據傳輸過程中的更改痕跡。 此外，還有許多與奇偶性原理相關的實際應用，要求學生課后查找、收集資料，為師范生進入工作崗位準備好素材。

1.6 游戲的新創造

最后利用游戲一讓學生根據現在的班級人數創造出新的游戲“一”。

游戲一要求首先總數必須是奇數，這個奇數又能分解為兩個奇數的乘積，如5 行3 列可以用2m-1 行、2n-1 列個座位來代替。 這樣學生可以根據班級人數、分組的情況，安排椅子的位置來設定游戲。

例如：班級有36 個學生，1 個學生是裁判，那么可以分成5 行7 列開始游戲。 也可以分成7 行3 列、5 行3 列這2 組，教師作為裁判。

2 結語

翻轉課堂的數學課堂教學，以教材為源頭，抓住課程內容的本質；以活動為形式，實施課程的設計；以問題為導向，感悟數學思想。

2.1 以教材為源頭，抓住課程內容的本質

翻轉課堂離不開教師對教材的深度把握，了解課程內容本質含義，才找到翻轉課堂的意義。 本課中，通過對教材的深度挖掘，以奇數與偶數的兩個本質“分類”“0，1 的二元運算”做為本次課堂教學的根據點。

2.2 以預設為動力，實施課程的設計

學生的主人翁性質是本次翻轉課堂的視角，結合課程內容創設每個學生能夠共同參與的情境，激發學生的積極性。本課中，結合偶數、奇數的本質原理、設計全員參與的游戲，把“為什么會有失敗”和“怎么讓自己勝利”深入到課程中。 在教師的預設下，讓課堂活動有序而有效。通過學生建模與數學思想的應用，探索出奇數與偶數的本質，創造出新的游戲，實現課堂的翻轉。

2.3 以活動為形式，感悟數學思想

翻轉課堂下的數學課堂，在發生巨變的教學形式下貫穿著數學思想。 本課中，學生通過“玩”“議”“做”，逐漸深入到課程內容的實質；在教學實施中，實現實際問題的轉化與數學的建模；通過充分的思考，自我完成相應的認知加工，在不知不覺中感悟數學思想。本課中“除以n 的同余”分類思想在以前課程中使用過、在以后課程中還會學習它、在中小學數學教學中會應用之。同時，見證了{偶數、奇數}和{0，1}這兩個在近世代數觀點下同構的二元可交換群。