數(shù)學(xué)如何推動(dòng)了文明？

遷洵

“萬(wàn)物速朽，唯有公式永恒。”

這本書扉頁(yè)上的這句話，就好像是一道來(lái)自神的啟示——它瞬間讓我領(lǐng)略了公式的力量與美感。于是，我的手不由自主地翻開(kāi)了書的下一頁(yè)，一字一句讀下去。

整整3天，我除了處理少量的日常工作之外，一直沉浸在這本書里，直到把它讀完。

這本書讓我領(lǐng)略到了數(shù)學(xué)的魅力，更讓我知道了數(shù)學(xué)存在的理由和意義。正如本書開(kāi)篇所寫的那樣“公式鑄就文明的天梯”。

當(dāng)我們回顧歷史，會(huì)發(fā)現(xiàn)：

1854年之前，歐洲數(shù)學(xué)家燦若星辰，笛卡兒、拉格朗日、牛頓、貝葉斯、拉普拉斯、柯里、傅里葉、伽羅瓦等，無(wú)一不是數(shù)學(xué)天才。

1854—1935年，高斯、黎曼等人在數(shù)學(xué)界領(lǐng)袖群倫，彼時(shí)，德國(guó)取代英法成為世界的數(shù)學(xué)中心。

1935年之后，希特勒給美國(guó)送上了“科學(xué)大禮包”：哥德?tīng)枴?ài)因斯坦、德拜、馮·諾依曼、費(fèi)米、馮·卡門……很多科學(xué)家逃至北美，數(shù)學(xué)大本營(yíng)從德國(guó)轉(zhuǎn)向美國(guó)，美國(guó)隨即成為世界的數(shù)學(xué)中心。

我們發(fā)現(xiàn)，每一次數(shù)學(xué)中心的交替，都是文明中心的變換，可見(jiàn)，文明造就了數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)也推動(dòng)了文明，兩者總是相輔相成的。

但是，這還不足以吸引我對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃烈的興趣。最能打動(dòng)我的，是這本書描述出了數(shù)學(xué)的美感，如優(yōu)美的文字和迷人的詩(shī)歌一樣，是藝術(shù)一般的存在。

數(shù)學(xué)之美，究竟美在何處？

“一片落葉飄落，就是一段美妙的函數(shù)方程，沒(méi)有什么能比公式更動(dòng)人地描繪宇宙之美。”

這句話讓我領(lǐng)略到，原來(lái)公式如詩(shī)一般存在，只是我們普通人無(wú)法察覺(jué)。這是這本書給我最大的啟示。可以說(shuō)，《公式之美》賦予我另外一種感知——那前所未有的，可以去發(fā)現(xiàn)那些“看不見(jiàn)”的美的內(nèi)涵。

這本書雖名為《公式之美》，但其內(nèi)容是繽紛多彩的。

書中講述了數(shù)學(xué)的起源，以及整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展中的精彩絕倫的故事，我們可以在讀這些生動(dòng)的傳說(shuō)般的故事中，了解數(shù)學(xué)的發(fā)展脈絡(luò)，領(lǐng)略人類的至高智慧。

更重要的是，這本書回答了兩個(gè)關(guān)于數(shù)學(xué)的基本問(wèn)題，即“數(shù)學(xué)是什么”，以及“數(shù)學(xué)有什么用”。相信這兩個(gè)問(wèn)題，可以解答很多人心中的困惑。

數(shù)學(xué)是什么？這個(gè)問(wèn)題，幾乎沒(méi)有人能給出一個(gè)非常具體的回答。按照百度百科的定義，數(shù)學(xué)是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化、空間及信息等概念的一門學(xué)科，可以應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)世界中的任何問(wèn)題。在這個(gè)大體系中，1+1=2是整個(gè)數(shù)學(xué)的基石，沒(méi)有1+1=2這個(gè)公式，就不會(huì)有數(shù)學(xué)，也自然不會(huì)有數(shù)學(xué)的衍生學(xué)科，比如化學(xué)、物理等等。

關(guān)于1+1=2的誕生，大概可以追溯到遠(yuǎn)古時(shí)期，在分配食物的過(guò)程中，人類的祖先有了“數(shù)量”概念，并在漫長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)逐漸意識(shí)到了1+1=2。那個(gè)時(shí)候，說(shuō)1+1=2似乎不太嚴(yán)謹(jǐn)，因?yàn)?也是一個(gè)被創(chuàng)造出來(lái)的數(shù)字，只是一個(gè)人為設(shè)定的定義，但這種變化仍然是非常偉大的。

我們無(wú)法考證加法究竟產(chǎn)生于何時(shí)，但從文字記載中發(fā)現(xiàn)，加法運(yùn)算和減法運(yùn)算是人類最早掌握的兩種數(shù)學(xué)運(yùn)算。

1+1=2的公式雖然誕生了，但如何證明是另一個(gè)終極難題。后來(lái)，意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾用五條公理建立了一階算術(shù)系統(tǒng)，可以推導(dǎo)出1+1=2這一最簡(jiǎn)單的等式。

公理一般被認(rèn)為是不需要證明的基本事實(shí)，所以皮亞諾的這個(gè)算數(shù)系統(tǒng)也是建立在一個(gè)沒(méi)有經(jīng)過(guò)證明的經(jīng)驗(yàn)世界中的，在這個(gè)經(jīng)驗(yàn)世界里，1+1=2是成立的。

如何推導(dǎo)出1+1=2，數(shù)學(xué)家們?cè)谧约旱氖澜缋镎业搅艘粋€(gè)相對(duì)滿意的答案，雖然有點(diǎn)“自欺欺人”，但總算是放下了心里的一塊石頭。然而，比這個(gè)更麻煩的，是解決世間另一個(gè)“1+1”，這才是歷代數(shù)學(xué)家的心頭之痛。

這個(gè)心頭之痛就是哥德巴赫猜想。

18世紀(jì)前后，富家子弟哥德巴赫發(fā)現(xiàn)了一個(gè)規(guī)律：任何大于5的奇數(shù)都是三個(gè)素?cái)?shù)之和。所謂“素?cái)?shù)”，又稱“質(zhì)數(shù)”，指在大于1的自然數(shù)中，除了1和它本身以外，不再有其他因數(shù)的自然數(shù)。不過(guò)，他雖然發(fā)現(xiàn)了這個(gè)規(guī)律，卻怎么也無(wú)法證明自己的發(fā)現(xiàn)，只能求助于當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)界的權(quán)威人士歐拉。沒(méi)想到，數(shù)學(xué)家歐拉居然也被這個(gè)問(wèn)題給難住了，為了挽回自己的面子，歐拉又提出了另一個(gè)等價(jià)命題：任何一個(gè)大于2的偶數(shù)，都是兩個(gè)素?cái)?shù)之和。

兩個(gè)命題加起來(lái)被記作a+b，這就是哥德巴赫猜想（也稱哥德巴赫-歐拉猜想），這被稱為另一個(gè)“1+1”的問(wèn)題，至今還沒(méi)有人能夠證明。

在數(shù)學(xué)世界，還有一個(gè)非常重要的公式，構(gòu)成了高級(jí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容，那就是微積分。關(guān)于微積分的發(fā)現(xiàn)，涉及到兩個(gè)科學(xué)家特別有意思的交往經(jīng)歷，就是牛頓和萊布尼茨。

1666年是一個(gè)很神奇的年份，歐洲黑死病肆虐，23歲的牛頓為了躲避疫情回到鄉(xiāng)下，在蘋果落地的啟發(fā)下意識(shí)到地球存在引力;在計(jì)算月球軌道涉及的向心力時(shí)，他又發(fā)明了“流術(shù)法”，這個(gè)流術(shù)法就是微積分的前身，但是牛頓一直把這種計(jì)算方法當(dāng)做是一種普通的簡(jiǎn)便算法，沒(méi)有作為一種新發(fā)現(xiàn)公之于世。

十年后，萊布尼茨了解到牛頓在進(jìn)行無(wú)窮級(jí)數(shù)相關(guān)的研究，便在他人引薦下與牛頓進(jìn)行了短暫的通信。牛頓只比萊布尼茨大三歲，兩人一開(kāi)始的確惺惺相惜，畢竟在17世紀(jì)找到和自己同等智商并能對(duì)話的人，對(duì)他們兩個(gè)人來(lái)說(shuō)都不容易。兩個(gè)人隔著英吉利海峽鴻雁傳書，既有對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的探討，也有對(duì)彼此的“彩虹屁”。

但是，1684年時(shí)，萊布尼茨發(fā)表論文稱自己發(fā)明了微積分。這是一個(gè)非常重要的成績(jī)，眼看這個(gè)很可能震驚世界的成就就要被萊布尼茨搶走，牛頓大為光火，開(kāi)始施展各種手段打壓萊布尼茨。在那場(chǎng)關(guān)于微積分的“世紀(jì)大戰(zhàn)”中，萊布尼茨曾一度被認(rèn)為是一個(gè)抄襲者。當(dāng)然，萊布尼茨也不是軟柿子，他奮勇反擊，與牛頓兩個(gè)人你來(lái)我往，以至于后來(lái)，幾乎整個(gè)歐洲有名有姓的人都摻和進(jìn)去了，相當(dāng)熱鬧——和這兩個(gè)人的大戰(zhàn)比起來(lái)，如今深受詬病的飯圈撕扯簡(jiǎn)直就是“過(guò)家家”，太小兒科了！

后來(lái)的事情很多人也有所耳聞，萊布尼茨的聲望到底比不上擅長(zhǎng)鉆研權(quán)勢(shì)的牛頓，逐漸敗下陣來(lái)。牛頓的下半生，除了鉆研神學(xué)、沉迷“點(diǎn)石成金”的煉金術(shù)外，唯一的愛(ài)好就是欺負(fù)萊布尼茨。

一時(shí)的毀譽(yù)，姑且當(dāng)作妄言。如今，數(shù)學(xué)界已將牛頓和萊布尼茨同樣視為微積分的發(fā)現(xiàn)者，這一對(duì)冤家，不管生前多么不和，如今都被“牛頓-萊布尼茨公式”牢牢地綁在了一起，這對(duì)“地表最強(qiáng)CP”，再也無(wú)法分開(kāi)了。

我相信，在每個(gè)人的中學(xué)時(shí)期都會(huì)遇到一種困惑——我們學(xué)習(xí)的方程、函數(shù)，到底有什么用？

很多人振振有詞：去菜市場(chǎng)買菜的時(shí)候，只要能算得清加減乘除也就夠了，什么微積分，什么橢圓方程，我們哪怕學(xué)得再透徹也不會(huì)有用武之地。畢竟，就算在菜市場(chǎng)解出高考?jí)狠S題，賣菜的攤主也不會(huì)給你便宜幾分錢。

這種說(shuō)法聽(tīng)起來(lái)似乎很有道理，但是仔細(xì)想想，就能發(fā)現(xiàn)這分明是強(qiáng)詞奪理。畢竟我們存活于世，就是為了買菜而生嗎？

顯然不是。誰(shuí)年少的時(shí)候沒(méi)有夢(mèng)想過(guò)星辰大海呢？誰(shuí)會(huì)心甘情愿地將自己圈在菜市場(chǎng)里為了幾毛錢斤斤計(jì)較呢？我們學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)，在中學(xué)時(shí)期乍看之下沒(méi)有什么用，但你在數(shù)學(xué)上搬的每一塊磚，都會(huì)成為之后學(xué)術(shù)與工作中的堅(jiān)實(shí)地基。數(shù)學(xué)是有用的，只是你還沒(méi)有達(dá)到能夠應(yīng)用它的層次。

舉第一個(gè)例子，關(guān)于5G，現(xiàn)在應(yīng)該所有人都不陌生了。我們的手機(jī)與寬帶早在兩年前就已經(jīng)開(kāi)始逐步更新?lián)Q代，5G不僅帶給了我們更快的下載速度與信息加載體驗(yàn)，更是人工智能與自動(dòng)駕駛等高科技的基石。如今，我們時(shí)不時(shí)就會(huì)接到運(yùn)營(yíng)商打來(lái)的5G套餐推銷電話，他們會(huì)用盡各種辦法讓你升級(jí)套餐，以在5G市場(chǎng)中占優(yōu)勢(shì)。不僅是運(yùn)營(yíng)商，所有互聯(lián)網(wǎng)公司都在爭(zhēng)奪通信行業(yè)的龍頭寶座，但誰(shuí)能成為新的領(lǐng)頭羊，至今還未有定論。

可別管他們?cè)趺礌?zhēng)，通訊行業(yè)發(fā)展至今，最重要的根基不是運(yùn)營(yíng)商，不是互聯(lián)網(wǎng)企業(yè)，而是香農(nóng)公式。可以說(shuō)，如果沒(méi)有香農(nóng)公式，我們現(xiàn)在或許還活在“車馬很慢，書信很遠(yuǎn)”的“從前慢”時(shí)代。當(dāng)然，這個(gè)很慢也沒(méi)有那么慢，畢竟我們現(xiàn)在有了高鐵，而高鐵技術(shù)的發(fā)展，得益于另外一個(gè)公式。

此時(shí)，我們還是說(shuō)回香農(nóng)公式。這個(gè)公式，就是用他的提出者克勞德·艾爾伍德·香農(nóng)的名字命名的。香農(nóng)發(fā)展了信息論，在信息論的指引下，人類才得以進(jìn)入數(shù)字通信時(shí)代。我們能用計(jì)算機(jī)傳遞信息，能通過(guò)網(wǎng)絡(luò)在線觀看或者下載電影，能毫無(wú)障礙地刷各種各樣的短視頻……這一切都建立在香農(nóng)公式之上，香農(nóng)公式徹底改變了我們的生活。

再舉一個(gè)例子，比特幣，相信大家也不陌生。自從2019年正式誕生以來(lái)，這種依據(jù)特定算法和大量計(jì)算產(chǎn)生的虛擬貨幣市值一路水漲船高，2021年11月10日，一枚比特幣的價(jià)格甚至逼近6.9萬(wàn)美元。

不過(guò)我們?cè)谫潎@比特幣“值錢”之余，可能不太清楚，支撐比特幣產(chǎn)生這么大影響力的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之一，竟然是高中時(shí)期人人都學(xué)過(guò)的橢圓曲線方程——比特幣能誕生和流通，不可或缺的一點(diǎn)就是它有極佳的保密算法，而這種保密算法，就是基于橢圓方程形成的。

計(jì)算機(jī)程序通過(guò)橢圓曲線選取密鑰對(duì)，由私鑰計(jì)算出公鑰。公鑰加密，私鑰解密，利用橢圓曲線對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行簽名驗(yàn)證，這個(gè)過(guò)程使交易、簽名和認(rèn)證變?yōu)榱丝赡埽ＷC了比特幣的安全。

這聽(tīng)起來(lái)是否會(huì)有些晦澀難懂？其實(shí)我們可以簡(jiǎn)單地將其理解為，橢圓曲線是籠罩在比特幣世界的一層高壓電網(wǎng)，這層“高壓電網(wǎng)”，起碼可以隔絕百分之九十九的黑客攻擊。

看了這兩個(gè)例子，大家應(yīng)該已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了，之所以有人宣揚(yáng)數(shù)學(xué)無(wú)用論，只不過(guò)是因?yàn)樗麄冎豢吹搅藬?shù)學(xué)最淺顯的表層，還沒(méi)有達(dá)到能夠應(yīng)用數(shù)學(xué)的高度。

借用前陣子火過(guò)的一個(gè)梗來(lái)解釋：“有些人只看到了第二層，就把數(shù)學(xué)只想成了第一層，實(shí)際上，數(shù)學(xué)是第五層”，這“第五層”，是有些人終其一生，墊著腳都?jí)虿坏降母叨取?/p>

無(wú)論我們是否喜歡數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)都在不斷改變著我們的生活和我們的世界。這或許就是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最根本的理由。

不過(guò)，我相信，任何一個(gè)不喜歡數(shù)學(xué)的人，都會(huì)因?yàn)檫@本書而愛(ài)上數(shù)學(xué)。因?yàn)樗鼘懗隽藬?shù)學(xué)的美感，描繪出了數(shù)學(xué)的故事，它至少讓你知道，每一個(gè)數(shù)學(xué)公式，都是一句我們理解世界、理解宇宙的語(yǔ)言。