裂隙砂巖破壞過程中的能量耗散與破碎分形特征研究

劉享華，張 科,，吳文遠

(昆明理工大學 a.建筑工程學院；b.電力工程學院，昆明 650500)

物質破壞是能量轉化作用下的一種狀態失穩現象[1]。巖體受載變形并破壞實質上是不可逆的熱力學過程，能量的耗散和釋放至關重要[2]。因此，從能量轉化作用角度研究巖體破裂機制得到眾多學者的青睞[3-7]。

上述研究主要針對完整巖石，但是工程巖體中常孕育著不同尺度、特性的地質結構面，不僅控制著巖體的變形破裂行為，而且對能量耗散和釋放規律也有一定的影響。因此，筆者在不同裂隙傾角砂巖試件單軸壓縮試驗研究的基礎上，分析了裂隙砂巖變形破裂過程中的能量演化特征，引入分形理論定量表征了破壞后碎屑尺度分布的分形特征，初步探究了裂隙砂巖耗散應變能、抗壓強度以及分形維數之間的相關性，從能量的角度揭示巖石破壞過程中應力釋放和耗散的規律，對闡明巖石的破壞機理提供參考。

1 試件制備及試驗方案

1.1 試件制備

圖1 試件尺寸圖局部Fig.1 Geometry of specimen

本次試驗選取紅砂巖作為研究對象，巖樣取自云南省楚雄彝族自治州，表面光滑平整，呈致密塊狀構造。為了避免巖石各向異性的影響，選用同一塊紅砂巖板進行切割，并打磨成尺寸為120 mm×60 mm×25 mm(長×寬×厚)的長方體，如圖1所示。采用高速水刀切割技術加工長度為2l=26 mm的預制裂隙，裂隙中點與試件中心點重合，裂隙分布如圖1所示。裂隙傾角β分別設置為15°、30°、45°、60°和75°共5種情況，每種裂隙傾角制備2個試樣。在預制裂隙中插入云母片，用于模擬閉合型裂隙。制備好的裂隙砂巖試件如圖2所示。

1.2 試驗裝置及實驗方案

單軸壓縮試驗加載設備采用WAW1000型電液伺服萬能材料試驗機，具有剛度大、穩定性好以及測量精度高等特點。試驗開始前，將砂巖試件放置于試驗機上，在試件上下端面加設剛性墊片，以減小加載過程中的摩擦效應。本次試驗采用位移加載控制，加載速率設置為0.3 mm/min。試驗機配套軟件自動記錄試驗過程中的軸向載荷和位移數據。采用高清攝像機記錄裂紋萌生、擴展和貫通的全過程，攝像機放置于距離試件正面1 m處。試驗研究發現5種裂隙傾角試件的破壞模式基本一致，都表現為沿裂隙面發生剪切破壞。

圖2 待試驗的試件Fig.2 Specimens to be tested

2 能量耗散特征

能量耗散和釋放在巖石的變形破壞中起著重要的作用。從能量轉化的意義上講，巖石的破壞，包括裂隙的萌生、擴展和貫通，本質上是一個熱力學過程，伴隨著能量的耗散和釋放。能量耗散導致巖石內部發生劣化，能量釋放導致巖石結構突變，而當應變能急劇釋放，巖石將發生破壞，在某些特定條件下，這是造成重大地質災害的因素之一。因此，有必要對變形和破壞過程中巖石的能量耗散和釋放規律進行研究。

2.1 應變能計算方法

假定單軸壓縮試驗環境與外界不存在熱交換效應，忽略巖塊彈射而轉化的動能，則外力所做功(試驗機對試件做的功)的總輸入能量U即為總應變能，根據熱力學第一定律可以得到單軸壓縮過程中應變能的計算公式[1]

U=Ue+Ud。

(1)

式中：Ue為彈性應變能；Ud為耗散應變能。巖石吸收的總應變能U轉化為可釋放的彈性應變能Ue被儲存在試件內以及用于損傷擴展消耗掉的耗散應變能Ud。圖3為單軸壓縮加載中試件的彈性應變能Ue與耗散應變能Ud之間的關系。

圖3 試件單軸壓縮加載中耗散應變能Ud與可釋放應變能Ue的關系[1]Fig.3 Relationship between dissipation strain energy and releasable strain energy during uniaxial compression test

由于整個試驗過程中只有軸向應力對試件做功，故根據熱力學理論，U、Ue和Ud可分別通過以下公式求得：[1]

(2)

(3)

Ud=U-Ue。

(4)

式中：σ為軸向應力；ε為應變；Eu為卸載彈性模量。

本次研究沒有進行卸載試驗，故未得到卸載彈性模量Eu。為了方便計算，采用初始彈性模量E0替代卸載彈性模量Eu。梁昌玉等[13]和李樹剛等[14]通過對砂巖進行加卸載試驗發現，初始彈性模量E0與卸載彈性模量Eu非常相近，并論證了采用E0代替Eu的合理性。因此，式(3)可進一步改寫為

(5)

2.2 裂隙砂巖變形破裂過程中的能量演化特征

圖4 破壞模式、應力應變曲線以及應變能演化曲線Fig.4 Dependences of failure mode,stress,and strain energies on strain

峰后破壞階段(階段Ⅳ)：應力達到峰值后，裂紋的快速擴展和貫通導致試件失去承載力并發生破壞。在應力下跌過程中(C點到D點)，彈性應變能曲線逐漸下降，而耗散應變能曲線快速上升。峰值點以前，外力對試件做的功被試件的自身變形轉化為彈性應變能，少部分能量被試件損傷擴展消耗掉。隨著砂巖試件損傷逐步累積，試件慢慢發生劣化，耗散應變能也不斷增大，達到一定程度后導致試件強度喪失。當應力達到峰值強度后，大量彈性應變能急劇釋放，其中一些能量轉化為其他形式的能量耗散掉，其形式包括裂紋擴展所需的表面能、微裂隙間相互摩擦的摩擦熱能和振動彈射碎片的機械能等。彈性應變能釋放量越多，釋放速率越快，試件張性破壞特性越明顯，裂隙砂巖試件被破碎成更小的碎片，導致更嚴重的破壞。

2.3 能量耗散與抗壓強度之間的關系

峰值應力點是裂隙砂巖試件強度喪失至整體失穩破壞的臨界點。裂隙砂巖在達到峰值強度之前，總應變能U和彈性應變能Ue逐漸增加；而耗散應變能Ud隨著應力的增大經歷了由緩慢增長到突然增長的變化過程。在一定荷載水平下，由于其微裂紋擴展、貫通以及破裂面摩擦錯動，使巖石的黏聚力減小，耗散應變能增加。達到峰值強度后，彈性應變能急劇釋放使裂紋的不穩定擴展和貫通加劇，導致試件破裂面擴大直至巖石失穩破壞。

裂隙傾角與峰值應力點耗散應變能之間的關系如圖5所示。圖6為試件裂隙傾角與抗壓強度之間的關系。需要指出的是，當裂隙傾角β=75°時，只有1個試件的試驗結果有效，這是因為該組其余試件表面均存在明顯缺陷。隨著裂隙傾角增大，試件峰值應力點耗散應變能和抗壓強度均呈現出先減小后增大的變化規律。當裂隙傾角β=30°時，試件抗壓強度和耗散應變能均為最小值。結合圖5和6可知，試件峰值應力點耗散應變能和抗壓強度之間可能存在正相關關系。為此，采用最小二乘法對峰值應力點耗散應變能和抗壓強度進行線性擬合，結果如圖7所示，峰值應力點耗散應變能和抗壓強度間近似呈線性相關，相關系數R2為0.87，擬合公式見式(6)。左建平等[16]研究發現煤巖峰前積蓄的能量與單軸抗壓強度大致呈正比關系。

Ud=2.77×10-3σc-6.41×10-2，R2=0.87。

(6)

耗散應變能的演化使裂隙砂巖的強度發生劣化，最終導致結構破壞。試件抗壓強度越高，破壞前積聚的可釋放彈性應變能越多，破壞時轉化成的耗散應變能越多，損傷程度越高。換句話說，能量耗散與裂隙砂巖的損傷以及強度劣化直接相關。

圖5 裂隙傾角與耗散應變能之間的關系Fig.5 Relationship between flaw inclination and dissipation strain energy

圖6 裂隙傾角與抗壓強度之間的關系Fig.6 Relationship between flaw inclination and compressive strength

圖7 抗壓強度與耗散應變能之間的關系Fig.7 Relationship between compressive strength and dissipation strain energy

3 破碎分形特征

分形幾何可以定量描述自然界中復雜無序而具有某種內在規律的對象，為人們從局部認識整體，從無限認識有限提供了有力的工具，因此廣泛應用于巖石破碎學等研究領域[17-19]。巖石破碎是其內部裂紋不斷起裂、擴展和最終貫通的結果，這個從細觀發展到宏觀破碎的過程具有分形特性。而巖石的宏觀斷裂是由小破裂發展聚集導致的，小破裂又是由微裂紋的萌生擴展而成，這種自相似行為必然導致破碎后碎屑尺度也具有自相似特征。另一方面，巖石破壞后的碎屑包含許多有用的信息，不僅能直接反映巖體的破壞特性，還可以間接反映巖石的加載路徑、加載應力狀態和能量演化等[20]。因此，采用分形維數表征試件破壞后碎屑尺度分布的分形特征，對研究裂隙砂巖的破壞機制具有一定的理論意義。

3.1 分形維數計算方法

m(r)/m=(r/a)k。

(7)

式中：m為碎屑總質量；r為等效粒徑，即篩徑；m(r)為篩徑小于r的碎屑質量；a為碎屑平均尺寸。

將式(7)兩邊取對數，繪制lg[m(r)/m]-lgr雙對數曲線，采用最小二乘法線性擬合，k為擬合曲線的斜率。則碎屑尺度分布的分形維數D定義為[19]：

D=3-k。

(8)

上述方法計算得出的分形維數D的范圍介于0 ～ 3。當0

3.2 分形維數計算結果

圖8為典型裂隙砂巖試件(β=45°)單軸壓縮試驗后的碎屑，破壞后的碎屑主要呈不規則的碎塊狀、碎片狀、顆粒狀等。根據上述計算分形維數的方法，對不同裂隙傾角砂巖試件的碎屑采用篩分法進行篩分，篩徑選用10，5，2，1，0.5，0.25,0.075 mm共7種，采用精密電子秤稱量每種等級篩分出的碎屑質量。將碎屑按粒徑大小劃分為4個粒級：微粒碎屑(d<0.075 mm)、細粒碎屑(0.075 mm≤d<5 mm)、中粒碎屑(5 mm≤d<10 mm)和粗粒碎屑(d≥10 mm)。計算不同裂隙傾角試件各粒級的質量占比，微粒碎屑、細粒碎屑、中粒碎屑和粗粒碎屑的質量百分比分別為0.0084%～0.037%、0.063%～0.88%、0.09%～0.52%和97.88%～99.52%。裂隙砂巖破壞產生的碎屑中，粗粒碎屑的質量遠遠大于其他粒級碎屑質量的總和，細粒碎屑的質量占比大于中粒碎屑，微粒碎屑的質量占比最小。

圖8 單軸壓縮試驗后的碎屑分類(根據粒徑，單位：mm)Fig.8 Classification of fragments after uniaxial compression test

根據式(7)和(8)計算不同裂隙傾角下砂巖試件的分形維數。圖9為典型裂隙砂巖試件(β=45°)破壞后碎屑尺度分布的lg[m(r)/m]-lgr關系。計算結果表明所有試件的相關系數R2均大于0.85，因此lg[m(r)/m]和lgr之間具有高度相關性[21]。再結合式(7)和(8)中分形維數的定義可知，試件破壞后的碎屑尺度分布展現出明顯的分形行為。圖10為不同裂隙傾角試件的分形維數，位于2.58 ～ 2.64。高峰等[22]計算了完整巖石在單軸壓縮試驗后的分形維數，在1.7 ～ 2.0范圍內。這說明裂隙巖石單軸壓縮后的破碎程度高于完整巖石，破壞過程中產生的細粒碎屑和微粒碎屑含量增加，所以分形維數更大。

圖9 碎屑lg r-lg[m(r)/m]關系Fig.9 Relationship between lg r and lg[m(r)/m]

圖10 裂隙傾角與分形維數之間的關系Fig.10 Relationship between flaw inclination and fractal dimension

從圖10中還發現分形維數與裂隙傾角密切相關，隨著裂隙傾角增大，分形維數表現出先減小后增大的變化規律；當裂隙傾角β=30°時，分形維數最小，這與抗壓強度的變化規律相似。

3.3 抗壓強度與分形維數之間的關系

結合圖6和圖10分析可得，試件抗壓強度越大，破壞時斷裂次數越多，破碎程度越嚴重，細粒碎屑和微粒碎屑的質量占比越大，導致分形維數越高。進一步研究抗壓強度和分形維數之間的關系，最小二乘法線性擬合結果如圖11所示，表明試件抗壓強度與分形維數呈線性關系，擬合相關系數R2為0.87，擬合公式見式(9)。陳新等[23]在含裂隙的類巖石試件單軸壓縮試驗中也發現了類似的規律。

D=2.43×10-3σc+2.46，R2=0.87。

(9)

由此可見，裂隙砂巖破壞后碎屑的分形維數可以用來描述裂隙砂巖破碎程度。

圖11 抗壓強度與分形維數的關系Fig.11 Relationship between compressive strength and fractal dimension

4 能量耗散與破碎分形特征之間的力學機制及關系

上述研究表明，巖石試件抗壓強度和耗散應變能呈線性相關，可用以下公式表征：

σc∝Ud。

(10)

巖石試件抗壓強度越大，破壞時的碎屑尺度越小，即微粒、細粒碎屑含量增加，此時lg[m(r)/m]-lgr雙對數坐標下的斜率值k也就越小，分形維數增大。抗壓強度與分形維數之間的力學機制可用以下公式表征：

(11)

結合式(10)和(11)不難得出，耗散應變能與分形維數之間也存在正相關關系，即峰值應力點耗散應變能越大，分形維數則越大。兩者之間的力學機制可采用以下公式表征：

Ud∝D。

(12)

對耗散應變能與分形維數進行最小二乘法線性擬合分析，擬合結果如圖12所示，擬合公式如式(13)，進一步證明了兩者之間存在正相關關系：

D=2.52+0.81Ud，R2=0.86。

(13)

進一步研究發現，裂隙砂巖單軸壓縮破壞后碎屑尺度隨耗散應變能增大而減小，這是由于耗散應變能足夠大時，新生裂紋快速萌生、擴展，最終破碎分離，伴隨著更小尺度碎屑產生。因此，裂隙砂巖的破碎塊度越小，破壞時需要消耗的能量越多。

圖12 耗散應變能與分形維數的關系Fig.12 Relationship between dissipation strain energy and fractal dimension

需要說明的是，巖石是一種有著復雜內部結構的地質體[24]，不可避免地導致本次試驗數據具有離散性，但抗壓強度、耗散應變能和分形維數三者兩兩之間仍表現出明顯的總體規律，如圖7、11和12所示，相應的擬合相關系數R2均大于0.86。在今后的研究工作中，將增加試件數量，進一步驗證和完善本文中提出的研究結論。

5 結 論

從能量角度出發，研究了含不同裂隙傾角的砂巖試件在單軸壓縮作用下的能量耗散、力學特性以及破壞后的碎屑尺度分布特征，討論了三者之間的關系，得出了以下結論。

1)不同裂隙傾角的巖體應變能演化過程大致相同，都經歷了初始壓密階段、彈性變形階段、塑性變形階段以及峰后破壞階段。

2)裂隙砂巖試件的抗壓強度和峰值應力點耗散應變能表現出相似的變化規律。隨著裂隙傾角增大，兩者均表現為先減小后增大的趨勢。當裂隙傾角β=30°時，耗散應變能和抗壓強度都最小。數據擬合結果表明，抗壓強度和峰值應力點耗散應變能近似呈正相關關系。

3)篩分試驗發現試件受壓破壞后的碎屑尺度分布具有分形特征，計算所得的分形維數介于2.58～2.64之間，大于完整巖石的分形維數。隨著裂隙傾角增大，分形維數表現為先減小后增大的變化規律，與抗壓強度的變化規律類似。試件抗壓強度與碎屑尺度分布分形維數近似呈正相關關系。

4)能量耗散與破碎分形特征之間關系的研究結果表明，裂隙巖體能量耗散與破碎分形特征之間具有較好的相關性。這是因為巖體抗壓強度越高，表明抵抗外力破壞的能力越強，所需的耗散應變能也就越大，導致試件破碎程度越高，相應的分形維數隨之增大。