基于自適應控制的分數階不確定耦合遞歸動態神經網絡系統的參數識別

曲禧龍，張艷平 ，鄭明文，于瀟，姜兆磊

(1. 山東理工大學 數學與統計學院, 山東 淄博 255049 2. 山東理工大學 計算機科學與技術學院, 山東 淄博 255049)

人工神經網絡是當前人工智能領域研究的一個熱點問題。關于人工神經網絡非線性動力學問題的研究是其重要的研究分支之一，它主要通過采用動力學系統理論、非線性規劃理論和統計理論，研究神經信息處理機制[1-2]。近年來遞歸動態神經網絡(RDNNs)得到了學術界關注，廣泛應用在信號處理[3-4]，優化計算[5-6]等方面。遞歸動態神經網絡由多個節點組成，其中每個節點都是一個動力學系統，向每個節點添加耦合和連接強度，可將其看作一種復雜的動力學神經網絡。

近年來，如何快速準確識別不確定耦合遞歸動態神經網絡的未知參數和拓撲結構成為了當前研究的一個熱門課題，這對于理論研究和實際應用都具有重要意義。關于整數階不確定耦合動態神經的參數識別得到了很多學者的研究，在復雜網絡的參數識別和同步控制方面取得了一些進展[7-13]。目前，復雜網絡參數識別是基于同步的方法，其中包括完全同步[14]，反同步[15]等，如文獻[16-17]使用不同的控制策略實現了同步。

Zheng等[18]研究了帶有時延的整數階不確定耦合遞歸神經網絡的參數識別和同步。Si等[19]研究了分數階復雜動態神經網絡的參數辨識和拓撲識別。文獻綜述得知，分數階微分方程具有更好的性質，可以更準確地描述系統的變化。因此本文研究基于自適應控制的FUCRDNNs參數識別問題，通過設計自適應控制器和未知參數的更新法則，以實現FUCRDNNs中未知參數和拓撲結構的準確識別。

1 引理和網絡系統

1.1 分數階微分的定義

在分數階微積分的發展歷史中，對分數階微積分有過許多不同的定義，其中，Caputo定義因其廣泛的實際應用而被認為是最常使用的定義。因此，本文使用Caputo定義來描述分數階微分系統。

分數階微分的Caputo定義為

(1)

式中：n是第一個大于q的整數，即n-1

(2)

1.2 分數階系統的局部穩定性理論

首先考慮如下的分數階系統:

DqX=AX

(3)

或

DqX=f(X)，

(4)

式中：X∈Rn；A∈Rn×n；q∈(0,1]。

引理1如果A是一個常數矩陣并且|arg(λi(A))|

Craye等[20]首次提出了引理1，該引理已被廣泛應用于遞歸動態神經網絡的穩定性證明和同步控制問題中。

引理2如果存在一個實對稱正定矩陣P對于任意的狀態向量X(t)都滿足J=XTPDqX≤0，那么分數階非線性系統(3)和(4)在階數為0

引理2的證明見文獻[21]。

1.3 分數階遞歸動態神經網絡系統

本文中包含N個節點的FUCRDNNs數學模型可以描述為

Dqxi(t)=-Cxi(t)+αf(xi(t))+

(5)

式中：xi(t)=(xi1(t),xi2(t),...,xin(t))是第i個節點的狀態向量；C=diag{c1,c2,...,cn}是正定對角矩陣；α=(αij)n×n∈Rn×n是連接權重矩陣；f(xi(t))=(f1(xi1(t)),f2(xi2(t)),…,fn(xin(t)))是激活函數；G=(gij)N×N∈RN×N,gij≥0是外部耦合連接權系數；Γ=diag{γ1,γ2,…,γn}∈Rn×n,Γ>0是內部耦合矩陣；Ii(t)∈Rn為FUCRDNNs的外部輸入。

(6)

2 參數識別法則和局部穩定性證明

本節通過設計一個自適應控制器和參數更新法則，實現兩個FUCRDNNs的同步和未知參數的識別，并通過構造輔助函數證明該方法的局部漸近穩定性。

首先，基于自適應控制的方法，本文構造了一個帶有自適應控制器的響應系統：

(7)

定義1系統(5)和系統(7)的同步誤差可以被定義為ei(t)=yi(t)-xi(t)，故誤差系統可以被定義為

(8)

(9)

注3由于耦合的存在，本文不要求系統(1)和系統(2)的參數完全一致。

FUCRDNNs中未知參數的更新法則和自適應控制器可以被定義為

式中：θi(t)是自適應控制參數；σi是第i個節點的控制強度；pi>0,i=1,2,…,N；H=(hij)N×N是適合維度的矩陣。

注4當兩個系統實現了同步，則誤差系統將會趨近于0。

注5在本文中，模型中所有的未知參數都可以被成功識別。

定理1如果假設1成立，那么系統(5)和系統(7)就可以實現同步，并能夠實現所有未知參數的識別。

(11)

式中:u,v∈N,u=i/n,v=i%n。

這里可以構造一個對稱正定矩陣P

(12)

本文可以做出推導：

J=XTPDqX=

(13)

式中

(14)

推論1如果FUCRDNNs由N個節點組成，移除其中的耦合項，則其數學模型可以被定義為

Dqxi(t)=-Cxi(t)+αf(xi(t))+Ii(t)，

(15)

則未知參數的更新法則和基于自適應的控制器可以被定義為

(16)

證明推論1的證明可以直接由定理1的證明得出，這里省略。

推論2如果參數C和α是已知的，那么未知參數的更新法則和自適應控制器可以被描述為

證明推論2的證明可由定理1的證明直接得出，本文省略。

3 數值算例

本文給出兩個數值算例驗證所提出方法的有效性。

3.1 不含耦合項的FUCRDNNs參數識別

算例1以含有三個相同節點的不帶耦合項的FUCRDNNs為例，其數學模型可以被定義為

Dqxi(t)=-Cxi(t)+αxi(t)+Ii(t),i=1,2,3。

(18)

這里可以構造一個響應系統：

Ii(t)+ui(t),i=1,2,3，

(19)

驅動系統(18)的初始條件為：

x1=[30,10]T,x2=[-12,-30]T,x3=[13,-15]T。

在驅動系統(18)中需要被跟蹤的參數為：

本文將響應系統(19)的初始值設置為：

y1=[0,0]T,y2=[0,0]T,y3=[0,0]T。

響應系統(19)中需要被識別的參數初始值設置為：

圖1 未知參數的識別結果

最后，此算例的參數識別結果為：

圖2 未知參數的識別結果

(a)t∈[0,0.5]

3.2 FUCRDNNs的參數估計和拓撲識別

算例2考慮一個含有三個相同節點的FUCRDNNs：

(20)

這里可以構造一個響應系統：

ui(t),i=1,2,3。

(21)

將驅動系統(20)的初始條件設置為：

x1=[30,20]T,x2=[-10,-20]T,

x3=[15,-10]T。

在驅動系統(20)中需要被跟蹤的參數為：

將響應系統(21)的初始條件設置為：

y1=[0,0]T,y2=[0,0]T,y3=[0,0]T。

將響應系統(21)中需要被識別參數的初值設置為：

其中：階數q=0.995；自適應系數設置為σ=[2,2,2]；p=[1,1,0.5]；將激活函數定義為fi(x)=tanh(x)，它顯然滿足李普希茲條件。圖5—圖9分

圖5 未知參數的識別結果

最后，本文得出未知參數的識別結果為：

圖6 未知參數的識別結果

圖7 未知參數的識別結果

(a)t∈[0,0.5]

4 結論

1)本文通過設計自適應的控制器，實現了兩個分數階神經網絡系統的同步。

2)本文通過設計未知參數的更新法則，實現對FUCRDNNs中所有未知參數的識別。

3)本系統可以很容易地推廣到不帶耦合的FUCRDNNs的參數識別。一些只能識別部分未知參數的系統可以看作是本文的一個特例。

時延可能會改變系統性態，下一步將研究帶有時延項的分數階遞歸動態神經網絡系統的同步和參數識別問題。