在小學數學教學中發展學生運算能力的探究

程紅霞

（廣東省深圳市寶安區寶安小學）

運算能力是《義務教育數學課程標準（2011 年版）》提出的十大“核心詞”之一。關于運算能力，很多教師對它在小學數學教學中的地位、價值和實踐操作等方面都有討論。發展學生的運算能力是小學數學教學中最重要的培養目標之一。培養學生的運算能力，首先要了解其內涵，對運算能力的培養要求做到心中有數；其次，要結合數學課堂的實際情況，制定具體的培養策略。

一、關于運算能力內涵的研究

《義務教育數學課程標準（2011年版）》對運算能力的描述是：運算能力主要是指能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力，培養運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。從這段表達中，我們可以提煉幾個關鍵詞：正確運算、理解算理、方法合理（運算簡潔）。

對于運算能力內涵的具體解讀，比較有代表性的是上海市特級教師曹培英老師提出的“四面體結構模型”（如圖1）。

圖1 四面體結構模型

該四面體結構模型不僅充分解讀了運算能力的內涵，還為實踐提供了指導思想與可操作的方法。

曹老師以四面體模型形象直觀地解讀了運算能力的以下四方面內涵：

其一，基本口算主要是指20 以內的加減與表內乘除，基本口算是運算能力提升的基礎之一；其二，算法、算理是運算能力的“一體兩翼”，兩者相輔相成，不可偏廢；其三，基本口算與算法算理共同構成了運算能力的底層基礎，運算策略的制訂及運算能力的進一步的提升，都要在這個基礎之上去進行；其四，運算策略包括對信息的挖掘、問題的定向與識別、方法的選擇與過程的簡潔、自覺評價。

除了曹老師這樣比較深度的解讀之外，還有很多學者對運算能力的內涵進行了研究。其中一種較為合理的觀點是“綜合能力說”，認為運算能力是一種綜合的能力，是“運算技能與邏輯思維能力等的一種獨特的結合”“運算能力不是簡單的加減乘除的計算，而是與觀察能力、記憶能力、理解能力、推理能力、表達能力及想象能力等有關的由低級到高級的綜合能力。”

從以上的內涵解讀中，我們可以得到兩點有益的啟示：

一是運算能力具有一定的層次性和發展性。小學階段的數的認識和數的四則運算幾乎是同時發展的。隨著學生知識面的拓展，數的運算抽象程度不斷提高，運算能力也隨之不斷發展。教師在教學中要特別關注因學習內容進階而引起的對運算能力發展的不同要求，使具體目標與教學策略有助于學生提升運算能力（見圖2）。

圖2 小學階段“數的運算”的主要內容

二是運算能力是一種綜合的數學能力。這和前文提到的綜合能力是相呼應的。運算能力絕對不是算得又對又快，而是應該包括正確理解數與基本運算概念等相關知識、辨識理解信息條件、合理選擇運算方法與策略、使運算過程符合算律、算理，盡可能簡潔地獲得運算結果并判斷運算結果的合理性。因此，每一次的運算過程都是諸多從低級到高級思維活動綜合應用的結果。

二、運算能力的培養策略

基于對運算能力內涵的解讀和研究，結合數學課堂教學實際，我認為，培養學生的運算能力可以有如下策略。

（一）重視數與基本運算概念的教學

重視數與基本運算概念的教學有助于學生感悟算理，利用算理推導算法，識別、理解各種數量關系，合理選擇運算策略，為學生運算能力提升提供有力的支撐。

1.加強對基本運算結構的理解與識別

圖3 是加減法的基本運算結構圖，其中分為添加型、拿走型、部分—部分—全體型、比較型。

圖3 加減法基本運算結構

我們以3 道題為例。第一題，淘氣有8 元，笑笑又給他4 元，兩人一共有多少元？這屬于添加型的題目。第二題，淘氣有8 元，笑笑有4 元，他們兩人一共有多少元？這個題目是部分—部分—全體型，我們也可以叫它并加型。第三題，淘氣有8 元，笑笑比淘氣多4 元，笑笑有多少元？這個題目是比較型。雖然這3 道題的做法都是8+4=12 元，但是它們的意義是不一樣的，對應的基本的運算結構也是不一樣的。由這3 種基本的運算結構變換不同的起始量、改變量、結果量，就構成了加減法的豐富多彩的故事情境與問題解決樣態。同樣，乘除法也有類似的基本運算結構，學生對于基本運算結構的理解和識別，能夠幫助他們去理解運算的概念，并有助于信息的提取、方法的合理選擇等，有利于學生運算能力的提升。

2.以多元表征促進運算概念和運算關系的理解

圖4出現了3種語言：模型、文字和符號，它們是多元表征5 種形式當中的3 種。在小學階段數的運算里，很多時候我們會借用3 種語言的模式來協助學生去發展運算概念。我曾執教了一節在多元表征中學習乘法分配律的課，這節課用到了模型、圖形、符號、文字4 種表征方式。在執教中，我是如何以多元表征來促進學生對運算概念和運算關系的理解呢？

圖4 運算概念的3種多元表征

首先，引導學生在模型和數字、算式之間做聯接（如圖5）。

圖5 乘法分配律配圖

出示圖5 的左側圖，提問：可以用什么算式來表示這個圖形？3 在哪里？5 在哪里？3×5 是什么意思？通過數形結合，明確“3”表示的是大方塊每行有3 個小方塊，“5”表示的是大方塊每列有5 個小方塊，而“3×5”則表示“橫著數，每行有3個，有5行，共有5個3；豎著數，每列有5個，有3列，共有3個5”。不僅在這里做了模型與數的聯結，更建立起了該模型與乘法運算之間的對應關系。

出示圖5 中的右側圖，提問：怎樣列式表示這兩個大方塊組合的情況？3×5+4×5 是什么意思？（3+4）×5呢？兩者有什么區別？

再做算式和圖形之間的轉換：算式2×6+3×6=（2+3）×6 表示的圖是什么樣子的？請再畫出來（如圖6）。

圖6 算式和圖形之間的轉換

其次，設計關聯性任務來促進多元表征學習。

【任務一】每個人用同一種顏色的小方塊拼一個幾乘幾的大方塊，在拼的同時要用乘法算式來表示。

【任務二】思考自己拼出的大方塊是否可以跟目標大方塊連接成一個更大的方塊。我收集全班學生表征大方塊的乘法算式，與他們一起看算式，判斷哪些算式表示的方塊可以與目標方塊連接，哪些是不可以連接的，并思考、表達為什么不可以連接，為什么可以連接。完成后，啟發學生：按照連接方式的不同對這些算式進行分類，你想怎樣分？學生在想象、比較、分類中反復進行模型和算式之間的互相轉化。

【任務三】把5×9 的大方塊拆分成2 個方塊，可以怎樣拆？收集完拆分方塊的算式后，我繼續引導學生對這些算式進行觀察、比較、分類，思考“按照拆分方式的不同，可以將這些算式分成幾類”。

通過這樣不斷地去反思操作過程、細化多元表征學習、促進表征形式之間的互換互化，學生對乘法分配律中復雜的運算關系和運算結構的理解和認知會越來越清晰、具體。這樣的學習有助于學生把握基本運算概念和復雜的運算關系，有助于算理理解與算法掌握，最終促進運算能力的提升。

（二）強化算理理解與基本算法的學習

在曹培英老師提出的四面體模型中，算理理解、算法掌握是提升運算能力的兩大基石。基于提升學生運算能力的計算教學需要教師在以下兩點上花費更多的心思。

1.在具體情境與操作活動中理解算理

在學習小數除法單元時，我專門設計了一節活動課，讓學生經歷換錢、分錢的操作活動，記錄換錢和分錢的每一個步驟，用自己的方法解決小數除法的實際問題。

【活動背景】

你和你的4 個小伙伴收集了一些廢品，一共賣了12元錢。5個人要平分賣廢品的收入。

【活動內容】

想一想：廢品站的叔叔給了你1 張10 元，2 張1元的鈔票，每個人拿到的錢數要相同，你會遇到什么問題？

換一換：每個小組有一次兌換零錢的機會，請先想好如何兌換，再到“零錢銀行”按需換取。

分一分，記一記（以元為單位）：小組內將12 元錢平分給5 個小朋友，用算式記錄整個分的過程（分失敗的小組，請思考如何修正才能成功）。

學生在活動中有如下的一些記錄方法：

（1）10元÷5=2元，1.5元÷5=0.3元，2+0.3=2.3元

（2）10元÷5=2元，1元÷5=0.2元，0.5元÷5=0.1元，2+0.2+0.1=2.3元

（3）10元÷5=2元，10角÷5=2角，5角÷5=1角，2角+1角=3角，2元+3角=2.3元

（4）10 元÷5=2 元，15 角÷5=3 角，2 元+3 角=2.3 元

通過討論，學生意識到（1）和（2）中的1.5元÷5=0.3 元和 1 元÷5=0.2 元、0.5 元÷5=0.1 元不符合換錢分錢的實際情況，因為1元換成了10角，分錢時分的是15 角或者先分10 角再分5 角，所以符合操作過程的記錄應該是（3）或者（4）。換錢、分錢、記錄都體現了細分計數單位的小數除法的本質。這樣的活動為下一節課理解小數除法豎式計算的算理提供了具體而形象的支撐。具體的操作活動不僅加強了學生對于細分計數單位的體驗，更有助于將比較抽象的小數除法變得具體、可視化、易理解。

2.在算法多樣化中派生出基本算法

算法多樣化并不是簡單的“百花齊放”或先多樣再優化，而是應該從多樣化的算法中尋找到共通的算理，從而派生出具有普適性的基本算法。

如“小數乘整數”一課，這節課的主要任務是：計算0.3×4，并對自己的計算方法做簡單說明。學生有以下7種做法與相應的說明。

（2）3×4=12，12÷10=1.2

交流時學生補充：0.3×10=3。

（3）0.3+0.3+0.3+0.3=1.2

交流時學生補充：0.3+0.3=0.6，0.6+0.3=0.9，0.9+0.3=1.2。

（4）4×0.3=0.1×（3×4）=0.1×12=1.2

說明：0.3=0.1×3，3×4=12，12×0.1=1.2。

（5）3×4=12（分為10和2）

10×0.1=1，2×0.1=0.2，1+0.2=1.2

把學生的方法梳理出來之后，我提出了兩個相應的問題，引導學生尋找多樣化算法中的共通之處：找出想法相同，但形式不同的方法有哪些？所有的方法都需要計算什么？（需要計算3×4=12，12 個0.1是1.2）

教師在計算教學中應鼓勵學生嘗試多樣化的算法，并引導學生比較各種算法之間的聯系，揭示不同算法背后的算理本質，從共通的算理中自然生長出基本算法。這也是“算法多樣化”的內涵，即要在學生原生的非基本算法和通用的基本算法之間找到關聯處和生長點。

（三）突出對基本數學思想的感悟

基本數學思想的運用在“數的運算”版塊中占據的份量很重。如將未知轉化成已知，幫助學生理解算理、探究算法，這在教材里有相當多的體現。北師版教材中，在學習“兩位數乘一位數”的時候，我們是把它轉化成表內乘法來計算、理解算理；在學習“兩位數乘兩位數”的時候，則是將它轉化成“兩位數乘一位數”去理解算理和探究算法。轉化（化歸）的思想在計算教學中的應用非常普遍。除此以外，在小學數學數的運算當中蘊含的數學思想方法還有數形結合、推理、符號化、類比、數學模型等。教師要善于挖掘“數的運算”內容中的數學內涵與思想方法，助力學生探究學習，提升學生的運算能力。