一種差分放大電路教學的通用參數模型

張致遠 龔婧 趙建輝 李明 李帆

摘?要：差分放大電路是模擬電子技術課程中的一個重要知識點。傳統教學模式下，差分放大電路一般先求解靜態工作點，然后根據信號的雙端或單端輸入方式以及輸出方式，將輸入信號等效為共模信號與差模信號，再結合電路的對稱性，分別分析差分放大電路的差模特性與共模特性[1]。目前，國內外教材與文獻中，對差分放大電路交流通路等效方法主要有兩種，一種是數學等效[12]，另一種是輸入信號耦合傳輸等效[34]，這兩種等效方法均引入了差模與共模概念，由于放大電路信號的激勵和輸出方式組合共4種，學生習慣于單入單出的電路模型分析，理解上難度較大，公式容易混淆。本文提出一種新的差分放大電路的交流分析通用模型，利用該模型可推導出差分放大電路的一般性結果，與教材上對比分析，有助于學生深入理解差分放大的概念并掌握電路的內在本質。

關鍵詞：差分放大電路;通用模型;差模信號;共模信號

中圖分類號：G426??文獻標識碼：A

在差分放大電路的教學中，國內外教材一般在長尾式差分放大電路對稱性的基礎上，將電路分解為差模模型和共模模型兩種，然后通過兩種簡化后的h參數等效模型，分別分析差模放大倍數及共模放大倍數，再對輸入信號進行分解，根據線性電路的特點，對差模輸出和共模輸出進行線性疊加，從而得到電路的總輸出，同時引出差分電路共模抑制比概念。

上述方法雖然能夠分析不同條件下的輸入、輸出電阻，輸出電壓，放大倍數等，但模電初學者理解起來較為困難，如：在輸入和輸出電阻分析中，一般教材和資料中未說明單端輸入輸出情況下電路輸入電阻的概念和計算方法，使學生難以透徹理解單端輸入情況下輸入電阻的含義。本文提出一種差分放大電路通用模型和分析方法，基于長尾式差分放大電路，結合通用h參數等效模型，在任意輸入條件下，可計算輸出電壓的表達式。隨后可根據激勵的差模共模條件，分析得到各種輸入輸出條件下的輸入輸出電壓以及放大倍數和新的共模抑制比定義，即共模輸入電阻與差模輸出電阻的比值。在此基礎上，使用兩種方法，對單端輸入情況下電路的輸入電阻進行了計算分析，通過與現有方法的計算結果進行對比來驗證計算結果的正確性。本文研究可以補充單端輸入情況下放大電路輸入電阻的求解方法，并為學生深入理解差分電路可提高共模抑制比的本質提供了新的教學思路。

1?差分放大電路的電壓放大倍數的通用計算模型

1.1?通用計算模型的原理圖與h參數等效模型

差分放大電路的通用動態分析模型如圖1右側所示，這里并未強調設置Ui1和Ui2是等大反相的關系，即差模信號，而是假定兩個任意的輸入信號同時作用于電路。

現行教材和資料中，進行放大電路的輸入電阻、輸出電阻以及放大倍數等動態參數分析時，均采用簡化后的h參數等效模型，交流電路等效時，可以根據差模或者共模電路的對稱性，畫出簡化后的一半電路圖。

1.2?通用計算模型的推導

在分析放大電路的電壓放大倍數時，采用“用具有比例關系的電流去表達電壓”這一思路。如在共射放大電路中，使用集電極電流和相關電阻表示輸出電壓，通過基極電流與相關電阻表示輸入電壓，二者相除得到電壓放大倍數的表達式。依據該思路，先確定電流關系，再利用相關電阻計算得出輸入電壓和輸出電壓。

Ire=Ib1+Ic1+Ib2+Ic2=（1+β）（Ib1+Ib2）（1）

UeRe=（1+β）Ui1-Uerbe+Ui2-Uerbe（2）

利用基爾霍夫定律和節點電壓法，可以得到上式，將Ue全部移項到左端后，將系數除到右端，通過電流關系架構E點電位Ue和輸入電壓Ui1和Ui2的關系，得到如下算式：

Ue=（1+β）Rerbe+2（1+β）Re（Ui1+Ui2）（3）

Uo1=-βIb1Rc=-βRc（Ui1-Ue）rbe=-βRcrbeUi1-（1+β）Rerbe+2（1+β）Re（Ui1+Ui2）（4）

可見，Ue的值用輸入電壓Ui1和Ui2來表示，Uo1又可以用Ue來表示，所以可以通過Ui1和Ui2來表示輸出電壓。代入上式后得到了如上的結果。顯然，Uo1可以用Ui1和Ui2表示出。

（1+β）Rerbe+2（1+β）Re=（1+β）Re+12rbe-12rberbe+2（1+β）Re=12-12rberbe+2（1+β）Re（5）

Uo1=-βRc1rbe12+12rberbe+2（1+β）ReUi1+βRcrbe12-12rberbe+2（1+β）ReUi2（6）

根據配項，將UO1，Uo2表示成k1Ui1+k2Ui2的形式：

Uo1=-12βRcrbe（Ui1-Ui2）-βRcrbe+2（1+β）Re（Ui1+Ui2）2（7）

Uo2=+12βRcrbe（Ui1-Ui2）-βRcrbe+2（1+β）Re（Ui1+Ui2）2（8）

觀察兩個輸出電壓表達式，得到了任意輸入信號下的輸出電壓結果，UO1、Uo2分別對應單端輸出電壓，UO1Uo2為雙端輸出電壓Uo，該表達形式對差分放大電路的四種接法的輸入情況均適用。下面對差分電路的幾種輸入輸出進行分析：

1.2.1?雙端輸入，雙端輸出分析

輸入信號Ui1和Ui2同時從雙端進入時，差模輸入電壓的性質和表達式可寫為：

Ui1+Ui2=0（9）

Uid=Ui1-Ui2（10）

單端輸出和雙端輸出電壓可表示為：

Uo1=-12βRcrbe（Ui1-Ui2）;Uo2=+12βRcrbe（Ui1-Ui2）（11）

Uo=Uo1-Uo2=-βRcrbe（Ui1-Ui2）=-βRcrbeUid（12）

因此，可得到差模電壓放大倍數：

Ad=UoUid=-βRcrbe（13）

現有教材和資料中的差模放大倍數表達式如下：

Ad=-βRc//RL2Rb+rbe（14）

可見，在電阻Rb=0;RL=

條件下，兩種情況下差模放大倍數的數值相同，說明推導過程以及所得結論正確。

在雙端輸入共模信號時，對于共模輸入電壓，有：

Uic=Ui1=Ui2（15）

將共模輸入電壓代入輸出電壓的通用表達式（7）和（8），則有：

Uo1=-βRcrbe+2（1+β）Re（Ui1+Ui2）2=-βRcrbe+2（1+β）ReUic（16）

Uo2=-βRcrbe+2（1+β）Re（Ui1+Ui2）2=-βRcrbe+2（1+β）ReUic（17）

Uo=Uo1-Uo2=0（18）

顯然，共模電壓的放大倍數Ac=UoUic=0，共模抑制比KCMR=AdAc=

雙入雙出的結果表明，共模輸出電壓為0，共模電壓放大倍數也為0，共模抑制比則為無窮大;差模輸出電壓與放大倍數均可以通過推導得到的通用模型計算得到正確結果。

1.2.2?雙端輸入，單端輸出分析

在雙端輸入差模信號時，輸入電壓性質和表達式與（1）中所寫相同，不再重復描述。由于電路為單端輸出形式，輸出電壓以Uo1為例，有：

Uo1=-12βRcrbe（Ui1-Ui2）（19）

Uo=Uo1=-12βRcrbe（Ui1-Ui2）=-12βRcrbeUid（20）

推導得到差模放大倍數表達式：

Ad=UoUid=-12βRcrbe（21）

現有教材和資料中的差模電壓放大倍數表達式為：

Ad=-12βRc//RL2Rb+rbe（22）

在Rb=0;RL=SymboleB@

條件下，算式（22）與（21）兩種差模電壓放大倍數的數值相同，可見推導過程以及所得結論正確。

在雙端輸入共模信號時，對于共模輸入電壓，有：

Uic=Ui1=Ui2

代入輸出電壓的通用表達式，有：

Uo=Uo1=-βRcrbe+2（1+β）Re（Ui1+Ui2）2=-βRcrbe+2（1+β）ReUic（23）

Ac=UoUic=-βRcrbe+2（1+β）Re（24）

KCMR=AdAc=rbe+2（1+β）Re2rbe（25）

當Rb=0;RL=SymboleB@

時，與現有教材和資料相比，差模放大倍數數值相同，可見推導過程以及所得結論正確。

可見，雙端輸出的情況下，若電路結構理想對稱，則輸出電壓中不含有共模輸出電壓，共模抑制比可以達到無窮大。而在單端輸出的情況下，差模電壓放大倍數則為雙端輸出情況下的一半，這是差模輸入情況下Uo1=-Uo2的緣故。此外，單端輸出時，共模輸出電壓并不為0，這是共模輸入下Uo1=Uo2的緣故，因此在單端輸出的情況下，共模抑制比并不為0。

1.2.3?單端輸入，雙端輸出分析

假設Ui2=0的情況，根據共模輸入電壓和差模輸入電壓的定義，有：

Uic=Ui1+Ui22=Ui12（26）

Uid=Ui1-Ui2=Ui1（27）

在單端輸入的情況下，將兩個輸入電壓Ui1≠0，Ui2=0的數值代入通用模型計算公式。

在差模輸入電壓為Ui1≠0且Ui2=0的情況下，對于差模輸出電壓，有：

Uo=Uo1-Uo2=-βRcrbe（Ui1-Ui2）=-βRcrbeUid（28）

在共模輸入電壓為Ui12≠0且Ui2=0的情況下，對于共模輸出電壓，有：

Uo1=-βRcrbe+2（1+β）Re（Ui1+Ui2）2=-βRcrbe+2（1+β）ReUic（29）

Uo2=-βRcrbe+2（1+β）Re（Ui1+Ui2）2=-βRcrbe+2（1+β）ReUic（30）

Uo=Uo1-Uo2=0（31）

輸出電壓只含有差模輸入電壓的放大成分。因此共模抑制比也為無窮大。可以得出結論：單端輸入時，可以將輸入電壓等效為輸入大小為Ui1的差模電壓與大小為Ui12的共模電壓。

1.2.4?單端輸入，單端輸出分析

對于單端輸入，即Ui2=0的情況，根據共模和差模輸入電壓的定義，有：

Uic=Ui1+Ui22=Ui12（32）

Uid=Ui1-Ui2=Ui1（33）

在差模輸入電壓為Ui1≠0，Ui2=0的情況下，對于差模輸出電壓，有：

U0=AdUid+AcUic（34）

Uo=Uo1=-12βRcrbeUi1-βRcrbe+2（1+β）ReUi12（35）

對差模和共模放大倍數，有：

Ad=-12βRcrbe（36）

Ac=-βRcrbe+2（1+β）Re（37）

與雙端輸入單端輸出的情況進行對比，可以得出規律：將一端輸入電壓為0的情況代入通用計算公式后，得出差模，共模輸出電壓均不為0，即單端輸入單端輸出的情況與雙端輸入單端輸出類似，輸出電壓含有差模與共模輸入電壓的放大成分。共模抑制比不為0。相關結論均與現有教材與資料相符合，且不需要繪制多張h參數等效模型圖進行計算。

1.3?小結

本節通過對差分電路的分析，繪制出了通用h參數等效模型，采用一般情況下，沒有共模差模關系的輸入情況來進行計算，得到了一般性的放大倍數結果。然后帶入差模信號和共模信號兩個特例，計算四種輸出輸入結果連接方式對應的放大倍數以及共模抑制比，并且與教材中的結果進行對比，對比得出通用計算模型的推導公式完全是正確的，可以更迅速和直觀地推導出四種連接方式下，不同的差模電壓放大倍數，共模電壓放大倍數，輸出電壓，以及共模抑制比。

本章節的關鍵在于配項計算中Ui1+Ui2和Ui1-Ui2的處理思路，這一步可以幫助學生理解為何差分放大電路可以放大差模信號而抑制共模信號的放大。此外，讓學生將共模信號理解成干擾信號，差模信號理解成所需信號有助于后續關于集成運放的學習。

2?基于通用參數模型的單端輸入情況下的輸入電阻分析

在求解輸入電阻的過程中，需要明確差模和共模輸入電阻的定義是輸入電壓分別嚴格定義為共模和差模條件下求得的輸入電阻。教材在單端輸入的情況下，將輸入信號分別等效為共模和差模獨立激勵，但并未展現單端輸入情況下的輸入電阻的定義和求解。因此本小節計算并且對比單端輸入下輸入電阻的兩種求法，一種是在輸入端加壓求流，另一種則是將差分放大電路的兩個三極管視作共射共基接法，使用“視點轉移法”求解輸入電阻。

2.1?基于輸入端加壓求流法的輸入電阻分析

由于Ui2=0，根據第二部分的圖2，可以通過輸入回路的電壓關系式列出：

Urbe1=Ui1-Ue=Ui11-（1+β）Rerbe+2（1+β）Re（38）

可以得到流經輸入電路的電流Ii為：

Ii=Ui11-（1+β）Rerbe+2（1+β）Rerbe（39）

進而可以根據輸入電阻的定義得到單入情況下的輸入電阻Ri為：

Ri=Ui1Ii=Ui1Ui11-（1+β）Rerbe+2（1+β）Re/rbeRi=rbe1-（1+β）Rerbe+2（1+β）Re=rbe//（1+β）Re//rbe1+β=rbe//（1+β）Re+rbe（40）

2.2?基于共集—共基級聯方式的輸入電阻分析

將T1、T2兩個三極管連接方式看成兩級，即共集—共基接法[56]，為了與前文保持一致，此處依舊認為Rb=0，由三極管放大電路的電流關系以及視點轉移法得出輸入回路的等效模型圖如圖2右側所示。

根據圖2，可以列出輸入回路方程為：

Ui=Ii（rbe+（1+β）Re//rbe）（41）

再根據輸入電阻定義，可以求解出：

Ri=UiIi=rbe+（1+β）Re//rbe（42）

與第一種求解方法進行對比，結果一致。公式（42）是單端輸入，差模共模共同作用下電路的輸入電阻。其結果與教材中差模輸入電阻結果是不同的，單獨差模信號作用下，由于Re兩端電壓為零，電壓虛短路成立，Re=∞，公式（42）退化為如下：

Ri=2rbe（43）

本小節使用了加壓求流法以及共集—共基等效法兩種方法進行求解，所得的輸入電阻在實際情況下根據串并聯關系則等于教材中的輸入電阻。

3?基于通用模型的共模抑制比討論

3.1?共模抑制比的新含義

由于雙端輸出情況下，共模輸出電壓為0，因此其共模抑制比為∞。在本小節中則先通過輸入電阻的分析重新思考單端輸出情況下的共模抑制比。根據共模輸入電阻的定義：在兩個輸入端輸入共模信號時，從其中一個輸入端看到地的電阻（由于電路結構理想對稱，故此處僅考慮一個輸入端看到地的電阻，并非兩個輸入端看到地的電阻并聯）。因此由圖1并且結合三極管電流關系可以得出，在共模電壓輸入下，有：

Ric=2（1+β）Re+rbe（44）

而對于差模信號的輸入，前文已經討論過，差模信號下的輸入電阻為：

Rid=2rbe（45）

由第二小節的計算結果，我們可以得出：

KCMR=AdAc=βRc2rbeβRc（1+β）Re+rbe=（1+β）2Re+rbe2rbe=RicRid（46）

結果顯示，共模抑制比的大小等于共模輸入電阻和差模輸入電阻的比值，因此可以進一步理解共模抑制比的定義并且給出結論/新定義：共模抑制比決定于共模輸入電阻與差模輸入電阻的比值。

結語

本文從差分放大電路的經典分析思路和方法出發，提出了一種新的差分放大電路計算模型與分析方法，即通過構建一般性地輸入電壓和輸出電壓的關系式，得到其一般性描述形式。在代入滿足四種輸入輸出的方式輸入電壓數值后，計算出不同的輸出電壓和放大倍數結果，通過與現有教材和資料進行對比，驗證了本文研究的正確性。此外，基于提出的通用模型，幫助學生進一步理解和明確差模輸入電阻和共模輸入電阻的意義，進而加深對差分放大電路的理解。由于通用計算公式具有一般性，因此本文在計算過程上略微復雜，也可以改善并精簡計算過程。

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作者簡介：張致遠（2000—?），男，漢族，北京海淀人，本科在讀，研究方向：遙感科學與技術。

*通訊作者：趙建輝（1969—?），男，漢族，陜西澄城人，博士，教授，博士生導師，研究方向：航天器導航制導與控制、精密儀器設計及應用。