以數學文化為線，重構教材內容的思考與實踐
——以青島版六上百分數（一）為例

高緒潔

（青島市市南區實驗小學 山東青島 266000）

翻看眾多的小學數學教材會發現，總有一塊小小的版塊，沒有題目，也不需要你解答，它叫“你知道嗎？”。可能在一個單元的末尾，可能就附在一個知識點的后面。在這個小小的方框中有數學小故事，有名家生平，可能是與例題相關的生活現象，也可能是千古名題。不管學生是否喜歡數學，他們總是特別喜歡閱讀這些內容，有的學生甚至還能侃侃而談，娓娓道來。這么個小小的豆腐塊讓數學教材變厚重了，更增添了很多不同的色彩。

這些版塊內容當然與數學文化有關。正如課程標準新修訂文案中對數學的定義中描述的一樣，“數學承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分。數學是自然科學的重要基礎，并且在社會科學中發揮著越來越重要的作用，數學的應用滲透到現代社會的各個方面。隨著計算機科學、信息技術、人工智能的迅猛發展，以及大數據時代引發的問題，對數學提出了強有力的挑戰，也為數學的發展創造了機遇，使得數學的研究與應用領域得到極大拓展。數學直接為社會創造價值，推動社會生產力的發展”。

數學的發展歷史與人類的文明史一樣源遠流長，絕不僅僅是教材中這些小小的豆腐塊。如果我們換一種角度來“解剖”我們的教材內容，以厚重的數學文化為線索，重構我們的教材知識，發揮單元統整的功效，讓數學知識的核心概念顯露出來，這樣的課堂是不是更有“數學味”？我們的學生們在知識的傳承中是不是更會有探索未來的動力？

我躍躍欲試，決定以青島版小學數學教材六年級上冊“百分數（一）”為例，扎進去試試。

一、“數學文化”隱藏在哪里

“百分數（一）”是教材第七單元的內容，共包括兩個信息窗和一個相關鏈接。信息窗一是關于百分數的意義及讀寫的學習，相關鏈接主要是百分數與小數或分數的相互改寫，信息窗二是百分數的實際應用，主要包括求一個數是另一個數的百分之幾和百分率問題[1]。

數學文化的元素在哪里？細看練習題，有圖，有表，有很多學生熟悉的生活用品，還有一些調查研究的數據呈現，單元的最后“你知道嗎？”有一段關千分率的內容介紹。發展到現在的百分數就在我們的手邊、眼前，好像沒有什么神秘性了。

在一點點“解剖”教材的過程中，我發現教師總是非常自然地從自己的角度分析這些知識，卻很難從學生的視角來看看。于是，我設計了針對這單元的學生調查問卷，了解孩子們有什么想學習的。在搜集的300多份調查問卷中，我發現，學生們對百分號很感興趣，特別想知道它的發展歷史，對百分數還有什么用也充滿好奇。

一個耳熟能詳的“數”是怎么發展來的？數學史不就是最重要的數學文化元素嗎。在接下來的日子中，通過搜集有關百分數的文獻資料，了解它的歷史淵源，我對這一單元有了新的認識。

二、文化溯源，凸顯核心概念

1.文化溯源

深入了解百分數的歷史可知道，百分數的出現，開始是應用在商業活動中，而后慢慢向數學領域發展的。

1.世紀的意大利，商人想招攬生意，為了能讓顧客一眼就看明白自己的貨物更便宜，他們就將percento（一百中的）這個詞用一種特定的縮寫符號，一個小小的p加上一個短橫，旁邊畫一個如此充滿藝術風格的c，在上面再畫上一個小小的圓圈來代表。這個最初的符號，經過數百年的演變，逐漸成為今天我們所熟知的并且廣泛使用的百分號。

1749年，德國學者阿亨瓦爾（Achenwall）受邀在哥廷根大學講課時，初次使用了“統計學”這個名稱。隨著政治算術和概率論的發展，到19世紀初，報告的數據類型有所增加，這時就缺少一個比較、對照的工具。基于這一點，百分數就成為表示所需對照、比較的標準化方法。統計的出現使百分數的用途由原來的商業概念走向數學概念。

1832年艾默生在《北美算術》中首次使用非商業性百分數概念，即表示“部分——整體”關系的使用。到1845年，百分數在非商業性的比較之中就不僅局限于“部分——整體”的關系了。這就意味著，對于百分數的使用出現了重大的變化——百分數可以比100%大。

2.核心概念

從這些文獻資料中可以看出，百分數作為一個比較“現代”的數學概念，它的發展越來越涵蓋我們生活的方方面面，但核心概念卻恒定不變，即“比較”，也就是兩個量之間的倍比關系。百分數可分為兩個比較模型，分數和比。分數模型正是百分數中的“部分與整體”的關系，而比的情境中，百分數的模型就變成了“兩個獨立的量”的關系。

3.教材分析

有了這樣的認識，再看教材內容又是如何體現的呢？

青島版：像上面這樣表示一個數是另一個數的百分之幾的數叫作百分數。百分數也叫作百分比或百分率。

也就是說，對百分數的定義肯定了與分數的緊密聯系，這與青島版教材的結構體系是有直接關系的。教材從二年級的平均分到三年級的分數的初步認識，處處體現了部分與整體的關系，五年級的“分數的意義”，學習“分數與除法的關系”，再到六年級的“比的意義”，這些知識的學習與分數的關系緊密，因此以分數概念來定義百分數，有傳承，有銜接，是合理的。

雖然有這樣的知識結構，但還是不能把百分數與分數歸成一類。比如，分數能表示一個具體的量，可以帶單位，但百分數就不能出現“25%米”這樣的形式，這說明分數的內涵更寬泛，百分數只具有兩個量“率”的關系，不能帶單位。在形式表示上百分數也有固定的寫法，這也是區別于分數的。

從數學史的研究梳理了教材知識的脈絡，百分數的核心概念引發了我們對單元結構的整體思考。

三、數學文化為脈，整體解構知識點

對教材的再分析，讓我們發現信息窗的安排與百分數的發展史是相符的。百分數的意義是信息窗一的重要內容，也是核心概念的著力點，只有理解了百分數的意義，才能正確地解決實際問題，也就是信息窗二的知識點學習。相關鏈接溝通了百分數與分數、小數的相互改寫，是解決信息窗二的基本技能。教材練習題中還注意將統計與概率領域的內容結合其中，豐富了百分數作為統計量的作用，與數學史內容同宗同源。在具體教學中，我將知識點重新組合，有了很多全新的嘗試。

1.把握百分數的本質

（1）數學史帶來全局觀

認識百分數的過程是比較傳統的概念教學，如何引入能引發學生的興趣，產生學習的必須性呢？我通過制作百分數、百分號發展史的微課濃縮了它的發展史，以全景式的方式展示了它的發展脈絡，有整體認識。

（2）概念抽象要完整

概念教學中要對所出現的例子進行分析和再理解，與舊知識接壤，并能抽象出不同例子中共同的本質屬性，這個過程要完整，不能僅憑局部的例子進行概念的抽象。

在實際教學中我以數學史的兩次發展為脈，用不同的例子分別代表“部分與整體”的關系和“兩個獨立的量”的關系。研究“飲料中蘋果汁的含量”，引導學生思考“可以超過100%嗎？為什么？”，以“男、女教師的人數變化”，反思“為什么兩個量的關系可以超過100%”。借助格子圖中畫一畫，線段圖比一比，對比兩個例子中百分數的含義，更容易理解這兩種不同的“比較”，從而凸顯百分數的本質，即一個量是另一個量的百分之幾。

（3）概念理解要辨析

設計“根據情境選擇合適的數”的練習，將百分數、分數放在其中，讓學生有根有據地選擇合適的數。學生可以結合不同的情境，分辨出哪些量表示兩個獨立的量，在什么條件下會出現大于100%的情況。除此之外，還在選擇合適的數的過程中，辨析與分數的區別，形成分數模型的樣貌，對百分數模型有更全面的認識。

教材的編排由易到難，由淺入深，而百分數的本質貫穿其中，是基礎，也是根本。從全景式的初步感知，到完整的抽象過程，最后輔以多元化的辨析練習，這樣的設計豐富了對百分數意義的理解，還是很有必要的。

2.單元銜接，完善認知結構

百分數的實用性使得每個人對百分數都有一定的經驗，都有話可說，但如何從經驗式的“知道”，上升到數學概念的“理解”，就需要從知識的相互聯系中把握知識的形成和發展的邏輯線索，單元知識的學習不能忽視百分數與分數、小數的互化。承載著互化內容的“相關鏈接”安排在了信息窗一和信息窗二之間，有銜接作用。

（1）應用概念，形成互化方法。例如把百分數化成小數有多種方法，從銜接的角度思考，可以引導學生應用百分數的意義，即一個數是另一個數的百分之幾，將百分數轉化成除法算式，移動小數點成小數。百分數化成分數，是從百分數的形式特點，即寫成分母是100的分數，再化成最簡分數。這些方法都是脫胎于百分數意義的理解，雖然少了情境引入，卻會更凸顯對百分數更本質特點的理解。

（2）溝通比較，優化方法。雖然是從百分數的特點形成的互化思路，但加強溝通比較，能讓學生從固定思路中掌握更直接、更便捷的方法。例如小數改寫成百分數，可引導他們改寫成的百分數與原來的小數比較，發現外在形式上有哪些變化，找到小數直接化成百分數的規律，形成方法。分數化百分數的學習中，學生可能會出現把分數化成分母是100的分數，也有可能出現利用分子除以分母得到小數，再化成百分數的方法。在實際教學中，可以將兩種方法放在一起對比，讓學生發現第二種方法更具有普遍性。

3.把握現實應用，突出數量關系

百分數的發展史影響著我們的生活，重視在現實生活的應用，不僅能更準確地理解概念，還能感受到數學知識點在現實中的延伸。在信息窗一的教學中引入扇形統計圖，引導學生用百分數的意義來理解統計數據；介紹恩格爾系數的含義，感受用百分數來分析人民生活水平的富足情況。這樣的資料介紹，融入在實際教學中，能幫助學生拓寬知識結構，感受到百分數作為統計量的優勢。在信息窗二中引入袁隆平的水稻培育實驗，從過程的記錄到數據的統計和分析，幫助學生從關注百分數在統計結果上的呈現，轉而關注具體的統計過程，體現百分數不可替代的作用。

小學生的學習過程需要不斷將新知建立在已有的經驗之上，可遷移、可組合加工，成為更牢固的系統。在已經學習了百分數的意義后，解決“求一個數是另一個數的百分之幾”問題時，需要幫助學生從理解意義到形成問題模型，如學生在解決“求一個數是另一個數百分之幾”的問題時，明確是把誰看成單位“1”，用哪一個量去除哪一個量，這樣的結果表示什么意思。從理解兩個量的關系到會用算式來求，新知的小船始終拴在已有的經驗之錨上。解決百分率的實際問題時，關鍵是將此問題轉化成求一個數是另一個數的百分之幾的問題，引導學生思考是哪兩個量的關系，以此遷移到上一個問題的解決。這樣不僅能將知識融會貫通，還能起到舉一反三的效果。

4.抓住關鍵，形成解決問題的思路

從百分數知識的結構來看，百分數的基礎知識，包括意義、讀寫法，與其他數的改寫，基本應用等內容，都放在了六年級上冊的學習。較復雜的百分數應用，如求一個數比另一個數多（少）百分之幾的問題，有關利息、折扣的問題解決，學生也會在生活中經常接觸，這部分知識放在了六年級下冊中學習。

雖然跨越兩冊教材，但還需抓住關鍵，形成解決問題的思路。例如在解決“一個數比另一個數多（少）百分之幾”問題時，可引導學生思考：這個問題實際是哪兩個量在進行比較？是把哪一個量看作單位1？這樣的問題是幫助學生在已形成的解決問題的思路上進行思考，始終從百分數意義的角度形成解決辦法。當然這個問題還可以有其他方法解決，但從意義出發可讓這些題目變化始終有本可依，能提煉出解題思路。

結語

在深入研究百分數的過程中，百分數的歷史發展，讓我的思路豁然開朗，擺在眼前的教材內容不再是薄薄的幾頁，一眼看到底的素材，小小的百分數有了厚重感。深入研究還讓我更能將百分數的知識集中起來整體思考，不僅僅是六年級上下兩冊數的全面思考，也是更細致地從單元的角度來尋找信息窗的銜接點。教材讀厚了，教學就需要更輕盈。在實踐中，所有的設計都經過精心的籌劃，不孤立而重聯系，不煩瑣卻能啟發學生思考。這樣的課堂讓學生們驚嘆：百分號原來是這樣！也會在了解了“恩格爾系數”后，馬上就能關心人們的生活水平問題。他們會用上分數的知識來認識百分數，也能在不同的情境中辨析百分數與分數的異同。如果說這算是有“數學味”的課堂，那我想以此為動力，積蓄更多的經驗，以數學的博大精深豐實自身，啟迪學生。