論學(xué)生“用數(shù)學(xué)思考”和思考數(shù)學(xué)能力的養(yǎng)成*

王 雷 李 麗

（1.吉林財(cái)經(jīng)大學(xué) 吉林長春 130000；2.吉林省醫(yī)藥中等職業(yè)學(xué)校 吉林長春 130000）

當(dāng)前，在5G、人工智能、大數(shù)據(jù)等現(xiàn)代科技飛速發(fā)展的時(shí)代背景下，人們對數(shù)學(xué)重要性的認(rèn)知高度回歸。源于應(yīng)用數(shù)學(xué)技術(shù)解決專業(yè)領(lǐng)域基礎(chǔ)問題的現(xiàn)實(shí)需要，有遠(yuǎn)見的大學(xué)生在思想上普遍比以往更重視數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，當(dāng)然也更有意愿學(xué)好數(shù)學(xué)，但是在行動(dòng)上往往很迷茫，不曉得如何“走進(jìn)數(shù)學(xué)”。作為教育工作者，“授人以魚”不如“授人以漁”，如何讓學(xué)生盡快掌握“在數(shù)學(xué)上行走”的真本領(lǐng)從來都是一項(xiàng)艱巨的、關(guān)鍵性的并且亟待解決的重要人才培養(yǎng)課題。

眾所周知，大學(xué)數(shù)學(xué)教育既要傳授數(shù)學(xué)思想、工具和方法，又要培養(yǎng)邏輯思維能力和數(shù)理分析能力。一直以來，教育界存在一個(gè)普遍的共識(shí)：要實(shí)現(xiàn)上面知識(shí)與能力雙重目標(biāo)至關(guān)重要的一環(huán)是：在數(shù)學(xué)情感上，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)自主學(xué)習(xí)。從這個(gè)意義上講，現(xiàn)階段大學(xué)數(shù)學(xué)教育戰(zhàn)略應(yīng)當(dāng)著眼于中長期成效，首要任務(wù)是讓學(xué)生喜歡上數(shù)學(xué)，而不是激進(jìn)式地追求各種功利結(jié)果。美國著名教育學(xué)家布魯納有一句名言：“學(xué)習(xí)的最好刺激乃是對學(xué)習(xí)材料的興趣。”學(xué)習(xí)材料大體可分為兩類：一類是源于應(yīng)用學(xué)科的背景資料和實(shí)際案例，另一類則是純粹的數(shù)學(xué)理論與方法。相對應(yīng)地，學(xué)習(xí)興趣可簡單區(qū)分為兩個(gè)不同層次：第一層次或者淺層次的興趣稱為好奇心，來源于數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的廣泛應(yīng)用性，達(dá)成這一層次培養(yǎng)目標(biāo)的重要標(biāo)準(zhǔn)是：學(xué)習(xí)者初步形成了“用數(shù)學(xué)思考”問題的自主意識(shí)以及樹立了大應(yīng)用數(shù)學(xué)模型觀點(diǎn)；而第二層次或者較深層次的興趣稱為喜歡乃至熱愛，產(chǎn)生于人們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中的快樂體驗(yàn)、滿足感乃至成就感，達(dá)成本層次培養(yǎng)目標(biāo)的一個(gè)顯著標(biāo)志是：學(xué)習(xí)者基本具備主動(dòng)思考數(shù)學(xué)的行為表現(xiàn)和學(xué)習(xí)特征。為了實(shí)現(xiàn)上述大學(xué)數(shù)學(xué)教育的情感目標(biāo)，教師需要在課堂教學(xué)中逐步實(shí)現(xiàn)從“主角”到“配角”的角色蛻變，在教學(xué)理念上逐步實(shí)現(xiàn)從“傳經(jīng)”到“授道”的思路轉(zhuǎn)變，從而不再一味地傳授知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，而是更多地作為學(xué)習(xí)規(guī)劃者與引導(dǎo)者發(fā)揮宏觀調(diào)控作用，遵照認(rèn)知規(guī)律和教育規(guī)律，結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，幫助大學(xué)生做好學(xué)習(xí)進(jìn)程規(guī)劃，師生協(xié)同配合，重點(diǎn)做好以下幾件事：樹立大應(yīng)用數(shù)學(xué)模型觀以激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、融入數(shù)學(xué)文化背景以提升學(xué)科素養(yǎng)、嚴(yán)格數(shù)理專業(yè)訓(xùn)練以發(fā)展直覺思維、引導(dǎo)思辨總結(jié)反思以培養(yǎng)自主創(chuàng)新意識(shí)，循序漸進(jìn)地提升大學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)，服務(wù)于科技、經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展。

一、樹立數(shù)學(xué)模型觀點(diǎn)，激發(fā)大學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

數(shù)學(xué)概念是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出來的，反映了客觀對象在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的共性和本質(zhì)。因此，無論數(shù)學(xué)語言和表現(xiàn)形式如何抽象，數(shù)學(xué)理論一定會(huì)在實(shí)際問題中得以應(yīng)用，哪怕是高深的羅巴切夫斯基非歐幾何學(xué)，也已成為描述宇宙空間結(jié)構(gòu)的重要工具。個(gè)體的學(xué)習(xí)行為本質(zhì)上是一種來自對新鮮事物的好奇和想象而產(chǎn)生的刺激和關(guān)注。在當(dāng)代大學(xué)生活中，互聯(lián)網(wǎng)、筆記本電腦、手機(jī)App 以及游戲軟件最熱門，它們對大學(xué)生的思維方式和生活模式產(chǎn)生了深刻的影響，而從根本上講，其實(shí)是數(shù)學(xué)讓人們的生活發(fā)生了翻天覆地的變化，變得越來越豐富多彩，越來越趣味橫生。正如著名數(shù)學(xué)家葉其孝教授所言“現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)歸根結(jié)底是數(shù)學(xué)技術(shù)”，現(xiàn)代IT 產(chǎn)業(yè)云集了大批應(yīng)用數(shù)學(xué)家，他們廣泛運(yùn)用現(xiàn)代編碼、小波分析、圖像處理、優(yōu)化技術(shù)、隨機(jī)分析、統(tǒng)計(jì)方法、數(shù)值方法、組合數(shù)學(xué)、圖論等數(shù)學(xué)技術(shù)解決互聯(lián)網(wǎng)、計(jì)算機(jī)核心算法、圖像處理、語音識(shí)別、云計(jì)算、人工智能、3G 等領(lǐng)域的核心問題。數(shù)學(xué)建模是針對非數(shù)學(xué)領(lǐng)域的實(shí)際問題運(yùn)用數(shù)學(xué)理論、工具和方法進(jìn)行量化分析的實(shí)踐過程，它通過假設(shè)、簡化和抽象構(gòu)建恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，再對其進(jìn)行求解、分析、檢驗(yàn)和修正，用理性方式回答和解決問題。在人類科技發(fā)展史上，數(shù)學(xué)建模無處不在，時(shí)至今日更是發(fā)揮著無可替代的關(guān)鍵作用。大學(xué)生主動(dòng)關(guān)注數(shù)學(xué)在高新科技成果上的應(yīng)用，接受數(shù)學(xué)建模思想，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模方法，深化對數(shù)學(xué)理論意義和應(yīng)用價(jià)值的認(rèn)識(shí)和理解，可以激發(fā)學(xué)習(xí)興趣和自主性，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)意識(shí)，訓(xùn)練數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

二、融入數(shù)學(xué)文化知識(shí)，提升大學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

英國著名數(shù)學(xué)家格萊舍有一句名言：“對于任何一種將一個(gè)學(xué)科與它的歷史割裂開來的企圖，我確信，沒有哪一個(gè)學(xué)科比數(shù)學(xué)的損失更大。”從中我們可以體會(huì)到數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展中的獨(dú)特作用。正如德國數(shù)學(xué)史家漢克爾所言：“在大多數(shù)學(xué)科里，一代人的建筑往往被另一代人所摧毀，一個(gè)人的創(chuàng)造被另一個(gè)人所破壞；唯獨(dú)數(shù)學(xué)，每一代人都在古老的大廈上添加一層樓。”任何現(xiàn)代數(shù)學(xué)成果都不是一蹴而就的，而是應(yīng)歷史上一次次重大技術(shù)變革需求，集一代代大師的智慧和勤奮，連續(xù)累積并總結(jié)歸納出來的，因此未來數(shù)學(xué)進(jìn)展離不開人們對數(shù)學(xué)的過去和現(xiàn)在的科學(xué)認(rèn)識(shí)和深刻思考。大學(xué)數(shù)學(xué)教育的任務(wù)絕不僅僅是繼承傳統(tǒng)和經(jīng)典，而應(yīng)重在發(fā)展，也就是以現(xiàn)有成果為基礎(chǔ)，不斷淬煉數(shù)學(xué)思維，創(chuàng)造新的數(shù)學(xué)理論，拓展更廣闊的應(yīng)用空間。一個(gè)人如果想要背誦寫在書本上的數(shù)學(xué)概念、公式和定理無須學(xué)習(xí)，只要輕輕動(dòng)一下鼠標(biāo)計(jì)算機(jī)就可以幫忙，學(xué)習(xí)是為了理解、消化、吸收和創(chuàng)新知識(shí)，因此不能忽視數(shù)學(xué)思想和文化教育，學(xué)生既要了解現(xiàn)有的知識(shí)體系，又要積極梳理其起源、發(fā)展和趨勢，掌握來龍去脈，做到知其然同時(shí)也知其所以然。復(fù)旦大學(xué)李大潛院士講“只有掌握了數(shù)學(xué)的思想方法和精神實(shí)質(zhì)，才能由不多的幾個(gè)公式演繹出千變?nèi)f化的生動(dòng)結(jié)論”，可見隱藏在數(shù)學(xué)的進(jìn)化史中、隱藏在數(shù)學(xué)家的軼事里的數(shù)學(xué)背景、思想精神和思維線索絕對是極具價(jià)值的教育元素，需要教師和學(xué)生共同挖掘和探究。比如，微積分被譽(yù)為“近代數(shù)學(xué)中最偉大的成就”，承載了大量的優(yōu)秀文化信息，其中不乏令人贊嘆的奇思妙想和世代相傳的傳奇佳話，更有隨處可見人類思想的流淌，充斥著曲與直、變與不變、運(yùn)動(dòng)與靜止、有限與無限、局部與整體、精確與近似等辯證關(guān)系。傳承數(shù)學(xué)文化，進(jìn)行背景教育，讓學(xué)生了解來龍去脈，知道理論淵源，同時(shí)站在哲學(xué)高度品味數(shù)學(xué)異樣的美，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)情感和人文情懷，從根本上提高他們的數(shù)學(xué)修養(yǎng)。

三、嚴(yán)格數(shù)理專業(yè)訓(xùn)練，發(fā)展大學(xué)生的直覺思維

作為思維科學(xué)，數(shù)學(xué)學(xué)科最顯著的特征當(dāng)屬其嚴(yán)謹(jǐn)性，主要表現(xiàn)在結(jié)論的明確性和證明的嚴(yán)格性。不得不說，對于學(xué)習(xí)者來講學(xué)好數(shù)學(xué)確實(shí)是很高的要求，如果沒有足夠的學(xué)習(xí)動(dòng)力、不投入大量的時(shí)間和精力是很難有所收獲的。根本就不存在什么靈光一現(xiàn)，學(xué)習(xí)的捷徑只有不斷地思考、探索、總結(jié)和試錯(cuò)。著名數(shù)學(xué)家龐加萊有一句名言：“直覺用于發(fā)明，邏輯用于證明”，數(shù)學(xué)本質(zhì)上是直覺與邏輯的完美統(tǒng)一。數(shù)學(xué)直覺源于人們對數(shù)學(xué)的洞察力和理解力，是一種不經(jīng)過嚴(yán)格的演繹推理而對數(shù)學(xué)概念、定理、公式、結(jié)論所產(chǎn)生的直觀認(rèn)知能力。與初等數(shù)學(xué)教育相比，大學(xué)數(shù)學(xué)教育肩負(fù)著開發(fā)大學(xué)生數(shù)學(xué)潛能以及培養(yǎng)創(chuàng)造型、應(yīng)用型、復(fù)合型人才的使命，勢必倍加重視發(fā)展直覺思維能力，因?yàn)樗且磺袛?shù)學(xué)理論和技術(shù)創(chuàng)新的前提和基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)直覺需要在持續(xù)地專業(yè)訓(xùn)練中得到不斷的強(qiáng)化，在這個(gè)過程中有必要進(jìn)一步改造數(shù)學(xué)教育形態(tài)，優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)，挖掘和補(bǔ)充經(jīng)典案例、數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)模型和哲學(xué)觀點(diǎn)等素材，創(chuàng)設(shè)合適的場合意境，革新教學(xué)方法手段，合理利用數(shù)學(xué)軟件包以增強(qiáng)抽象對象的可視性，借助觀察法、聯(lián)想法、歸納法、類比法，經(jīng)過思考、直觀、分解、重構(gòu)后不斷克服抽象難度，分析、探究和解決各種實(shí)際問題。比如，初學(xué)微積分時(shí)，學(xué)生大都感到極限的分析定義表述得十分抽象和晦澀，數(shù)學(xué)語言更是難以理解，這時(shí)教師一定要耐心地告誡他們不能急于求成，要迎難而上，啟發(fā)他們盡量將問題直觀化，只要列舉若干組數(shù)值進(jìn)行有限次的演算，如同做游戲般的，就可以感悟到無限次變化的發(fā)展趨勢和最終狀態(tài)。教師利用這種“啟發(fā)式”教學(xué)方法，開發(fā)學(xué)生直覺思維，增強(qiáng)了學(xué)生的問題意識(shí)和探究意識(shí)，成為他們主動(dòng)提升思維層次的內(nèi)生驅(qū)動(dòng)力。學(xué)生們在變與不變、有限與無限的神奇轉(zhuǎn)換中不知不覺地增進(jìn)了學(xué)習(xí)的快樂體驗(yàn)。突出教材的直觀性也是中國科學(xué)院張景中院士的教育數(shù)學(xué)思想的一個(gè)重要體現(xiàn)，他曾經(jīng)利用面積法創(chuàng)造性地革新了平面幾何教材，重構(gòu)了知識(shí)體系，使教材內(nèi)容更充實(shí)、形式更簡明、結(jié)構(gòu)更合理，從而達(dá)到了易學(xué)宜教的顯著效果。數(shù)學(xué)教育家的這種原創(chuàng)性改革實(shí)踐充分證明和彰顯了直觀對于數(shù)學(xué)的意義，直覺思維是打開數(shù)學(xué)大門的鑰匙，也是走進(jìn)數(shù)學(xué)殿堂的助力，更是獲得數(shù)學(xué)成就的杠桿。大學(xué)數(shù)學(xué)教育要從數(shù)學(xué)直觀出發(fā)，在運(yùn)用直覺思維和邏輯思維看待復(fù)雜現(xiàn)象的過程中重點(diǎn)訓(xùn)練、培養(yǎng)和提升數(shù)學(xué)直觀思維能力。

四、引導(dǎo)思辨總結(jié)反思，培養(yǎng)大學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)

德國數(shù)學(xué)家康托爾有一句名言：“數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于它的自由。”學(xué)術(shù)自由就是要突破傳統(tǒng)觀念束縛，敢于挑戰(zhàn)權(quán)威，不斷超越邊界和極限。19 世紀(jì)70 年代，康托爾頂住了一些學(xué)者的嘲笑，提出了數(shù)學(xué)史上影響深遠(yuǎn)的無窮集合論，后來被羅素稱頌為“可能是這一時(shí)代所能夸耀的最巨大的工作”。我們正處在一個(gè)知識(shí)和信息爆炸的社會(huì)中，國家需要一大批思維獨(dú)立、標(biāo)新立異、喜歡突破和創(chuàng)越現(xiàn)存的思想、技術(shù)以及規(guī)范的創(chuàng)新型人才，而追求學(xué)術(shù)自由正是他們的核心品格之一。大學(xué)數(shù)學(xué)教育要塑造大學(xué)生的自由品格，就應(yīng)當(dāng)營造自由的氛圍，從質(zhì)疑入手，歸納總結(jié)規(guī)律，逐步養(yǎng)成反思慣性，培養(yǎng)思辨精神、創(chuàng)新意識(shí)和批判性思維能力。《學(xué)習(xí)的革命》一書中言：“思考的課程應(yīng)該是我們每個(gè)學(xué)校的最重要特征。”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不能僅僅停留在學(xué)生能夠模仿寫出解題過程和給出標(biāo)準(zhǔn)答案的程度，而要提倡利用發(fā)散思維不斷打開思路，不斷探索多樣性、統(tǒng)一性和規(guī)律性，不斷拓展邏輯思維的深度、強(qiáng)度和廣度，不斷增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)的深刻性、多元性和批判性。師生共同構(gòu)建更加開放、更加自由、更加活躍的課堂范式，師生交流活動(dòng)要更加充分且更加有意義。我們知道課堂互動(dòng)的主要目的是激發(fā)大學(xué)生主動(dòng)思考問題的意愿，鼓勵(lì)打?qū)W生自由發(fā)表個(gè)人見解，因此教師不能輕易否定任何一種看起來不盡成熟的想法，相反，教師需要通過具有鼓勵(lì)性和啟發(fā)式傾向的討論來刺激大學(xué)生的創(chuàng)新潛能。正如布魯納所言：“人唯有憑借解決問題或發(fā)現(xiàn)問題的努力才能學(xué)到真正的發(fā)現(xiàn)的方法，這種實(shí)踐愈能將自己學(xué)到的東西概括為解決問題和探究問題的方式。”總之，教師需要確立“以學(xué)生為中心”的教育理念，放手讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)，給予學(xué)生思考空間與自由余地，輔助學(xué)生發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題，培養(yǎng)學(xué)生思辨和創(chuàng)新能力，同時(shí)在與學(xué)生互動(dòng)中相互啟發(fā)，從而實(shí)現(xiàn)真正意義上的教學(xué)相長。

綜上所述，現(xiàn)階段大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的一個(gè)重要任務(wù)應(yīng)當(dāng)是培養(yǎng)大學(xué)生“用數(shù)學(xué)思考”和思考數(shù)學(xué)能力。為了深入務(wù)實(shí)推進(jìn)大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革進(jìn)程，師生雙方要積極應(yīng)對、齊心協(xié)力、開拓探索、采取各種科學(xué)、有效的策略逐步補(bǔ)強(qiáng)興趣愛好、學(xué)科素養(yǎng)、直覺思維以及創(chuàng)新意識(shí)這四塊短板。可以預(yù)見，教學(xué)改革的成效將會(huì)受到學(xué)習(xí)者的主觀因素、具體實(shí)施情況以及社會(huì)環(huán)境等客觀條件的制約，但是無論如何建設(shè)科技強(qiáng)國需要堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，每一位大學(xué)數(shù)學(xué)教育工作者責(zé)無旁貸，都要竭盡全力發(fā)揮積極促進(jìn)作用并且提供先進(jìn)的智力支持與優(yōu)質(zhì)的教學(xué)服務(wù)。