數學實驗室的功能、特征與創建

江蘇張家港市后塍學校（215600） 蔣鳳娟

數學實驗室是學生數學學習的重要場域，是“做思學共生”“學玩創一體”的創客坊。在數學實驗室中，教師要為學生提供豐富的實驗素材，優化學生數學實驗的環境，充實學生數學實驗的工具，豐盈學生數學實驗的內容與形式，為學生創設廣闊的思考、探究、合作、交流的時空，讓學生充分地經歷觀察、猜想、驗證、計算、推理等數學活動過程。通過數學實驗，學生可不斷地豐富知識、提升能力、積累經驗、發展素養。

一、數學實驗室的功能

傳統的數學教學，往往是教師講學生聽，或者是教師演示學生觀看，學生的數學學習是膚淺、被動的。為了讓學生的數學學習從被動走向主動、從膚淺走向深刻，教師應在數學教學中創建數學實驗室。數學實驗室能讓學生在數學學習中從“看客”走向“創客”，能讓學生積極主動地操作，動手動腦，切實投入數學探究性活動中。一般來說，數學實驗室具有以下功能。

1.讓學生的探究更為主動

數學實驗是數學學習的一種獨特方式，它能啟發學生思維，激發學生想象。心理學研究表明，學生的抽象性思維源于動作，學生往往是在擺弄實物中學習的。正如著名教育家蘇霍姆林斯基所說：“兒童的智慧在他的手指尖上。”數學實驗室可讓學生的探究由被動轉向主動。例如，教學“認識體積單位”（蘇教版教材六年級上冊）這一內容時，筆者讓學生做一做“1 立方厘米”“1 立方分米”的模型，學生興致高漲。他們利用身邊的材料做成了各式各樣的正方體模型、長方體模型。通過動手做，學生建立了豐滿、立體、多樣的“1 立方厘米”“1 立方分米”的鮮活表象。學生通過“做中學”實現了對知識的理解、內化和吸收。

2.讓學生的學習變得豐滿

數學實驗的方式是多樣化的，建立數學實驗室，能讓學生的數學學習變得豐滿。數學實驗始終將“做中學”的理念貫穿于學生的數學學習之中。數學實驗室中擺放著各式各樣的器材，學生在這里可以拼搭、擺弄、重構。數學實驗室，以實驗活動為載體，將“做數學”貫穿學習的始終，為學生打開了一條“用手觸摸思考”的特殊通道。如在學習“認識體積”這部分內容時，有的學生用“上漲法”測量物體的體積，有的學生用“溢水法”測量物體的體積，還有的學生用“比較剩水法”測量物體的體積，等等。同樣的一個數學問題，同樣的實驗工具、器材，學生進行了不同的數學實驗。

3.讓學生的學習走向開放

傳統的數學學習往往是圍繞著教材而展開的，學習的場域基本上被鎖定于課堂。而數學實驗可以將學生的數學學習拓展、延伸。如教師不僅可以引導學生在學校實驗室里開展實驗，還可以引導學生在家中進行實驗，甚至可以引導學生借助網絡進行虛擬實驗，等等。數學實驗室，讓學生的數學學習走向開放。例如，教學“釘子板上的多邊形”（蘇教版教材五年級上冊）這一內容時，學生借助實驗室中的平板通過軟件模擬釘板實驗，教師保存學生的每一個作品。通過同屏展示“同一個控制性變量”下的作品，讓學生進行比較，在橫向、縱向交錯比較過程中，學生發現了面積與圖形內的格點、圖形上的格點與圖形的面積之間的關系（即皮克定理）。在數學實驗過程中，學生主動地觀察、猜想、驗證，不斷地反思、調節，進而實現了主動創造。

二、數學實驗室的特質

數學實驗室是學生借助一定的實物工具、技術手段等，在數學思維、思想的指導下進行數學化操作的專有場域。數學實驗室的學習，正如瑞士教育心理學家皮亞杰所說：“智慧的花是開放在手指尖上的，抽象的思維源于動作，孩子的學習是在擺弄實物中進行的。”數學實驗室中的學習具有自身特質，如直觀性與可視性、嘗試性與探究性、獨特性與首創性等，它是數學實驗開放的、創新的、互動的載體與媒介。

1.數學實驗室中的學習具有直觀性和可視性

數學實驗室是一個多維的、立體的學習空間，數學實驗室中有各式各樣的實驗工具、器材。教師引導學生打造數學實驗室，不僅包括學校實驗室，還包括家庭實驗室。以學校實驗室為例，它有四大場域：一是器材準備區，二是課堂實驗區，三是體驗互動區，四是成果展示區。整個數學實驗室具有數學獨特、獨有的元素及符號，有著各式各樣的實驗工具，如測量類的工具、模型類的工具、拼擺類的工具、演示類的工具等。數學實驗室體現了數學課程的特點、質感，不僅能激發學生的探究興趣，更是一個傳播數學文化的場所。如數學實驗室中的百葉窗的內外兩面圖案蘊含正負、大小等具有相反關系的數學概念；數學實驗室中的地板體現數學中的密鋪原理；數學實驗室中的燈具有著各種各樣的幾何造型；數學實驗室的天花板上投射的光束可以形成各種圖案，如雪花形、瀑布形等。可以說，數學實驗室是一本無聲的教科書。

2.數學實驗室中的學習具有嘗試性和探究性

數學實驗室，召喚著學生去思考、去探究。學生置身實驗室中，就會產生一種內在的探究訴求。在數學實驗室中，教師要設置數學實驗臺，要充實數學實驗箱，要引導學生進行實驗分享。在數學實驗室中，教師要凸顯學生“做”的功能、功用，讓學生“做中玩”“做中學”“做中研”“做中創”。例如，教學“千克和克”時，筆者將學生帶入數學實驗室中，實驗室準備區中的各種各樣的物品引發了學生的濃厚興趣。他們有的用電子秤測量雞蛋的質量；有的用天平測量一包鹽的質量；擁有桿秤測量物體質量經驗的學生用桿秤測量一袋蘋果的質量，并且能主動地對物品質量進行估算，轉換桿秤的支點，等等。在數學實驗室中，質量、容積、長度、體積等的概念不再是抽象的，而成為一種可感的量。置身于數學實驗室中，學生能感覺到數學就在自己的身邊，從而更加親近數學。

3.數學實驗室中的學習具獨特性和首創性

在數學實驗室中，學生的數學學習具有獨特性和首創性。從實驗方案的設計到實驗材料的選擇，從實驗的具體實施到實驗成果的交流與評價，學生需要不斷地假設、驗證、改進、發現，需要不斷地進行調整。這個過程是學生數學學習力不斷生長、不斷提升的過程。在數學實驗室中，學生就可進行“七巧板”的數學實驗、“漢諾塔”和“數獨”的研究，還有利用“魔方”“莫比烏斯圈”“九連環”“華容道”等數學益智玩具進行實驗。數學實驗室中的實驗素材、實驗儀器，讓學生對數學實驗有了一種美好的憧憬。學生覺得數學非常有趣，數學并不枯燥。數學實驗室，成為學生的數學體驗空間，成為學生數學游戲的空間。數學實驗室，回歸了學生樸素的數學認知規律，順應了未來學生素養發展的要求。數學實驗增強了學生的自主學習能力，增進了學生的合作學習能力，提升了學生的科學探究能力。

三、數學實驗室的創建

著名數學教育家弗賴登塔爾認為，要實現真正的數學教育，必須從根本上以不同的方式組織教學，否則是不可能的，它要求有個實驗室，學生可以在那里進行個別活動或小組活動。當下，隨著學生數學學習內容的日益豐富，創建數學實驗室已經刻不容緩。因為創建數學實驗室，有助于學生進行更高層次的數學再創造活動。在校內，教師不僅要建立大型的專業數學實驗室，而且要建立班集體的數學實驗室、社團活動數學實驗室。數學實驗室，能讓學生的探究走向自主、走向自覺、走向深入。

1.以問題解決為驅動，打造一個“玩數學”的空間

一般來說，數學實驗室不僅應當配置好數學教具，還應當配置好各種數學學具；不僅應當包括傳統的數學實驗器材，還應當包括網絡實驗的儀器、載體、媒介等。數學實驗，應包括感知類的實驗、發現類的實驗、驗證類的實驗以及拓展應用類的實驗。打造數學實驗室，要求數學實驗室的設施要更多地與學生的學習需求相匹配，與學生的認知發展相匹配。因此，數學實驗室的布置應當具有序列性和層次性。如教學“周長的認識”（蘇教版教材三年級上冊）時，筆者發現學生有許多問題，諸如“什么是物體的周長？”“怎樣表示物體的周長？”“不規則的物體周長怎樣測量？”“是不是所有物體的周長都能表示出來？”等。圍繞這些問題，筆者首先為學生準備了規則的圖形、不規則的圖形、不規則的物體等，以及一些實驗材料（如細繩、直尺等）；然后以問題為導向，打造學生“玩數學”的空間。置身于這樣的空間中，學生會展開積極的實驗探究。如有的學生讓一個圖形沿著課桌的邊緣“滾動”，并且在課桌的邊緣做上記號，從而便于將物體的周長“拉”直；有的學生用松軟的棉線繞物體的邊緣一周，然后將棉線拉直，再用直尺進行測量；有的學生用直尺分別測量直線型的物體或圖形的每條邊的長度，然后將這些長度加起來，等等。開放性的問題，賦予學生一個“玩數學”的空間，充分地激發了學生的數學創造力。這樣的數學實驗更具有針對性和實效性。

2.以思維生長為架構，打造一個“做數學”的場域

學生的思維發展離不開具體的數學實驗。數學實驗能將數學問題實際化，從而讓學生充分經歷數學概念、公式等的誕生過程。數學實驗要致力于引導學生數學思維生長。以思維生長為架構，能打造一個“做數學”的場域。如教學“圓的面積”（蘇教版教材五年級下冊）時，筆者引導學生借助數學實驗室計算機中的GeoGebra 軟件將圓平均分。這就充分凸顯了數學虛擬實驗的優勢。因為過去的物質化實驗往往在將圓平均分成16 等份時就不能再繼續平均分了。借助計算機中的動態幾何軟件，能激發學生的想象，引導學生進行多樣化的數學實驗。通過數學實驗，學生的思維能不斷進階。如有學生發現，將圓平均分成2n份時，圓就能轉化成長方形；將圓平均分成n2份時，圓就能轉化成三角形；將圓平均分成（n2-1）份時，圓就能轉化成梯形；等等。在這個過程中，學生還自覺地回憶起多邊形的面積的推導過程，從而感悟到推導新圖形的面積公式都是轉化成舊圖形，推導未知圖形的面積公式都是轉化成已知圖形，推導陌生圖形的面積公式都是轉化成熟悉的圖形，等等。借助動態幾何軟件，學生還能夠直觀地感受到極限思想。如有學生發出這樣的感嘆：如果將圓平均分成一億份、十億份，那么圓不就是長方形了嗎？對此，有學生迅速反駁：“不能這樣說。不能說圓就是長方形，應該說圓被轉化成無限接近長方形了。”試想，如果沒有學生的動態想象，怎能有如此精彩的對話？學生怎能有如此深刻的感悟？

3.以素養發展為指向，打造一個“創數學”的平臺

林群院士指出，數學實驗不是去做體力實驗，而是去做腦力實驗。以學生的數學核心素養發展為指向，教師要致力于打造一個“創數學”的平臺。為此，要滲透游戲元素，增強適度的競爭與合作，融入一些挑戰性學習資料。例如，教學“多邊形的內角和”（蘇教版教材四年級下冊）時，筆者首先讓學生用剪刀剪出了各種多邊形，然后引導學生探究這些多邊形的內角和。有學生從四邊形的內角和開始探究，運用了“測量法”“撕角法”“轉化法”等多種方法。在探究五邊形的內角和的過程中，學生舍棄了很多方法，轉而聚焦于“轉化法”。如有學生從五邊形的內部取一點，然后將五邊形轉化成三個三角形；有學生從五邊形的頂點出發，將五邊形轉化成三個三角形；有學生從五邊形的邊上的任意一點出發，將五邊形分成四個三角形，等等。對于多樣化的分割方法，筆者引導學生融通知識、方法創造性地建構了多邊形的內角和公式。在建構了多邊形的內角和公式的基礎上，學生還“打破砂鍋問到底”，提出了“多邊形的外角和是多少度？”這樣的一個問題。對于這個問題，筆者讓學生在課后進行研究，并在班級微信群中進行互動。學生不僅想出了一些方法來證明“外角和是360°”（如借助內角和來推理外角和），而且還積極展開實驗。這樣一個豐富的數學學習過程，充分發掘了學生的數學學習潛質，讓學生的創新意識、實踐能力等獲得了發展。

著名數學教育家波利亞說過：“數學有兩個側面，一方面是歐幾里得式的嚴謹科學，從這個方面來看，數學像一門系統的演繹科學；但另一方面，創造過程中的數學，看起來卻像一門實驗性的歸納科學。”以實驗的方式開展數學學習，能讓數學與其他學科融合，能讓數學與生活融通。以問題為驅動、以思維為架構、以素養為指向，打造數學實驗室，就能有效地提升學生的數學學習力，發展學生的數學核心素養。