一類具分布偏差變元的三階半線性中立型微分方程的振動性

林 文 賢

（韓山師范學院 數學與統計學院，廣東 潮州 521041）

近段時間以來，泛函微分方程的振動性受到很多數學研究者的關注，參見文獻［1-15］，但是，具有分布時滯的中立項的三階微分方程的振動性較少見到相關成果.下面將研究一類帶分布時滯中立項的三階半線性泛函微分方程

的振動性.

本文總假設下列條件成立:

（H1）α＞0,β＞0,α,β為正奇整數之比；

定義函數

稱方程（1）的解是指函數x(t)∈C1[Tx,∞),Tx≥t0，使得r(t)y″(t)∈C1[Tx,∞)并于[Tx,∞)上適合公式（1）.我們只討論公式（1）適合Sup{|x(t)|:t≥T}＞0 對一切T≥Tx成立的解.公式（1）的一個解稱為振動，如果它在[Tx,∞)上有任意大的零點.否則，稱它為非振動.

文獻［1-3］對二階半線性中立型微分方程

在β＞α條件下，文獻［13］討論了式（4）的振動性，得到的結論有

新的振動性定理.這推廣和改進了文獻［14-15］中的若干結論，并舉出實際應用例子.

1 引理

引理1[3]設x(t)是公式（1）的最終正解，則由（2）規定的y(t)當且僅當有以下情形

（I）y(t)＞0,y'(t)＞0,y″(t)＞0;

（II）y(t)＞0,y'(t)＜0,y″(t)＞0.

引理2[16]若存在A＞0,B＞0，且α＞0，則

引理3[17]設u(t)＞0,u'(t)＞0,u″(t)≤0,t≥t0，則?θ∈(0,1)，?Tθ≥t0,s.t.

引理4[18]設u(t)＞0,u'(t)＞0,u″(t)＞,u?(t)≤0,t≥Tθ，則Tγ≥Tθ,s.t.u(t)≥γtu'(t),t≥Tγ.

2 主要結論

以下根據Philos方法[19]，給出式（1）的新的振動結果.設

稱函數H∈C1(D,R)為屬于X類，記作H∈X，如果

（?。〩(t,t)= 0,t≥t0;H(t,s)＞0,(t,s)∈D0;

為了方便，使用記號：對于ρ,σ∈C1([t0,∞),(0,∞)),設

定理1 設存在函數ρ∈C1([t0,∞),(0,∞)),滿足A1(t)＞0，且有

則公式（5）振動.

證明 設x(t)是公式（5）的一個非振動解，由于x(t)=0沒有現實背景，僅討論x(t)≠0的情況.設x(t)為公式（5）的最終正解，故當t≥t1≥t0時有x(t)＞0,且x[τ(t,μ)]＞0,(t,μ)∈[t1,∞)×[a,b]，x(σ(t))＞0.

由引理1可知，存在t2＞t1，使當t≥t2時，y(t)可能為（I）型或（II）型.

當y(t)滿足引理1，設y(t)為（I）型，由于τ(t,μ)≤t，故y(t)≥y[τ(t,μ)]，且x(t)≤y(t)，且

則

因為y″(t)＞0，此時由式（6）和式（7），可得

考慮廣義Riccati變換

則

由（H2）可知，r(t)≥0,r'(t)≥0，且(r(t)(y″(t))α)'=r'(t)(y″(t))α+αr(t)y″(t))α-1y?(t)≤0，則有y?(t)≤0.

令T= max{t2,Tγ}，根據引理3，令u(t)=y'(t)，則?θ∈(0,1)，?Tθ≥t0,s.t.

再根據引理4有，?γ∈(0,1)，Tγ≥Tθ,s.t.

聯合式（11）-（13），式（10）成為

對式（14）從T到t積分可得

令t→∞，由（6）有，W(t)→-∞，與W(t)＞0 導致沖突，故假設錯誤.即若x(t)是引理1 中（I）類時，x(t)是公式（5）的振動解.

另一方面，當y(t)是引理1的（II）類時.因為(r(t)(y″(t))α)'≤0，q(t)＞0,1 -p＞0,y'(t)＜0.有

考慮廣義Riccati變換

對式（16）求導，并利用式（15）的結果，可得

令t→∞.根據式（6）可得，V(t)→+∞，這樣與V(t)＜0 導致沖突，于是假設錯誤.即當x(t)滿足引理1中（II）型時，x(t)是公式（5）的振動解.證畢.

定理2 設存在函數ρ∈C1([t0,∞),(0,∞))，滿足A1(t)＞0，式（6）成立，且有

成立，則公式（5）是振動的.

證明 設公式（5）存在非振動解x(t)，當y(t)滿足引理1，設y(t)為（I）型，考慮廣義Riccati變換

由（H2）可知，r(t)≥0,r'(t)≥0，且

由引理4可得，存在γ∈(0,1)和Tγ≥Tθ，使得

由式（22）-（24）可得，此時式（21）為

對式（25）從T到t積分可得

令t→∞.根據式（6）可得，W(t)→-∞，這樣與W(t)＞0 產生矛盾，故假設不成立.即當x(t)滿足引理1中（I）型時，x(t)是公式（5）的振動解.

其次，若y(t)滿足引理1 中（II）時，由于(r(t)(y″(t))α)'≤0，則(r(t)(-y″(t))α)'≥0 且q(t) ＞0,1-p＞0,y'(t)＜0.可得

考慮廣義Riccati變換

對式（27）求導，并利用式（26）的結果，可得

對式（28）兩邊同乘以φα(t)，并從t2到t積分，可得

這與式（19）沖突，故假設錯誤，即當x(t)是引理1中（II）類時，x(t)是公式（5）的振動解.證畢.

3 例子

例討論以下的三階中立型方程