例談哲學觀念對數(shù)學學習的影響及其教學啟示

泰州學院 (225300) 楊俊林

愛因斯坦指出，哲學可以被認為是全部科學之母.哲學探究的是所有事物的一般性規(guī)律，是對自然知識、社會知識與思維知識的概括與總結(jié).哲學的觀點是高度抽象的，它不涉及具體的學科，但它對具體學科的研究與學習乃至于一個具體問題的求解都有指導作用.人們的一切行為是受意識支配的，而支配行為的意識是人們所處的社會關(guān)系及外界其他因素作用于人腦的結(jié)果.數(shù)學家的“數(shù)學研究總是在某種哲學思想的指導下進行的”[1]，學生的數(shù)學學習行為也受意識的支配.教學過程中常常發(fā)現(xiàn)，支配學生數(shù)學學習行為的意識更多的是教師作用于學生的“解題套路”，缺乏科學性、創(chuàng)造性，以至于相當多的學生學習過十多年的數(shù)學，進入大學時最基本的數(shù)學方法卻忘得一干二凈.如果將哲學原理的教學與具體學科的學習結(jié)合起來，使相應哲學觀念真正內(nèi)化為支配學生學習行為的意識，那么學生的數(shù)學學習就能在正確的思想指導下進行.從而真正達到提高學生核心素養(yǎng)的目的.

1.運動的規(guī)律性觀念與解題策略的形成

例1已知實數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，點P(-1，0)在動直線ax+by+c=0上的射影為點M，若點

N(3，3)，則線段MN的長度的最大值是多少？

圖1

分析：本題最大的思維障礙是“動直線ax+by+c=0在圖形中如何表示？”直線是“動”的，它會毫無規(guī)律地“動”嗎？“運動的規(guī)律性”意識的導向作用是引導解題者探索動直線的運動規(guī)律.由于動直線的系數(shù)是a,b,c，而a,b,c成等差數(shù)列，令公差為d，則動直線方程可改寫為“(b-d)x+by+(b+d)=0”，再從“平行移動”“過某定點”的角度觀察動直線的運動規(guī)律.從哲學的角度看“主元”有其“相對性”.如果將b,d視為主元x,y為常系數(shù)，方程又可改寫為b(x+y+1)-d(x-1)=0.不難發(fā)現(xiàn)動直線過點(1，-2).這樣問題就轉(zhuǎn)化為“直線l過Q(1,-2)，P(-1,0)點在l上的射影為點M.若點N(3,3)，則線段MN的長度的最大值是多少？”.

顯然，點M為以PQ為直徑的圓上動點，MN的最大值為MN過圓心時(M,N在圓心的以異側(cè))線段的長度.

教學啟示：中學哲學課中也會講運動的規(guī)律性，但由于其立足點是較為“抽象”的客觀現(xiàn)實世界而無法深入到具體學科領(lǐng)域，因而很難獲得學生的理性認同.而數(shù)學教師在解題教學過程中過于程式化導致數(shù)學學習停留在操作層面難以轉(zhuǎn)化為學生的“核心素養(yǎng)”.數(shù)學中變量的運動變化是哲學中運動規(guī)律的具體化，只要數(shù)學教師點撥得當，學生很容易提高數(shù)學解題活動中思維的“階”.在解題教學中引導學生堅信規(guī)律的存在，感受根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題帶來的樂趣，則容易使“運動的規(guī)律性”觀念扎根于學生的認知世界，并在新問題的解決過程中發(fā)揮著積極的作用.

教學啟示：在教學中，只要涉及運動的對象，如“動點”“動直線”“動圓”等，都應努力喚醒學生的“運動的規(guī)律性”意識，從而在這一意識的驅(qū)使下努力探求“運動對象”的“變化規(guī)律”.找到了“運動對象”的“變化規(guī)律”，自然就找到了解決問題的方法.

2.特殊與一般觀念下的函數(shù)單調(diào)性探究

辯證唯物主義認為矛盾具有普遍性與特殊性，矛盾的普遍性和特殊性在不同的場合可以相互轉(zhuǎn)化，可以從特殊性中概括出普遍性，也可以在普遍生的指導下研究特殊性.其相應的數(shù)學觀念一般指“抽象意識”與“化歸意識”.在中學數(shù)學教學中相當多的數(shù)學知識教學可以有意識地運用數(shù)學思想方法加以引導，在學生學習數(shù)學知識的同時獲得數(shù)學思想提升數(shù)學觀念，形成科學的哲學觀.

例3 “函數(shù)的增減性”與“導數(shù)及其應用”的教學[2].

湖北省潛江市園林四中的戴老師提供的“關(guān)于如何確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的端點時的方法”就很有代表性.

首先學生思考后給出了求一類函數(shù)單調(diào)區(qū)間端點方法，但覺得理由不夠充分，其方法如下：

接著教師在對學生發(fā)現(xiàn)的結(jié)論進行肯定的同時引導學生說出發(fā)現(xiàn)的過程.原來該生是從一個很特殊的函數(shù)f(x)=x2-2x+3入手進行探究的，其過程如下：

該生就是在此基礎(chǔ)上給出了一般性的結(jié)論.教師充分肯定了學生的做法，同時告訴學生其中蘊含的道理在后面學習微積分的知識時就會明白.

教學啟示：顯然上述案例中學生就是在“矛盾的普遍性與特殊性”的“潛意識”下開展的數(shù)學探究活動，十分值得推崇.然而，從實際教學的現(xiàn)狀看，這樣的例子卻不多見.在日?？荚囍胁簧龠x擇與填空題只需要學生根據(jù)特殊與一般的關(guān)系用特殊值代入即可，但學生想不到；綜合題中可以借助特殊性尋找解決問題的一般策略，但學生往往也想不到.原因出在哪里呢？出在教學，在實際教學中，哲學課老師不舉學科的例子，學科老師不注重“學科觀念”的教學.以數(shù)學學科為例，相當多的教師關(guān)注的是較低層次的數(shù)學解題教學，較少關(guān)注“數(shù)學觀念”的教學.一般認為數(shù)學思想方法被劃分為四個層次：“解題術(shù)”“解題方法”“數(shù)學思想”“數(shù)學觀念”，而“數(shù)學觀念”是認識世界的“哲學思想”，數(shù)學觀念“直接影響著數(shù)學中的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明與創(chuàng)新法則形成的共同預設(shè)或元知識層次”.[3]

上面的例子在后面學生學習“導數(shù)在研究函數(shù)中的應用”時仍可借鑒:

在數(shù)學教學中關(guān)注哲學觀念的滲透其本質(zhì)是追求數(shù)學觀念的養(yǎng)成教育.在大力倡導數(shù)學核心素養(yǎng)教育的今天，不少教師仍然不注重數(shù)學知識形成過程的教學，總是以最短的時間最快的速度講完相應知識點，過于關(guān)注解題的套路與技巧，忽視了對數(shù)學本質(zhì)的認識過程.數(shù)學科學本身可以視為一個“生命體”，有其自身“生長”的規(guī)律，只有關(guān)注數(shù)學觀念的養(yǎng)成站在哲學的高度引導學生自主構(gòu)建數(shù)學認知結(jié)構(gòu)，才能真正回歸數(shù)學教育的本源.

3.局部與整體、無限觀念下導數(shù)概念的學習

哲學上關(guān)于無限的觀念集中于潛無限與實無限的思辨上.所謂潛無限是將無限看作一個永遠沒有窮盡的，潛在的過程.所謂實無限是把無限對象看成是可以自我完成的過程或無窮整體[4].歷史上哲學家們對無限的認識也不全面，古希臘時期的哲學家沒有將無限單獨作為一個名詞，以為“無限物體”不存在，而是作為副詞，無限與過程相聯(lián).Aristotle只承認潛無限，拒絕實無限[5].無限觀與數(shù)學是密不可分的，希爾伯特認為“數(shù)學是研究無窮的科學”[6].學生對數(shù)學中的無限的認識有利于理解數(shù)學概念，同時也有利于提高無限認識能力[7].學生關(guān)于無限觀的形成也將直接影響其對數(shù)學的領(lǐng)悟.

例4 學生對導數(shù)概念的理解情況調(diào)研.

考慮到中學生的理解能力，新課標在引入微分初步知識的同時又刪除了形式化的定義，目的是讓學生借助“微積分的教育形態(tài)的表現(xiàn)形式”把握微積分的實質(zhì).導數(shù)的意義其本質(zhì)在于“函數(shù)在一點可導，意味著這個函數(shù)在這一點附近近似于一次函數(shù)”“研究函數(shù)在某一點可導不只看一點的值，要考察這一點周圍的無限小局部性態(tài)”“導數(shù)之美在于體現(xiàn)局部的‘率’，這是一個無窮的過程”[8].而實際教學效果卻不盡如人意.房元霞等人的調(diào)研發(fā)現(xiàn)僅34.42%的高三學生將導數(shù)理解這“函數(shù)在某點的瞬時變化率(平均變化率的極限)”，僅22.12%的學生將導數(shù)理解為“函數(shù)曲線上某點切線的斜率”，而真正理解為“縮到一個點附近來研究函數(shù)”的僅0.96%；而對數(shù)學本科(大二)學生調(diào)研發(fā)現(xiàn)，僅21%的學生能表達導數(shù)的經(jīng)濟學意義，57%的學生能用導數(shù)近似表示函數(shù)在某點的值[9].郭玉峰等在對師范院校學生導數(shù)內(nèi)容理解情況調(diào)研時也發(fā)現(xiàn)“深入理解不夠，如部分學生盡管知道導數(shù)基本概念，但理解還只限于表面，缺乏深層次的理解”[10].

教學啟示：一要正確解讀教材，滲透局部代替整體的思想.微分學緣于“在研究物體的運動時要求出它在任一時刻的速度和加速度，或者在研究光線通過透鏡的規(guī)律時要求出光滑曲線上給定點的切線和法線，以及在研究炮彈的射程時要求出函數(shù)的最大值和最小值等”[11].在人們沒有找到合適的方法時最原始的想法就是“取近似值”，或者說是“以直代曲”，用“局部代替整體”.蘇教版教材無論是關(guān)于研究曲線上一點處的切線還是研究運動物體的瞬時速度都在力求表達“某點(某時刻)附近哪條直線(哪個常數(shù))更加逼近曲線(瞬時速度)”，如果認識不到這一點，教學就會出問題，而認識到了這一點，就會自覺地將“局部特征代替整體特征”的思想滲透到教學中，對學生理解導數(shù)的本質(zhì)大有裨益.

二要重視學生關(guān)于“無限觀”的形成.其實關(guān)于無限的思想學生在小學階段就有所了解，如“無限循環(huán)小數(shù)”“無限不循環(huán)小數(shù)”“射線”“直線”等等.初中階段也會涉及到，如方程組有“無窮多組解”，數(shù)軸上有“無窮多個點”，在研究一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)時也會涉及到“無限增大”“無限減小”等等.高中數(shù)學中這樣的例子就更多，但數(shù)學教材中對“無限”往往采取“避而不談”的方式，數(shù)學教師在課堂上對“無限”也不深究，導致學生難以形成關(guān)于“無限”的正確觀念.然而“數(shù)學是研究無窮的科學”，數(shù)學中的很多概念蘊含著“無限”的思想，如“平行線” “無理數(shù)” “極限” “函數(shù)” “單調(diào)性” “奇偶性” “連續(xù)” “導數(shù)” “積分”等，如果沒有正確的“無限觀”是很難正確把握這些概念的，如果這些概念沒有能真正內(nèi)化為學生的個人知識，對其后續(xù)學習影響是很大的.在導數(shù)概念的教學中無論是研究曲線有某點的切線還是運動物體在某時刻的瞬時速度都包含了一個“無限接近”的過程，在形成導數(shù)定義時更加突出了“△x無限趨近于0”，這個過程是無限的.盡管考慮到學生的認知能力，不宜用嚴格的數(shù)學語言進行精確刻畫，但課堂教學過程中教師還應重視引導學生充分感受“無限過程”，不但要告知無限過程是 “潛無限”，而且要明確最終狀態(tài)是“實無限” .

三要幫助學生整體認知數(shù)學概念.學生無限思辨的自發(fā)方式是潛無限，實無限是后天發(fā)展而來的[12].實無限隱藏在數(shù)學概念中，需要學生深入思考才能掌握.如“函數(shù)單調(diào)性”概念中，“任意的x1,x2”即是從整體的角度描述了自變量取一切值的情形.而“任意”一詞卻蘊含了“無限”的思想.在導數(shù)概念的教學中如果從“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”角度幫助學生領(lǐng)會：“日取其半”是一個動態(tài)的過程，但總歸是“一尺之棰”這一完整的結(jié)果，則對學生理解函數(shù)在某點的導數(shù)值是十分有益的.也可以借助芝諾悖論中的“阿里奇追龜”幫助學生理解，通過“阿里奇無限接近烏龜”與“阿里奇追上并超過烏龜”來深化對潛無限與實無限的理解.

4.偶然性與必然性相統(tǒng)一觀念下的概率與統(tǒng)計知識的教學

上個世紀八十年代以來，“把統(tǒng)計和概率的初步知識作為數(shù)學基本修養(yǎng)的一部分而引入中學甚至小學課程”[13]足見概率與統(tǒng)計思想作為公民數(shù)學素養(yǎng)中的重要部分十分重要.然而，學生真正能夠獲得統(tǒng)計與概率思維方式依然離不開偶然性與必然性相統(tǒng)一觀念的指導.

例5 今天的天氣預報不準確.

“今天的天氣預報不準確”往往會出自受過高等教育者之口.這似乎不應該“大驚小怪”，然而這反映了一個問題，即中學數(shù)學教育的目的達成問題.義務教育階段數(shù)學課程標準指出“義務教育階段的數(shù)學課程是培養(yǎng)公民素質(zhì)的基礎(chǔ)課程”，第三學段的課程目標中有“進一步認識隨機現(xiàn)象”“感受隨機現(xiàn)象的特點”的表述[14].高中數(shù)學課程標準中更是將“數(shù)據(jù)分析”能力作為核心素養(yǎng)明確提出[15].但概率與統(tǒng)計知識最核心的思想是隨機思想與統(tǒng)計推斷思想，其相應的哲學觀念是“現(xiàn)實世界中的任何事物、任何過程都具有必然和偶然的雙重屬性.必然性是通過大量偶然性表現(xiàn)出來的”[16].今天下雨還是不下雨是一種隨機現(xiàn)象，但通過對氣象的觀察人們發(fā)現(xiàn)了氣象的發(fā)展變化規(guī)律在此基礎(chǔ)上作出“下雨的可能性推斷”，如果今天并未下雨這也是一種隨機事件，如果借此說明天氣預報不準確，這就偏離了對氣象預報的本質(zhì)，說明人們還不具備對隨機現(xiàn)象認識方面的基本素養(yǎng).

教學啟示：概率統(tǒng)計的教學要教方法，更要引導學生感悟思想.將概率統(tǒng)計知識納入中小學數(shù)學課程是新課程改革的一大亮點.但如何實施這一內(nèi)容的教學值得廣大教師深入探究.這部分內(nèi)容知識點多，相關(guān)數(shù)學方法也多，教學難度較大，因此在實際教學中我們往往過多注重具體解決問題的方法與問題模型而忽視了培養(yǎng)學生的隨機性數(shù)學思維[17]，導致會做概率統(tǒng)計題但無法解釋隨機現(xiàn)象. 例如，小學階段學生就掌握了拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面與反面朝上的可能性都是二分之一，但當問及拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣五次都是正面朝上，那么拋第六次是正面朝上的可能性大還是反面朝上的可能性大，回答可能性一樣大的中小學生為數(shù)不多.這說明學生還未掌握隨機性數(shù)學思維意識.再之，教學中應時刻關(guān)注“偶然性與必然性相統(tǒng)一”這一哲學觀念的滲透.關(guān)于概率統(tǒng)計內(nèi)容的教學往往是從隨機現(xiàn)象引入，在讓學生感受一系列隨機現(xiàn)象的同時務必提醒學生“偶然性中一定隱藏著必然”.自然界很多現(xiàn)象是一種隨機現(xiàn)象，但其中的規(guī)律需要人們?nèi)ヌ綄?，無論是“浦豐通過投針計算圓周率”，還是“孟德爾通過豌豆獲得遺傳規(guī)律”都是堅信其存在必然性的前提下獲得的.而當找出其中的規(guī)律后又應及時引導學生分析某一事件發(fā)生的偶然性，從而讓學生感受到其中的哲學意蘊.

結(jié)語：數(shù)學與哲學是密不可分的.數(shù)學教育的根本目的是“提升學生的數(shù)學素養(yǎng)，引導學生會用數(shù)學眼光觀察世界，會用數(shù)學思維思考世界，會用數(shù)學語言表達世界”[18]，具備了數(shù)學眼光也就是形成了數(shù)學觀念，而數(shù)學觀念就是一種“認識客觀世界的哲學思想”[19].另一方面，數(shù)學學習的過程總是在一定的觀念支配下進行的，實踐證明將數(shù)學教學與相應的哲學觀念有機融合有利于學生形成正確的哲學觀，而這些觀念(即使是模糊的)對其后續(xù)學習也有很大的指導作用.