立足核心素養 合理設計問題 驅動課堂教學
——基于核心素養背景的深度教學例析

陜西省漢中市四〇五學校 (723312) 侯有岐陜西師范大學數學與信息科學學院 (710061) 羅新兵

問題是數學的“心臟”，問題驅動教學就是指以問題為載體，以學生為主體，教師為主導，學生自主探究與合作探究相結合，充分調動各方面的積極因素參與課堂教學，完成教學任務的教學方式.在日常課堂教學中如何落實數學學科核心素養呢？章建躍先生認為：“從數學知識發生發展的合理性、學生思維過程的合理性上加強思考，這是落實數學學科核心素養的關鍵點.”

立足核心素養，就要求我們根據課程標準分析教學內容，準確把握教學內容的本質，在充分了解學生知識與能力的基礎上，以培養數學學科的核心素養為目標，精心設計教學過程，突破知識難點，激發學生的學習興趣.而“問題驅動式”教學方法能夠創新學生的學習方式，提高課堂的教學效果，培養學生的創新精神和問題意識，促進學生全面發展和健康成長，為終身學習打下良好的基礎.

一、概念課教學要展現數學概念形成的思維過程

在概念教學中展現數學概念的形成過程，一是要有基于學生數學現實的引入過程，可從實際問題和學生熟悉的日常生活中的例子自然而然的引出概念，使學生感到數學概念不是硬性規定的，而是與實際生活有密切聯系的；二是要經歷數學概念的抽象過程.概念課的教學要以學生為中心，強調學生對知識的主動探究、主動發現和對所學知識意義的主動建構.概念課教學一般遵循如下教學過程：

(1)通過生活實例或學科實例介紹概念的產生與發展背景；

(2)通常典型具體的實例，引導學生尋找、發現其本質屬性；

(3)通過概括的方式，用精確的數學語言、符號下定義；

(4)研究概念間的聯系，建立概念體系，包括對概念特例的考查；

(5)運用概念來解決簡單的實際問題，回歸于生活實際；

(6)建立與相關概念的聯系，形成良好的數學認知結構.

案例1 函數單調性概念的教學片段.

問題1觀察函數f(x)=x+1,f(x)=-x+1的圖象，從左到右看，函數f(x)有何圖像特征？函數f(x)隨x增大如何的變化？如何用數學符號語言證明它？

設計意圖：教師引導學生由圖形語言向數學語言轉化，同時說明高中學習函數單調性概念的必要性.

問題2觀察函數f(x)=x2+1的圖象，說說二次函數的圖像特征？

設計意圖：引導學生得出增減性是函數的局部性質——在某一區間研究.

問題3結合增減性的局部性質，依據函數圖象的“上升”“下降”趨勢，如何定義增函數呢？學生答：在一個區間里，若f(x)隨x的增大而增大，則稱f(x)為增函數.

設計意圖：教師引導學生往定義方向發展.

問題4為了運算與推理，兩個“增大”如何進行符號化？

教師引導：

①“增大”意味著比較，需要建立兩個量的大小關系；

②“x的增大”的符號化：用兩個自變量的大小關系來表述為x1

③“f(x)增大”的符號化為f(x1)

④“隨”字的符號化：當x1

⑤“在區間(0,+∞)上，f(x)隨x的增大而增大”的符號化：對任意的兩個自變量x1,x2∈(0,+∞)，當x1

設計意圖：讓學生參與到逐步用精確的數學符號語言定義函數單調性概念的這樣一個遞進式的過程,學生就能在已有知識的基礎上對單調性這一概念進行由淺入深的理解.

問題5如何得到f(x1)

設計意圖：為后面證明和判斷函數單調性清掃障礙.

評析:函數的單調性盡管是概念課，但與學習全新概念不同，學生已經對初中教材上函數單調性概念有了深刻的印象.因此本節課不僅要讓學生接受高中函數單調性概念，更重要的是要讓學生理解初中與高中函數單調性概念之間的聯系與區別、為什么需要重新定義函數單調性的概念，以及如何定義函數單調性概念.為了突破這一難點，在整個教學流程中，教師通過五個問題讓學生經歷觀察、歸納、抽象的思維過程，較好地展現了函數單調性概念的形成與發展過程，有助于培養學生的數學抽象素養.

首先，通過問題1，從初中學過的一次函數，讓學生回憶函數單調性的定義，引導學生由圖形語言向數學語言轉化，同時說明高中學習函數單調性定義的必要性.其次，通過問題2，由二次函數引導學生得出增減性是函數的局部性質——在某一區間研究.通過問題3，引導學生給出函數單調性概念的文字語言表述，進一步向高中函數單調性定義靠近.再次，以問題串為導向，通過問題4，引導學生逐步用精確的數學符號語言定義函數單調性概念，讓學生歸納、概括出函數單調性概念的數學符號化的本質.最后，通過問題5，為學生后面運用函數單調性定義證明和判斷函數單調性掃清障礙.

二、原理教學要展現數學公式、定理的發現與形成的思維過程

在數學公式、定理的發現與形成的教學過程中，教師要有目的地提出一些供研究的素材，并做必要的啟示或指引，讓學生獨立思考，通過觀察、分析、類比、歸納等步驟，自己建立猜想，然后設法進行證明.這樣的教學過程，不僅能夠調動學生的主動性和積極性，也能夠有效地提高學生的思維能力，并能使學生對定理的理解更深刻、更牢固.規則教學課一般遵循如下教學過程：(1)問題引入，激發興趣；(2)特殊入手，猜想原理；(3)原理證明，結論命名；(4)原理應用，鞏固提升；(5)歸納總結，結構認知.

案例2函數的零點存在性定理得出的教學片段.

問題1判斷f(x)=x2-x-6在區間(-4,0)上是否存在零點？在(0,4)內呢？怎么判斷的？f(-4)·f(0)怎樣？f(0)·f(4)怎樣？學生答：∵f(-4)=14>0，f(0)=-6<0，f(4)=6>0，∴f(-4)·f(0)<0 ，f(0)·f(4)<0.

設計意圖：循循善誘，做好鋪墊.

問題3函數f(x)在區間(a,b)上有f(a)·f(b)<0，且函數f(x)在區間(a,b)上圖像連續不間斷，則函數f(x)在區間(a,b)上存在零點.這個命題正確嗎？

問題4追問：結論中的開區間需要改成閉區間嗎？學生答：沒必要，因為由條件可知，零點不可能在區間端點取到，所以用(a,b)比用[a,b]更精確.

設計意圖：逐步完善，得出定理.

師生共同總結，得到“函數的零點存在性定理”：如果函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖像是連續不斷的一條曲線，且f(a)·f(b)<0，那么，y=f(x)在(a,b)內有零點.

強調：①條件：在閉區間上連續不間斷，且端點處函數值異號，兩者缺一不可.②結論：存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，這個c也就是方程f(x)=0的根——也可用于方程根的判斷.

問題5設f(x)的圖像在區間[a,b]上不間斷，如果f(x)在區間(a,b)上存在零點，那么f(a)·f(b)<0一定成立嗎？學生答：有零點，區間端點的函數值不一定異號，如f(x)=x2.

問題6設f(x)的圖像在區間[a,b]上不間斷，且有f(a)·f(b)<0，則f(x)在區間(a,b)上存在的零點個數一定為一個嗎？

學生答：不一定，并畫圖說明.

問題7 (追問)：你增加什么條件，可確保f(x)在區間(a,b)上的零點恰為一個？

學生答：單調性，即如果再加上函數在區間(a,b)上是單調遞增或單調遞減的條件，則可確保唯一性.

設計意圖：剖析定理，培養思維.

評析：本片段教學以建構主義為理論依據，同時根據高中數學定理課教學的一般特點，將教學過程的總體框架設計為提出問題、特殊入手—引導探究、猜想定理—定理辨析、理解本質--靈活變換、應用定理.在整個教學流程中，教師通過一系列的問題串，引導學生在解決問題的過程中自主去探索發現、合作交流、反思總結.體現了函數零點存在性定理的發現過程，加深了學生對定理的理解，有助于學生形成發現、探究問題的意識，提高學生刻苦鉆研的學習品質.

三、解題教學要展現數學解題的思維過程

在解題教學中，展現數學解題的思維過程可以通過啟發性的提問，引導學生探索解題途徑；通過變式探究，引導學生深入思考，讓學生通過解題學會數學地思維，從而培養學生的數學核心素養.解題教學首先要注意所選習題的針對性，把握習題難度；其次要合理選擇教學模式和教學策略，講要講到位，練也要練到位，及時發現問題，多給予學生積極、正面的反饋和評價；最后還要有課后評價，幫助學生加深對知識的理解，建構和完善知識體系，同時把握學生問題，指導下節課的教學設計.

案例3古典概型中對事件完整性的把握教學片段.

問題袋中有3個紅球，2個白球，按下列要求取出2個，分別求出對應事件的概率:

評析：本教學片段，教學目的明確，緊緊圍繞“古典概型中對事件完整性的把握”這一主題，通過變式訓練，精心挑選習題，題題相扣，層層遞進，根據學生的認知結構不斷深化題目的難度，激發學生的思考.在整個教學流程中，教師通過五個相近的問題給學生強烈的認知沖突，有助于學生體驗數學的研究過程，對強化學生學習基礎，提升學習效率，培養學生細心謹慎的良好學習習慣很有好處.

通過上述幾點的思考，筆者認為高中數學課堂教學應從學生認知的最近發展區出發，以問題為載體，以學生為中心，教師為主導，設計出一系列的貼近學生生活、能融合到學生已有認知結構中并發生沖突，又能很好的體現數學思維本質，同時又富有針對性的數學問題.這樣做就可以讓學生既掌握文化知識，又學到了思想方法，既提高探究能力，又增強了合作意識，既領悟數學探究過程，又促進了學生核心素養的培養，真正實現落實數學學科核心素養的教學目標.

1.立足培養核心素養

教學設計要做到自然流暢，設計以學生活動為載體，大膽猜想與小心求解相結合，充分發揮學生的主體作用，讓學生積極參與課堂活動，成為課堂的主人；教師對學生的想法進行適時點撥和總結，發揮自身在教學中的主導地位；關注了學生的數學抽象、數學建模、邏輯推理、數學運算等核心素養.

2.問題設計要有連貫性和合理性

問題設計要有連貫性，使“問題串”形成每節課的教學主線.要根據當地現實環境和學情，在教材的章節引言、觀察、思考、探究欄目，以及邊空問題的引導下創設問題情境，通過問題引導學生的思維活動.另外，問題不一定都是“問”，也可以根據需要給出引導性陳述.

問題設計要有合理性，即所設計的問題要有思維的味道.應注意所提出的問題是否有利于學生的思維活動，是否能激發學生進行高質量的思維活動，幫助學生想明白，為此，作為教師，要能夠在所教授的知識中充分地挖掘其本質內涵.

3.體現問題驅動原則

章建躍博士認為,“從數學知識發生發展過程的合理性、學生思維過程的合理性上加強思考，這是落實數學學科核心素養的關鍵”.這就要求我們根據課程標準分析教學內容，準確把握教學內容的本質，在充分了解學生知識與能力的基礎上，以培養學生數學學科的核心素養為目標，精心設計教學過程，使學生高效地學習數學知識、方法，提升數學能力和核心素養.為此，教學設計要有利于在課堂教學中激發學生的問題意識，體現出問題驅動教學的原則，注重數學知識的發生發展規律和學生的認知規律，真正實現高效課堂的教學目標.