用題組促進數學概念課中的深度學習

浙江省衢州第二中學 (324000) 陳一暉

在高中數學概念課的教學過程中，從學生們理解概念到深化概念，再會應用概念解決問題是一個不斷提高的過程，而此時常出現個別同學掉隊，跟不上教學節奏的現象，這就是繼續學習、深度學習的把控不夠到位．如何使學生不脫節、不掉隊，過好新概念學習這一關，是我們授課者必須深入思考的一個課題，本人通過近幾年的教學實踐進行了一些有針對性探索，感覺到利用設計題組進行目標訓練是切實可行、效果顯著的方法.本文向同行們分享一下，如何按照課情與學情的需要，設計對應學習題組以幫助提高數學概念課的教學效率．

1、通過題組探究數學概念的實質和內涵

有部分學生在剛開始接觸新概念時，只是從字面上有所理解，還不能注意到細節，更談不上理解概念的內涵，對實質性的東西是茫然的，此時我們應該設計一些對概念理解不透、容易出現解題偏差的題組，通過仔細分析、及時糾正錯誤，這樣對鞏固新概念很有用處．

案例一在鞏固奇函數的概念時，我們可以設計如下的題組進行練習，旨在夯實概念．

⑴若函數f(x)的定義域為(-∞,+∞)，且有f(-1)=-f(1)，則f(x)是奇函數嗎？

⑶函數f(x)=x3-x,x∈(-1,4]是奇函數嗎？

⑷函數f(x)=ax2+bx能為奇函數嗎？

⑸若函數f(x)奇函數，則一定有f(0)=0嗎？

⑹如果函數f(x)=ax2+(2b-1)x,x∈(2b+1,1-b)是奇函數，求f(-1)的值．

分析：⑴由于奇函數的定義中是對于定義域內任意x，都有f(-x)=-f(x)成立，只有其中某一個或部分x滿足等式是不能確定為奇函數的，故而答案為不一定．

⑶中f(x)不是奇函數，由于f(-4)沒有意義，則f(4)=f(-4)不成立.

⑷中f(x)可以是奇函數，當a=0,b≠0時滿足.

⑹由于f(x)是奇函數，則必有a=0，且1-b=-(2+1)，得b=-2，所以f(x)=-5x,x∈(-3,3)，則f(-1)=5．

此組練習，從多個方面強化了奇函數的內涵，隨著知識點的增加，當然還有多種類型的題目可以運用，應注意的是選題的廣泛性和規范性，以及把握題目難易的坡度和區分度．

2、運用題組探索數學概念的外延和應用

一個數學概念本身不是孤立的，它是建立許多知識點的累積之上的，而一個新概念也需要與已學過的知識進行融合、交匯，形成知識網絡，這樣這個概念才有意義和存在價值．注意這里的外延是有限度、有方向的，也就是常說的所謂“正遷移”，如果遷移過分或遷移不當，有可能發生謬誤．

案例二在學完拋物線的定義和標準方程后，我們可以給學生提供如下的一組提高練習，旨在理解拋物線概念并合理外延概念的作用．

⑴拋物線y2=4x上一點P到y軸的距離為4，求點P到焦點距離；

⑵已知動點P到點A(0,8)的距離比到直線l:y=-7的距離大1，求動點P的軌跡方程；

⑶若點A的坐標為(3,2)，F是拋物線y2=2x的焦點，點M在拋物線上移動時，使|MF|+|MA|取得最小值的點M坐標為；

⑷過拋物線x2=4y的焦點F作一條直線交拋物線于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)兩點，若y1+y2=6，則|P1P2|的值為．

分析：⑴由拋物線方程知，2p=4，所以準線方程為x=-1，而點P到y軸的距離為4，則點P到準線的距離為5，根據拋物線的定義知，點P到焦點距離為5．

⑶ 由于|MF|是點M到拋物線焦點距離，使|MF|+|MA|取得最小值的點為過點A作與y軸垂直的直線與拋物線的交點，則點M縱坐標為2，代入方程的橫坐標也為2．

此組練習都是以拋物線的定義為基準，圍繞著這個定義向四周輻射所形成的各類問題，通過本組題的練習，不但深化了拋物線的概念，同時也了解了哪些題是可以運用定義解決的．

3、運用題組辨別形似但本質不同的相關概念

有一些數學概念其表現形式差別不大，容易混淆，但是我們可以通過設計相關題組的方法，把它們放在一起解決，通過分析可發現它們之間的本質是不一樣的，通過設計題組及時區分，并解剖它們的本質，可以進一步加深對所學概念的理解，以免犯審題不清造成的錯誤．

案例三在講完了分段函數的單調性問題后，可以給出下面一組練習，旨在檢查對一些分段函數單調性有關題型的判斷情況．

此組練習都是關于分段函數的單調性問題的，其題設部分比較相似，而不相似的部分正是問題的關鍵，通過分析研判，可以挖掘利用它們的不同，建立符合題意的求解方案．

4、利用題組多向探究發掘數學概念的用途

在一個概念的后面，會有許多對應的練習題目呈現，對此我們必須對它們進行分類和挑選，目的是有針對性地鞏固所學的新概念，并使概念發揮作用．同時也可利用對新概念的認識，揭示一些問題的破解方法，擴大學生們視野，提高應變能力，增加學習數學的興趣．

案例四在講完函數的最大值與最小值的概念后，給出下面的題組，引導學生對函數的最大值與最小值的概念有一個全方位的了解．

⑴函數f(x)=x3-3x-1，若對于區間[-3,2]上任意x1,x2，都有|f(x1)-f(x2)|≤t，求實數t的取值范圍；

分析：⑴由于f′(x)=3x2-3，當x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)時，f′(x)>0，當x∈(-1,1)時，f′(x)<0，易得f(x)max=1，f(x)min=-19．由題設知在區間[-3,2]上f(x)max-f(x)min≤t，從而t≥20，即實數t的取值范圍是[20,+∞)．

此組題，從形式上看似乎是不同類型的問題，但實質是一樣的，它們都是通過求函數的最大值和最小值來解決問題，是函數最值問題的不同應用而已．