MM教育方式的傳承、創新及發展

【摘要】MM教育方式是指運用數學方法論的觀點來指導數學教學，即應用數學的發展規律、數學的思想方法和數學中的發現、發明與創新的觀點設計數學教學. MM實驗開展至今已有30多年，數學課程幾經改革，MM教育方式卻依然令人關注，但再成功的教學范式，都需要創新和發展，從培養學生能力和素養的視角重新審視MM教育方式，具有重要的現實意義和深遠的歷史意義.

【關鍵詞】數學方法論;MM教育方式;MM實驗傳承;創新發展

1989年，在著名數學家徐利治教授的積極倡導下，由無錫市教研中心徐瀝泉先生領題，開展了MM（Mathematical Methodology）實驗. MM教育方式作為國際數學科學方法論與我國數學教育實踐相結合的成功范式，30多年以來，長期受到業內人士關注. 究其原因，一方面，MM教育方式具有前瞻性、科學性和先進性;另一方面，MM教育方式具有實踐性、貫通性和普適性.因此，無論是數學教育理論界，還是教學實踐層面，都具有極其重要的研究價值. 教育實踐表明，MM教育方式經歷了長期洗禮，依然散發著濃郁的學術氣息，并在課堂教學中充滿了勃勃生機.

新一輪課程改革，為了落實“立德樹人”的根本任務，充分發揮課程育人功能，提出了發展學生核心素養的目標. 如何找到有效的教學抓手，MM教育方式是一條值得選擇的途徑. 重溫經典是創新的基礎，對接現代是最好的傳承. 傳承經典，首先要理解其內涵，并發掘其潛在的價值，其次應力求與時俱進，開拓創新. 本文試圖以高中數學教育為例，對MM實驗的內涵及構成，包括研究目標、兩個基本原理及八個操作變量作一些疏理、分析和完善，并通過若干典型教學案例的展示和剖析，增強廣大教師對MM教育方式的理解，讓其成為廣大教師開展課程改革的教學抓手.

1重釋MM實驗內涵，完善相應操作變量

所謂MM教育方式，簡要講就是用數學方法論來指導數學教學，即運用數學的發展規律、思想方法及數學中的發現、發明及創新的觀點設計數學教學，其教學目標是提高學生的科學、人文及審美素養，形成和發展學生的數學品質和數學精神. MM教育方式是在傳承G·波利亞的數學教育思想及科學方法論的基礎上，結合我國數學教育的特點，在實踐中不斷加以完善、改革和創新，以發揮數學課程的科學價值和育人價值＼[1＼]. 可見，雖歷經時代變遷，但MM實驗的頂層設計與當今新課改理念仍完全耦合.

1.1建議增設第三基本原理

MM實驗設計中，提出了該教育方式必須遵循的兩個基本原理：一是將教學、研究和發現同步協調地推進;二是既教猜想又教證明＼[2＼]. 其中，原理一是當下研究性教學核心理念的詮釋，原理二是數學方法論在課堂教學中的具體運用，這兩個原理依然符合培養學生能力和素養的要求. 但由于受時代的局限，當時應用數學的發展水平與當今不可同日而語，相應地MM實驗沒有單獨設計應用數學的方法論原理，而新課改理念突出了數學的關聯性原則，即既要注重數學知識之間的內在聯系，又要關注數學與現實及其他學科的聯系. 在數學核心素養的六個要素中，數學抽象、邏輯推理、數學運算及直觀想象是以往大家熟悉的要素，數學建模和數據處理則是課改后提出的新要素，主要圍繞應用數學的發展，對高中學生提出的新要求，其目標是培養具有實踐能力和創新意識的復合型人才. 為了體現MM實驗的時代性，我們建議增設原理三：將數學知識之間、數學與現實及其他學科之間形成聯系. 這樣構建的三個基本原理，既展現了對經典數學方法論的堅持，又體現了對應用數學方法論的吸納，既展現了對成功范式的傳承，又體現了順應時代發展的創新，從而形成更為全面和科學的體系.

1.2建議整合八個操作變量

在MM實驗倡導的教學過程中指出，教師要有意識、有目的、恰當地操作好八個變量，即數學的返璞歸真教育、審美教育、發現法教育、數學家優秀品質教育和數學史教育、數學中的演繹及合情推理和一般解題方法的教育＼[3＼]. 為了與當下約定的學術用語保持一致，筆者建議將“發現法教育”替換為“數學探究教育”. 將“數學家優秀品質教育和數學史教育”合并為“數學文化教育”，這樣既簡化了敘述，又豐富了內涵. 由于2004年版高中教材專設了“推理與證明”的內容，因此，可將“數學中演繹推理及合情推理”簡化為“數學推理教育”. 為了克服“一般解題方法教育”帶來教師理解上的泛化，建議改為“解題策略教育”，特指波利亞將數學解題分成的四個步驟：弄清問題、擬定計劃、實施解答、回顧反思. 為了體現基本原理三，擬增加“數學應用教育”及“數學項目教育”，其中前者指數學與社會、生產、生活等聯系，包括作為背景材料的實際問題引入、應用題及數學建模教學;后者指在復雜背景下，數學結合其他學科的知識、思想方法，開展高質量的項目學習，它具有驅動性問題設計、對大概念的追求、持續探究的過程性、指向核心知識等重要特征. 由此得到新的八個操作變量，并重新編排為：返璞歸真教育、解題策略教育、數學推理教育、數學探究教育、數學審美教育、數學文化教育、數學應用教育、數學項目教育. 這樣組成的新的八個操作變量，其中六個是原來操作變量的沿用、簡化、兼并或重組，具有很好的傳承性，另外兩個是依據新課程理念新增的操作變量，體現了與時代同步的創新與發展. 八個新操作變量既互為獨立，又相互聯系，形成一個相對完整的體系，共同指向MM教育方式的思想、目標和要求，期待成為廣大教師落實核心素養理念的教學抓手.

2在教學實踐中探索，在研究反思中提高

MM教育方式內涵及構成要素的完善，為具體的教學實踐提供了依據和方向，但如何保證在教學設計和實施中貫徹MM教育方式的理念，首先是要充分發揮名師的作用，推進區域性合作，發掘相應的課程資源，設計典型的教學案例，其次是在教學實踐中不斷加以調整、打磨和完善，力求做到精益求精，再次是加強課堂觀察、研討、總結和反思，將精品案例加以大力推廣，以共享研究成果，從而形成共建、共研、共享的學術生態鏈，這是MM實驗留給我們的精神財富和學術品格＼[4＼].

2.1利用MM實驗原理解決教學困惑

由于教材文本的簡潔性，一些數學核心概念產生的背景被略去，導致師生難以經歷知識的發生過程，體悟探索問題運用的數學思想方法，利用MM實驗原理，查閱相應的資料，設計簡約的數學問題，可以化解師生教學中存在的困惑.

例如，在三角函數一章的起始課“任意角的概念”一節課中，廣大師生一直存在這樣的困惑，為什么要把角放置在直角坐標系中？為此筆者依據數學史，設計了這樣的問題情境：在大海中，如何在地圖上表示出東偏南60°且離港口100海里的船只？船只位置與地圖上約定的“上北下南，左西右東”，在數學上如何加以體現和約定？于是通過數學史中17世紀航海的發展，催生平面直角坐標系的誕生，從而使數形有機結合，筆者引導學生將港口抽象為坐標原點，船只抽象為終邊上的點，結合地理知識，讓學生討論角的頂點、始邊分別怎樣約定更符合習慣，而終邊按逆時針方向旋轉與坐標系的象限順序保持一致，正好印證了角的正方向用逆時針方向約定是科學合理的，再結合判斷角的象限，引申到終邊相同角的概念，從而將數學抽象與坐標思想、數學建模與地理的空間定位、數學約定的科學性與融通性等，滲透到日常的教學中，對促進學生素養的提高起到潤物細無聲的作用.

2.2利用MM實驗原理提升教學品質

數學教學品質是指數學教學對人影響的廣泛程度、深刻程度、持久程度、有用程度. 數學教學品質由低到高分為四個層次：一是數學知識技能教學層次，重在解決是什么、怎樣做的問題;二是數學思想方法層次，重在解決用怎樣的思想與方法做的問題;三是數學思維教學層次，重在解決怎樣想到這樣做、為什么要這樣做的問題;四是數學素養、精神和文化教學層次，重在促進學生心智、個性、觀念、精神等和諧協調地發展. MM實驗原理順應了能力素養導向教學的要求，并成為有效的教學抓手，將數學教學品質的各個層次有機融合.

例如，在一次“解三角形”習題中，筆者根據教材（人教版必修第二冊）54頁20題關于已知三邊長證明三角形的面積公式，選編了這樣兩道題目：（1）已知△ABC中，BC=3，CA=5，AB=7，求它的面積;（2）已知凸四邊形ABCD中，AB=1，BC=3，AD=CD=2，問能否求它的面積？

第（1）問用余弦定理求得cosB=1114，故sinB=5314，代入面積公式S= 12acsinB=34，將問題一般化，學生經過因式分解，得出了南宋數學家秦九韶發現的求三角形面積的“三斜公式”和古希臘數學家海倫得到的三角形面積公式. 與三角形作類比，多數學生認為第（2）問能求解，但又找不到方法，也有學生估測該四邊形不固定，面積求不出. 在評議中，教者用幾何畫板作演示，發現四邊形面積的確不確定，那么面積是否有最大值呢？學生的思維開始活躍起來. 先把四邊形ABCD劃分成兩個三角形后，得出S=sinA+3sinC ，再由余弦定理和公共邊BD作等量關系，得出5-4cosA=13-12cosC，即cosA-3cosC=-2，由配對思想，兩式平方相加，得S2+4=10-6cos（A+C），S=6-6cos（A+C），于是當A+C=π時，四邊形ABCD的面積最大，最大值為23，即四邊形ABCD內接于圓時，其面積最大. 能否推廣到一般的情形呢？即四邊長為定值的四邊形中，是否以圓的內接四邊形面積最大呢？于是將數據字母化，證明了猜想的正確性，并且面積的最大值與秦九韶、海倫公式從運算結構上有驚人的相似之處，即可看作是三角形面積在四邊形中的推廣.

通過這樣引導學生從特殊到一般，不斷拓展解題思路，最后得出了與大數學家相似的結論，學生仿佛經歷了一次探索、創造和發現的過程，在這一過程中，學生的數學知識與技能得以鞏固，數學思想方法得以有效的滲透，思維能力和數學素養得到發展，而教學設計的理念為MM實驗原理.

3依托學校三級課程，弘揚MM教育方式

在MM教育方式的新八個操作變量中，數學探究、數學審美、數學文化、數學應用、數學項目教育，在培養學生關鍵能力和核心素養時最令人關注，但由于受應試觀念的影響，許多教師在常態課堂中涉及較少，而地方課程、學校課程為這些領域提供了新的教學平臺. 我校數學組高一自主研發了校本課程：數學探究、數學建模、數學審美及數學文化，高二則開設了STEM、數學研究性學習及數學項目學習課程，目前雖然尚處于嘗試、探索階段，但深受學生的歡迎和同行的關注.因為高中學生數學知識儲備有限，大量以大學數學為背景的探究、建模、審美和史志等，學生難以領悟其要義，因此，教師必須探尋以高中數學為背景的相關課程資源，并結合學生的情況、教材的安排以及社會實際的現狀，研發相應的校本課程.

以數學項目學習為例，筆者圍繞無錫最著名的石拱橋——清明橋，開展了以下教學嘗試. 在江南古典音樂的背景下，屏幕上出現了從不同背景、不同角度拍攝的清明橋照片，結合畫面對該橋作簡介：清明橋，始建于明朝萬歷年間，是無錫古運河上最著名的經典，它是單孔石拱橋，橋長43.2米，寬5.5米，高8.5米，橋孔13.1米. 圍繞清明橋這一話題，老師先拋出以下兩個與數學相關的問題，供同學們思考：

（1）從直覺來看，清明橋橫截面的拱圈更接近圓弧，還是更接近拋物線弧？

（2）如何用數學的定量方法，來論證你的觀點？

兩個問題為同學們開展項目式學習打開了話題，不同的判斷，依據不同的數學模型，首先分別建立坐標系、設點和求曲線方程等建立模型，其次通過圖形整體縮放、等分尋高等獲得相應數據，然后由幾何畫板得出各自模型的數據，最后通過對比分析得出結論. 在此基礎上，引發學生通過相互交流，提出每一4人小組設計的問題，這里列舉其中5個：

（1）清明橋橫截面的拱圈可能更接近于一個離心率很小的橢圓（有待于計算確認）;

（2）以上兩個模型中，如果河水上漲1米，橋拱圈的寬度將為多少？此時，若船在橋洞中間行駛過去，船浮出水面的高度有什么限制？

（3）清明橋為什么要設計成接近于圓（橢圓）的石拱橋？

（4）清明橋為什么會建造在此處？它對當時無錫的經濟和生活有什么影響？

（5）清明橋的石材都是方直的，為什么我們看到的橋卻是彎曲、弧形狀的？

問題1是對教師提問的質疑，通過計算，用橢圓作為數學模型比圓的確更為精準，體現了當代學生的分析質疑能力及批判性思維. 問題2源于教材的例題、習題，并作了改造，但作為兩個模型的對比分析，仍然有其研究價值. 問題3具有一定跨學科性，有的從便于水流交通的角度進行分析;有的從物理學圓周運動中重力與彈力的合力等于向心力，即mg-N=mv2r，N=mg-mv2r是關于r的增函數，拱圈越鼓對應圓半徑越小，橋面承接的壓力越小，從而在數理知識融合中形成了科學的解釋;有的同學則從人文、美觀和旅游的角度加以詮釋. 對問題4，學生分別從河面相對較窄、人口流動多、交通樞紐、工商業發達、文化旅游等方面進行分析. 問題5的討論同樣出人意料，有的想起了劉徽的割圓術，用微元分析、極限的思想進行分析;有的從哲學的角度對直與曲、方與圓、微觀與宏觀、精確與誤差等作了深入剖析;有的從中國古代傳統文化的視野作了論述，真可謂教學相長，后生可畏. 可以預見，項目式學習在培養學生能力和素養方面，將越來越受到各界人士的關注，MM教育方式也必將重視其今后的發展.

MM教育方式經歷了三十多年的風風雨雨，雖然取得了卓越的成果和良好的效果，但由于我們正處于世紀之交，各種教育理論和教學模式的呈現日新月異，因此MM教育方式的完善與創新、發揚與廣大、實驗性與示范性等都遇到了極大的挑戰. 新課程理念的愿景是美好的，但數學核心素養如何在實踐中落地生根，需要依托于成功的教學范式，MM教育方式作為數學教育的品牌，理應發揮其學術引領和實踐示范的作用，以展示其獨特的教育價值.

參考文獻

[1]徐利治. 徐利治論數學方法學＼[M＼]. 濟南：山東教育出版社，2001：13.

[2]徐瀝泉. 教學·研究·發現——MM方式演繹＼[M＼]. 北京：科學出版社，2003：5979.

[3]楊世明，周春荔，徐瀝泉等. MM教育方式：理論與實踐＼[M＼]. 香港：香港新聞出版社，2002：132.

[4]華志遠. MM教育方式的源與流＼[J＼]. 數學通報，2020（08）：3235.

作者簡介華志遠（1964—），男，江蘇無錫人，現任無錫市第一中學副校長，中學正高級教師，特級教師，曾獲蘇步青數學教育獎;主要研究中學數學課程、教材、教法;發表論文100余篇，其中15篇被中國人民大學資料中心全文轉載.