三個版本高中數學新教材微型探究活動比較

【摘要】為了幫助學生順利完成初高中數學學習的過渡，各個版本高中數學新教材均設置了“預備知識”部分. 利用數學探究活動分析框架，分析了三個版本高中數學新教材“預備知識”部分的微型探究活動，發現微型探究活動的數量和種類較多、陳述性知識探究所占比重較大、開放水平偏低、缺乏實驗型探究方式. 建議增加模仿性數學應用探究活動、提升開放水平;北師大版還應提升微型探究活動的數量和種類、蘇教版應增加以“思想型”為完成方式的探究活動，以更好落實數學核心素養.

【關鍵詞】高中數學新教材;微型探究活動;預備知識

2020年秋季，全國有20多個省份開始實施新課程，使用新教材. 為了幫助學生順利完成初高中學習的過渡，各個版本高中數學教材在《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》的指導下設置了“預備知識”部分，包括集合、常用邏輯用語、相等關系與不等關系、從函數觀點看一元二次方程和一元二次不等式等內容. “預備知識”部分關注的數學核心素養主要有數學抽象、邏輯推理和數學運算素養三種. 課程標準指出，數學探究活動是綜合提升數學學科核心素養的載體＼[1＼]. 不過新教材中完整的數學探究欄目數量較少，如人教A版一共設置了兩處，分別是“用向量法研究三角形的性質”和“楊輝三角的性質與應用”，不能充分體現探究活動的意義. 而各類數量眾多的“微型探究”活動則可以貫穿新教材始終，能幫助學生了解概念和結論產生的過程，培養發現、提出、分析和解決數學問題的能力，建立嚴謹的科學態度和不怕困難的科學精神，進而發展數學學科核心素養. 因此有必要比較不同版本新教材“預備知識”部分“微型探究”活動的設置情況，并對教材編寫提出建議，以取長補短，充分發揮各個版本新教材“預備知識”部分對高一新生數學學科核心素養培養的重要作用.

1核心概念界定

數學探究活動與一般的探究類似：針對某個課題，發現和提出有意義的數學問題，猜測合理的數學結論，提出解決問題的思路與方案，通過自主探索、合作研究論證數學結論.而微型數學探究指學生在一定指導下，經歷猜想與驗證的小型探究過程，是有指導的數學發現活動. 在教材中，其可以存在于教材中的知識引入、概念獲得、原理分析、問題解決等環節＼[2＼]. 微型探究要滿足如下三個條件：①起點可以是真實問題，也可以是數學問題，還可以是數學結論;②終點是學生未知的知識或方法，學生通過探究活動經歷“再創造”的過程;③關鍵點是科學探究方法與精神，即通過類比抽象和歸納概括方法推出某種可能性，并進行驗證. 驗證的方法包括演繹推理，還包括在更多的例子中檢驗猜想.

2新教材中微型數學探究活動的文本分析

迄今為止，我國高中數學新教材已經有三個版本出版發行，包括人教A版、蘇教版和北師大版. 本研究使用內容分析方法，依據劉云等人的數學探究活動分析框架＼[3＼]，從探究所在欄目、探究內容、開放水平和探究方式四個方面對上述三個版本“預備知識”中的微型探究活動進行分析比較.

2.1呈現微型數學探究活動的欄目統計

微型探究任務可以出現在教材的“新知引入與呈現”“課后習題”“拓展”等部分. 但是不同版本教材對相似環節的命名有一定差異，如人教A版在“新知引入與呈現”部分設置的探究環節名稱多樣，有“思考”“觀察”“探究”以及沒有明確欄目名稱四種;而蘇教版在這個部分則設置了“思考”欄目以及沒有明確欄目名稱的形式引出探究任務. 欄目具體分布情況如表1所示.

總體來看，人教A版和蘇教版新教材更傾向于引導學生通過微型探究活動學習數學知識. 這是因為，從數量上看，北師大版微型探究性任務總數最少，僅為19處，低于人教A版的38處和蘇教版的31處;從種類上看，三個版本新教材在預備知識部分一共有9個小欄目設置微型探究任務，北師大版只安排了3個欄目，低于人教A版（7個）和蘇教版（6個）.

2.2微型數學探究活動的內容類型

從內容類型角度，微型數學探究活動分為“數學知識的探究”和“應用數學知識的探究”兩類，其中“數學知識的探究”指向具體數學知識的學習，又分為“陳述性知識探究”和“程序性知識探究”兩類. 陳述性知識探究指向數學陳述性知識的學習，而程序性知識探究則是對進行某項操作活動所需知識的探索. 如人教A版1.2節中“觀察”欄目要求學生觀察幾個例子，類比實數之間的相等與大小關系以發現兩個集合的關系，是對數學概念的探究，屬于陳述性知識的探究活動;而人教A版2.1節中“思考”欄目要求類比等式的基本性質，猜想不等式的基本性質，并加以證明，則是通過探究活動讓學生經歷抽象、概括、猜想、驗證的數學探究方法，屬于程序性知識的探究活動.

應用數學知識的探究活動指向數學知識的應用，根據應用的步驟是否已經告訴學生，是否給學生提供了可供模仿的對象，將應用數學知識的探究活動分為模仿性應用和創造性應用兩類. 如蘇教版習題3.3中的15題，首先提示學生可以將一元二次不等式求解問題化歸為利用實數乘法法則推測因式符號的問題，再要求學生嘗試用自己得出的方法求解其他一元二次不等式，是模仿性應用的典型例子;而人教A版1.3節的“閱讀與思考”欄目中讓學生設計一種比較兩個無限集合中元素個數多少的方法就屬于對數學知識創造性應用的探究，因為學生之前不知道如何比較無限集元素個數，沒有可供模仿的方法，需要提出猜測并加以證明才行.

根據上述分類，對三個版本高中數學新教材中微型探究性活動進行統計，結果如表2所示.

在人教A版高中數學新教材的“預備知識”部分，探索數學知識的任務（0.63）多于應用數學知識的探究活動（0.37）;在蘇教版中，兩者基本持平;但是北師大版探索數學知識（0.37）的任務卻少于應用數學知識的探究活動（0.63）. 在數學知識的探究任務中，三個版本新教材中陳述性知識探究所占比重都比較大. 在應用數學知識的探究活動中，三個版本新教材中的模仿性應用探究活動均較少. 這一結果與劉云等人在“高中數學必修教科書中的數學探究活動分析”一文中對人教A版高中數學教材研究結果相反，可能由于本研究將教材中已經明確告知學生解決問題的步驟的任務排除在探究性任務之外，僅包含需要學生首先自主抽象出解決方法再加以應用的任務，因此模仿性應用探究活動數量較少.

2.3微型數學探究活動的開放水平

高中數學新教材中探究活動的開放水平分為4個層次：問題起始型、證據起始型、結論起始型、論證起始型. 如人教A版1.5節的“閱讀與思考”欄目要求學生梳理等腰三角形、直角三角形、平行四邊形的知識. 相應地，學生需要自行提出問題：這些圖形相關命題的充分、必要條件是什么？并猜測結論、尋找證據、進行論證，因此本探究任務屬于問題起始型. 而人教A版1.4節的“探究”欄目要求學生給出“四邊形是平行四邊形”的充要條件，是證據起始型的探究任務. 人教A版1.4節的“思考”欄目：下列“若p，則q”形式的命題，哪些命題與它們的逆命題都是真命題，是結論起始型的探究任務. 北師大版3.2節的“思考交流”欄目要求學生類比上述方法，說明面積為16 cm2的所有不同形狀矩形中，邊長為4 cm的正方形的周長最小，則是論證起始型的探究任務.

如表3所示，結論起始型的探究在每本教材中所占比例都最大，而問題起始型的探究占比最少. 另外，按照探究任務的開放水平，分別對問題起始型、證據起始型、結論起始型、論證起始型賦值4、3、2、1，通過加權平均得出人教A版新教材的平均開放水平2.16，高于北師大版的1.95和蘇教版的2.

2.4微型數學探究活動的完成方式

微型數學探究活動的完成方式，指在探究活動中驗證猜想所需要的方法類型. 其包括思想型探究活動，如蘇教版1.2節的“思考”欄目，要求學生判斷AB與BA能否同時成立，學生單純依賴邏輯推理即可完成;觀察型探究活動，如蘇教版1.2節的引入環節，要求學生觀察猜想第一組集合中集合A與B的關系，并在第二、三組中驗證這一猜測，就是需在觀察基礎上進行抽象才能完成的探究活動;實驗型探究活動，需要通過操作實驗、觀察抽象、并從收集的數據中驗證假說.

從表4可知，三個版本新教材的“預備知識”部分中微型數學探究活動的完成以思想型最多，觀察型次之，實驗型均沒有.

3思考與建議

3.1北師大版應適當增加探索數學知識的任務

如上所述，數學探究是培養學生核心素養的核心載體，但是北師大版新教材的“預備知識”部分較不重視使用探究活動引導學生學習. 首先，從整體視角來看，其設置的探究活動的數量與欄目數量最少. 其次，北師大版新教材在呈現概念和原理時，很少設置探究性任務，往往首先給出若干個例子，緊接著給出確定的結論作為結尾，如圖1所示. 但是概念與原理是學習的核心和教學的重點，也是培養核心素養的重要載體. 因此北師大版需要展示各種陳述性和程序性知識的探究過程、增加探索數學知識的任務. 具體可參考蘇教版的做法（如圖2所示）：

在給出若干個具體例子之后，拋出探究性任務：你能說出集合A、B、C之間的關系嗎？此外，教材還引導學生思考：首先抽象出例（1）的數學本質特征，并在例（2）和例（3）中驗證這一猜測，最終順利完成一個數學知識的微型探究任務.

3.2蘇教版應適當增加以“思想型”為完成方式的探究活動

三個版本新教材“預備知識”部分的微型探究活動均以“思想型”為主要完成方式，而且均沒有設置“實驗型”的探究活動. 縱觀中學數學教材的探究活動，以實驗型作為完成方式的情況多見于使用信息技術手段驗證，如人教A版5.5.1節中“利用信息技術制作三角函數表”. 而“預備知識”部分并沒有合適的探究內容可以使用信息技術，因此，三個版本在此部分均沒有出現以“實驗型”作為探究活動的完成方式. 但是人教A版和北師大版中以“思想型”為完成方式的探究活動占比高于蘇教版. 考慮到初高中數學內容抽象程度不同，高中對邏輯嚴謹性要求更高＼[4＼]. 而通過觀察其他例子驗證猜想的嚴謹性低于通過演繹性邏輯推理驗證. 為此，蘇教版需要加大以“思想型”為完成方式的探究活動比例，以符合高中數學“預備知識”部分對邏輯嚴謹性的更高要求.

3.3三個版本均需增加模仿性數學應用探究活動，并提升開放水平

在應用數學知識的探究活動中，三個版本新教材中模仿性應用探究活動的設置均較少：人教A版占0.03、北師大版占0.16，在數學探究活動的四種內容類型中均占比最少;蘇教版的模仿性數學應用探究占比0.13，雖然不是最低比例，但依舊處于下游水平. 盡管創造性應用探究活動對學生問題解決能力及創新意識的培養作用更大，但難度也更大. 而高難度的任務反而可能降低學習積極性. 考慮到安排“預備知識”的目的之一在于使學生在克服困難、掌握知識、發展數學思維、提高數學能力的過程中培養數學學習興趣，增強學好數學的自信心，養成良好的數學學習習慣＼[4＼]. 因此三個版本均應該多設置一些難度稍低的模仿性數學應用的探究活動，讓高一學生經歷抽象他人解決問題方法的過程，并在更多的例子中驗證自己抽象出的方法是否正確，這種數學應用探究活動的設置更能符合高一學生的數學現實以及教材安排“預備知識”的目的.

此外，對三個版本教材中微型數學探究活動的開放水平分析表明，結論起始型居多，問題起始型最少，說明教材給學生提供的探究空間并不大. 這一結論與劉云在2012年得出的研究結論類似，也說明新教材“預備知識”部分在探究開放水平這方面并未有所改進. 但是只有問題起始型探究活動能提供完整的科學探究過程，培養學生的創新能力，因此三個版本教材應注重對數學探究活動開放水平的提升，在“閱讀與思考”等環節設置以數學問題提出為起點的探究活動.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部制定.普通高中數字課程標準（2017 年版2020 年修訂）＼[M＼].北京：人民教育出版，2020：82.

[2]蘇洪雨.基于問題設計的數學微探究評價體系構建＼[J＼].數學教育學報，2019，28（01）：1924.

[3]劉云，張廣祥，黃永明等.高中數學必修教科書中的數學探究活動分析＼[J＼].數學教育學報，2012，21（05）：7679.

[4]章建躍.“預備知識”預備什么、如何預備＼[J＼].數學通報，2020，59（08）：114.

作者簡介褚小婧（1984—），女，安徽靈璧人，教育學博士，副教授;主要研究數學教育學;主持省級和校級教學科研課題8項，發表論文10余篇.