由一道解析幾何題引發的“識圖”思考

【摘要】解析幾何學習中既包含代數運算，又包含對平面圖形的認識和處理，充分認識所研究的幾何圖形，提高學生幾何圖形的分析能力，把握所研究對象的幾何特征，學會在運算過程中利用圖形的幾何特征來簡化運算，提高運算效率，是解析幾何教學中必須予以重視的問題.

【關鍵詞】解析幾何;識圖;教學反思

圓錐曲線是解析幾何中的核心內容，談到解析幾何問題的解決，許多學生認為就是復雜的計算，沒有規律可循，其實這是對解析幾何學習的一種片面認識.解析幾何的本質是用代數方法研究幾何問題，幾何是根本，運算是有數形結合特征的運算，而不僅僅是代數運算，所以加強解析幾何中識圖教學顯得非常有必要.章建躍博士指出：用數形結合思想研究曲線，應貫徹先用幾何眼光觀察與思考，再用坐標法解決的策略[1]，讓學生參與到學會識圖的過程中，引導學生注意運算與幾何的相互為用，有目的地引導學生學會分析幾何圖形的要素及其基本關系，再用代數語言表達，這樣能夠拓展解題視野，優化運算求解過程，教師只有注意滲透、反復強化這種解題策略并貫穿解析幾何學習的全過程，學生才能從繁瑣的運算中解脫出來，從而不斷提高學生分析問題和解決問題的能力.下面這道解析幾何題有豐富的幾何特征，通過多角度的識圖，開辟不同的解題途徑，談一點自己的思考.

1試題再現

最近，我校高三檢測考試選取了下列這道解析幾何題作為壓軸題：

題1如圖1，已知點A，B在橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上，點A在第一象限，O為坐標原點，且OA⊥AB.

（1）若a=3，b=1，直線OA的方程為x-3y=0，求直線OB的斜率;

（2）若△OAB是等腰三角形（點O，A，B按順時針排列），求ba的最大值.

第一問只要根據條件列式求解，難度不大，從學生做題的效果來看，全班學生都能正確解答，學生第二問普遍不會解，正確率很低，能夠動筆寫一點有效過程的學生很少，究其原因找不到解題思路，雖然這道題有一定難度，但如此低的正確率還是不應該，要求學生完全正確解答，也確有難度，但完全找不到解題思路，一點過程也寫不出，似乎不正常.

2問題分析

對于第（2）小題，筆者對所在班級的學生做了調查：一是目標函數難以建立，ba究竟用什么量表示，難以下手;二是部分學生試圖通過設直線OA的斜率表達A，B兩點坐標，雖只有一個變量，但面對復雜數據難以求出B點坐標;三是部分學生試圖通過設A，B兩點坐標，進行求解，由于變量較多而無法求解.

本題看似平淡，但學生對等腰直角三角形這個條件，認識不深，不能由此找到合理的解題思路.究其原因，是學生識圖能力不強所致.他們不能根據“直角”和“等腰”這兩個要素，轉化至合理的代數運算.因此，需要加強識圖能力的教學，引導學生對圖形進行多角度分析、深入思考，與學生共同分析比較圖形的不同表征，讓他們學會代數運算與幾何直觀的相互轉化，得到不同的解題方法，從而找到合理的解題思路.

3必要性分析

在解析幾何教學中，是否有必要加強識圖教學？再看下面題2：題2如圖2，已知點A，B，M，N為拋物線y2=2x上四個不同的點，直線AB與直線MN相交于點（1，0），直線AN過點（2，0）.

（1）記A，B的縱坐標分別為y1，y2，求y1y2的值;

（2）記直線AN，BM的斜率分別為k1，k2，是否存在實數λ，使得k2=λk1？若存在，請求出λ的值;若不存在，請說明理由.

仔細分析這道題的圖形特征，就是要由三個三點共線（點A，（1，0），B共線;點M，（1，0），N共線;點A，（2，0），N共線），得兩條直線的斜率關系.而且第（1）小題已經鋪墊了一個三點共線（點A，（1，0），B共線），可以通過不同方法得到y1y2=-2.設M，N的縱坐標分別為y3，y4，由點M，（1，0），N共線與點A，（2，0），N共線，同理可得y3y4=-2，y1y4=-4.而k2=y3-y2y234-y224=4y3+y2，k1=4y4+y1，只需運用上述三個等式將y2，y3轉化為y1，y4即可.

所謂識圖，就是要分析圖形的形成過程，找到圖形的基本關系和核心要素，再用代數語言表達出來，通過合理轉化即完成解題.像上述題2，三個三點共線是基本關系，可運算得其代數關系式，通過消元轉化，就可以研究兩條直線的斜率關系.因此，加強識圖能力的教學，有助于解題思路的形成.下文以問題為例，展示由識圖到解題思路形成的教學過程，與讀者交流研討.

4教學分析

4.1初識圖形

問題1這次考試的壓軸題，有一定難度，但圖形卻不復雜，請同學們再分析一下圖形的形成過程，找一找圖形中的關鍵條件，思考怎樣處理這些關鍵條件.

學生容易發現關鍵條件OA⊥AB與OA=AB，怎樣從代數運算的角度刻畫這兩個條件呢？只要設A（x1，y1），B（x2，y2），就有解題思路了.

由OA⊥AB，得x1（x2-x1）+y1（y2-y1）=0.①

由OA=AB，得x21+y21=（x2-x1）2+（y2-y1）2.②

且A，B兩點的坐標還滿足x21a2+y21b2=1與x22a2+y22b2=1.本題即可利用這4個等式轉化研究ba的最大值.在此，要告訴學生一個道理，認真審題研究圖形，就能找到解題思路，要大膽思考、要敢分析、要敢寫，很多問題并不難.當然，這是一個初級解題思路，還要引導學生敢于運算.

問題2這4個等式涉及多個字母，如何消元轉化到求ba的最大值呢？

引導學生觀察這4個等式，不難得到消元思路.字母a，b保留，可盡量消去x2，y2或y1，y2，4個等式中，后3個等式都是平方項，顯然由①式消元.

由①式得y1-y2=x1y1（x2-x1），

代入②式有x21+y21=（x2-x1）2+x21y21（x2-x1）2=（x2-x1）2x21+y21y21，解得x2=x1+y1，y2=y1-x1，

將A（x1，y1），B（x1+y1，y1-x1）代入橢圓方程，得x21a2+y21b2=1與（x1+y1）2a2+（y1-x1）2b2=1，兩式相減即得目標b2a2=2x1y1-x212x1y1+y21，齊次式求最值，留時間讓學生運算，最終得ba的最大值為5-12.

問題3上述解法是基本思路，不難想，只要大膽運算，運算量也不是想象的那么大.當然，能不能運用弦長公式適當優化解法呢？

問題3解題思路并沒有變化，只是引導學生靈活解題.只要想到弦長公式，引入直線OA的斜率k，即可淡化y1，y2的運算.易得OA=x21+y21=1+k2x1，AB=1+1k2x1-x2，所以x1=x2-x1k，即x2=x1+y1，再由OA⊥AB可得y2=y1-x1.

4.2再識圖形

問題4除了具備條件OA⊥AB且OA=AB是等腰直角三角形外，請同學們思考還有哪些條件能夠滿足是等腰直角三角形呢？

引導學生再次認識等腰直角三角形，并不難發現：由∠AOB=45°與OB=2OA，也能保證等腰直角三角形，這時可把OA，OB作為研究目標.因此，又得到另一解題思路：研究OA，OB的斜率關系，研究OA，OB的交點處理長度OB=2OA.

設直線OA斜率為k，傾角為θ，則k=tanθ，由∠AOB=45°，得kOB=tan（θ-45°），所以kOB=k-11+k.

由y=kx，

x2a2+y2b2=1，得x21=a2b2b2+a2k2，所以OA2=（1+k2）a2b2b2+a2k2，同理可得OB2=1+k-11+k2a2b2b2+a2k-11+k2=2（1+k2）a2b2b2（1+k）2+a2（k-1）2，由OB=2OA，得b2k2+2（b2-a2）k+a2=0，所以4（b2-a2）2-4a2b2≥0，解得ba≤5-12，當k=5+12時取到最大值.

若有的學校教師補充過復數旋轉的相關知識，還可引導學生從復數旋轉的角度進一步認識圖形.

問題5我們曾經補充過復數的相關知識，能不能運用復數知識解決這個問題？

容易發現，OB逆時針旋轉45°且長度變為原來的22，即得OA.設A（x1，y1），B（x2，y2），分別對應于復數x1+y1i與x2+y2i，則22（x2+y2i）（cos45°+isin45°）=x1+y1i，所以（x2-y2）+i（x2+y2）=2x1+2y1i，解得x2=x1+y1，y2=y1-x1.（下同問題2的處理）

4.3轉換視角

解析幾何是用代數方法研究幾何問題的，既是幾何問題，就不能忽略幾何圖形中隱含的信息.若能充分借用幾何關系，深層次挖掘幾何信息，探求問題本質，則可簡化代數運算，使復雜問題簡單化，有效提高解題效率.

問題6對于條件“等腰直角三角形△OAB”，能不能運用幾何關系得到A，B兩點的坐標關系？

學生雖知道初中幾何知識，但長時間不運用，當然不能迅速解決問題6.需要再引導，從幾何的角度，研究點的坐標怎么處理？這時學生可能會想到作坐標軸的垂線，給點時間學生思考，他們能得到以下處理：

如圖3，過點A作y軸垂線交y軸于M，過點B作BN⊥AM于N，由△OAB是等腰直角三角形，易得△AOB≌△ANB，容易得到OM=AN，AM=BN，從而得到A，B兩點的坐標關系.

本題最為簡潔的解法，在問題中所涉及的幾何要素上加強引導學生“識圖”，代數式的化簡、方程的變形與轉化都起著很重要的作用，在不同的解法中比較，細節不同的處理，需要循序漸進地引導學生感悟.

問題7若將等腰直角三角形△OAB，改為∠AOB=60°的直角三角形，怎么處理？請同學們根據本節課的研究，從不同的角度認識這個問題.

問題7作為課后思考題的主要目的，一是激發學生研究的熱情;二是讓學生進一步認識這類圖形的本質.這樣將數形結合思想方法融入到具體的問題解決過程中，使學生在實踐中加深“識圖”的理解，逐步養成數形結合解決解析幾何問題的思維習慣.

5教學反思

通過這道例題，有效識圖，靈活處理運算的多元表征，嘗試每種幾何特征下的運算量，合理規劃運算路徑.學生在解題實踐中有意識地去感悟不同識圖方式帶來的多種解法，分析不同解法帶來的運算量和表達方式的差異.通過分析運算條件、探究運算方向、設計運算途徑，不僅讓學生體會利用等腰直角三角形的性質解決問題，而且通過識圖帶來不同解法的比較，其中更有簡捷、優美的解法，體現了多想少算的原則和較高的理性思維水平，使學生也體會了解析幾何運算中所具有的特點：先分析清楚研究對象的幾何特征，學會有效認識圖形中的角度、長度、位置關系，把握所研究對象的幾何特征、明確面臨的幾何問題，找到合理的幾何關系，將幾何元素及其關系代數化，在運算過程中充分利用相應的幾何特性來簡化運算，使復雜問題簡單化，然后運算推理和求解，這是化解數學運算難點的重要舉措.通過不斷探索、歸納和總結的體驗和感悟，積累運算經驗，尋求合理簡潔的運算途徑，從而提升解析幾何問題解決能力，提高學生數學核心素養.

參考文獻

[1]章建躍.利用幾何圖形建立直觀通過代數運算刻畫規律＼[J＼].數學通報，2021（08）：110.

作者簡介梁永年（1978—），男，江蘇濱海人，中學高級教師， 鹽城市高中數學教學能手，2020年10月獲鹽城市基礎教育成果一等獎，2021年1月獲江蘇省教科研先進個人;主要研究高中數學教育與教學.