研究高考試題是倒逼教師提升專業(yè)素養(yǎng)的杠桿

【摘要】通過研究2021年全國高考數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第八題，剖析失分原因，追尋命題歷程，詮釋考查目的，對(duì)比新舊課標(biāo)、教材，引導(dǎo)“獨(dú)立性”概念教學(xué)，提升教師專業(yè)素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】研究高考試題;引導(dǎo)教學(xué);專業(yè)素養(yǎng)

1識(shí)得廬山真面目——高考真題再現(xiàn)

2021年新高考數(shù)學(xué)試題全面貫徹德智體美勞全面發(fā)展的教育方針，有效落實(shí)立德樹人的根本宗旨，完美詮釋“一核、四層、四翼”高考評(píng)價(jià)體系.

新高考試題在聚焦數(shù)學(xué)素養(yǎng)、考查關(guān)鍵能力、突出數(shù)學(xué)本質(zhì)、重視理性思維的同時(shí)，尤其關(guān)注數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本概念考查.其中，2021年全國高考數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第八題對(duì)概念教學(xué)具有顯著的引導(dǎo)作用，有利于提升教師專業(yè)素養(yǎng).原題如下（以下簡(jiǎn)稱案例1）：

案例1有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6.從中有放回地隨機(jī)抽取兩次，每次取1個(gè)球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和為7”，則（）.

A.甲與丙相互獨(dú)立B.甲與丁相互獨(dú)立

C.乙與丙相互獨(dú)立D.丙與丁相互獨(dú)立

2亡羊補(bǔ)牢未為晚——得分極低緣由

案例1創(chuàng)設(shè)“有放回摸球”情景，主要考查事件相互獨(dú)立性，彰顯“四翼”中的基礎(chǔ)性.客觀地講，案例1屬于考查基本概念、應(yīng)用基本方法的基礎(chǔ)題型.然而，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明，案例1失分嚴(yán)重.為何案例1得分率如此之低呢？筆者問卷調(diào)查部分教師，結(jié)果表明：

其一，教師普遍用解題教學(xué)替代概念教學(xué)，導(dǎo)致學(xué)生缺乏“造血”功能，這是數(shù)學(xué)概念教學(xué)長(zhǎng)期以來存在的老大難問題;

其二，教師不舍得花時(shí)間深入研究新舊課標(biāo)變化，缺乏對(duì)比新舊教材意識(shí).“新瓶裝舊酒”“穿新鞋走老路”大有人在;

其三，教師專業(yè)功底欠缺，難以深度剖析概念本質(zhì)，導(dǎo)致獨(dú)立事件、互斥事件與條件概率關(guān)系模糊不清，甚至混為一談.

3打破砂鍋問到底——追尋命題歷程

高考試題是命題專家精心謀略、反復(fù)打磨的智慧結(jié)晶.只有明白每一道試題的來龍去脈，才能達(dá)到引導(dǎo)教學(xué)目的.那案例1又是如何命制的呢？事實(shí)上，絕大部分高考試題的“根”在課標(biāo)、教材之中.這是公開的秘密，上述案例1正是如此.

3.1案例1的“根”就在新版課程標(biāo)準(zhǔn)中

請(qǐng)看文＼[1＼]125頁例12（以下簡(jiǎn)稱案例2）：

案例2：將一枚均勻骰子相繼投擲兩次，請(qǐng)回答以下問題：

（1）寫出樣本點(diǎn)和樣本空間;

（2）用A表示隨機(jī)事件“至少有一次擲出1點(diǎn)”，試用樣本點(diǎn)表示事件A;

（3）用Aj（j=1，2，3，4，5，6）表示隨機(jī)事件“第一次擲出1點(diǎn)，第二次擲出j點(diǎn)”;用B表示隨機(jī)事件“第一次擲出1點(diǎn)”，試用隨機(jī)事件Aj表示隨機(jī)事件B;

（4）用C表示隨機(jī)事件“點(diǎn)數(shù)之和為7”，并求C發(fā)生的概率.

3.2案例1的“根”也在蘇教版新教材中

請(qǐng)看文＼[2＼]278頁例6（以下簡(jiǎn)稱案例3）：

案例3：一只不透明的口袋內(nèi)裝有9張卡片，上面分別標(biāo)有1～9這9個(gè)數(shù)（1張卡片上標(biāo)1個(gè)數(shù)）.“從中任抽取1張卡片，結(jié)果卡片號(hào)或?yàn)?或?yàn)?或?yàn)?”記為事件A，“從中任抽取1張卡片，結(jié)果卡片號(hào)小于7”記為事件B.試判斷A，B是否為相互獨(dú)立事件.

3.3案例1的“根”還在人教版新教材中

請(qǐng)看文＼[3＼]248頁例1，原題如下（以下簡(jiǎn)稱案例4）：

案例4：一個(gè)口袋中有標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，4的4個(gè)球，除標(biāo)號(hào)外沒有其他差異.采用不放回方式從中任意摸球兩次.設(shè)事件A為“第一次摸出球的標(biāo)號(hào)小于3”，事件B為“第二次摸出球的標(biāo)號(hào)小于3”，那么事件A與事件B是否相互獨(dú)立？

至此不難發(fā)現(xiàn)命題專家用案例1中的“6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6” 等價(jià)置換案例2中的“一枚均勻骰子”;案例1中的“有放回地隨機(jī)抽取兩次”等價(jià)置換案例2中的“將一枚均勻骰子相繼投擲兩次”;案例1中的“第一次取出的球的數(shù)字是1”等價(jià)置換案例2中的“第一次擲出1點(diǎn)”;案例1中的“兩次取出球的數(shù)字之和為7”等價(jià)置換案例2中的“點(diǎn)數(shù)之和為7”.高考命題專家正是以案例2為“根”，將案例2與案例3、案例2與案例4“嫁接”，從而命制出案例1.無獨(dú)有偶，文＼[4＼]指出2018年全國高考數(shù)學(xué)卷Ⅰ理科12題就是以文＼[1＼]123頁例11為“根”，將例11中9個(gè)相關(guān)問題有機(jī)融為一體，從而命制出一道高質(zhì)量、高顏值的選擇題壓軸題，成為當(dāng)年高考數(shù)學(xué)試題的亮點(diǎn)之一.

案例1再一次有力地說明課程標(biāo)準(zhǔn)中的案例、教材中的例題、習(xí)題往往成為命題專家命制試題的“抓手”.正所謂“題在書外，根在書（課標(biāo)、教材）內(nèi)”.

然而，文＼[5＼]（舊課標(biāo)）自始至終沒有出現(xiàn)相關(guān)例題.更令人遺憾的是，文＼[6＼]（人教版舊教材）提出獨(dú)立性概念后也沒有出現(xiàn)判斷事件相互獨(dú)立性的例題，而是“跨越式”地直接給出了利用獨(dú)立事件概率乘法公式來計(jì)算的例題（即文＼[6＼]54頁例3）.僅僅在文＼[6＼]55頁的課后練習(xí)中“粗糙地”給出第1題（以下簡(jiǎn)稱案例5）.這是文＼[1＼]與文＼[5＼]（新舊課標(biāo)）、文＼[3＼]與文＼[6＼]（新舊教材）在“獨(dú)立性概念”上較為明顯的區(qū)別，從一個(gè)側(cè)面也說明文＼[5＼]、文＼[6＼]沒有足夠重視獨(dú)立性概念.從本質(zhì)上講，這也是文＼[5＼]、文＼[6＼]的瑕疵.以高考命題專家敏銳、犀利的目光，必然對(duì)課標(biāo)、教材的“缺陷”了然于胸.也許高考命題專家正是出于提醒一線教師關(guān)注新舊課標(biāo)、新舊教材在獨(dú)立性概念上的差異而特意命制案例1.

案例5：分別拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)“第1枚為正面”為事件A，“第2枚為正面” 為事件B，“2枚結(jié)果相同” 為事件C.A，B，C中哪兩個(gè)相互獨(dú)立？

上述案例5的訴求是“事件A，B，C中哪兩個(gè)相互獨(dú)立？”.一般來說這種設(shè)問語氣意味著事件A與B、事件B與C、事件C與A中既有獨(dú)立事件也有不獨(dú)立事件.事實(shí)上，事件A，B，C中任何兩個(gè)事件都是相互獨(dú)立的.由此說明上述案例5不盡人意，沒有完全達(dá)到辨析、鞏固、精致事件獨(dú)立性概念的目的.

4解鈴還須系鈴人——對(duì)比各類教材

查閱百度可知，“獨(dú)立”是指單獨(dú)的站立或者指關(guān)系上不依附、不隸屬，依靠自己的力量去做事情;“影響”是指以間接或無形的方式來作用或改變?nèi)嘶蚴碌男袨?、思?李邦河院士指出：“數(shù)學(xué)根本上是玩概念，不是玩技巧，技巧不足道也.”足以說明概念教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)舉足輕重的地位，教材具有權(quán)威性.“獨(dú)立事件”中的“獨(dú)立”“影響”在數(shù)學(xué)教材中又是如何界定呢？“獨(dú)立事件”概念在不同版本教材（含大學(xué)教材）中有何差異呢？

4.1以文＼[6＼]（人教版舊教材）為例

人教版舊教材將“事件的相互獨(dú)立性”概念編排在文＼[6＼]（選修）第二章“隨機(jī)變量及其分布”第2.2“二項(xiàng)分布及其應(yīng)用”第2.2.2“事件的相互獨(dú)立性”中.其中第2.2.1是“條件概率”.也就是說，文＼[6＼]不僅將“事件的相互獨(dú)立性”與“條件概率”都安排在選修教材中，而且將“事件的相互獨(dú)立性”安排在“條件概率”之后，即在“條件概率”的基礎(chǔ)上，經(jīng)過推理論證得到“獨(dú)立性”概念.

文＼[6＼]在54頁指出，由于事件A的發(fā)生不會(huì)影響事件B發(fā)生的概率，即

PBA=P（B）P（AB）=P（A）P（BA）=P（A）P（B）.

文＼[6＼]據(jù)此得到事件A與事件B相互獨(dú)立的定義：

設(shè)A，B為兩個(gè)事件，若P（AB）=P（A）P（B），則稱事件A與事件B相互獨(dú)立.同時(shí)指出，如果事件A與事件B相互獨(dú)立，那么事件A與，與B，與也都相互獨(dú)立.并將這些結(jié)論作為課后習(xí)題，安排在文＼[6＼]第55頁第4題.

人教版舊教材將“互斥事件”概念編排在文＼[7＼]（必修）第三章“概率”第3.1“隨機(jī)事件的概率”及第3.1.3 “概率的基本性質(zhì)”中.通過事件與集合對(duì)比引出交事件的概念.文＼[7＼]第119頁指出，若A∩B為不可能事件，那么稱事件A與B互斥.第120頁指出，如果事件A與B互斥，則P（A+B）=P（A）+P（B），即為互斥事件的概率加法公式.

評(píng)注教師不是教教材，而是用教材教，關(guān)鍵在于創(chuàng)造性使用教材.為何文＼[6＼]沒有像文＼[3＼]那樣給出相關(guān)鞏固例題呢？為何文＼[6＼]沒有像文＼[3＼]那樣重視獨(dú)立性概念呢？是文＼[6＼]“疏忽”嗎？其實(shí)，這不是文＼[6＼]編者“失誤”，而是文＼[6＼]的理念決定的.因?yàn)槲模躘6＼]將“獨(dú)立性”概念作為“條件概率”的“附屬品”，著重強(qiáng)調(diào)“條件概率”而有意弱化“獨(dú)立性”概念，這正是文＼[6＼]將“獨(dú)立性”概念安排在“條件概率”之后的原因所在.人教版舊教材將“獨(dú)立事件”安排在文＼[6＼]，“互斥事件”安排在文＼[7＼]，人為割裂了二者之間的關(guān)聯(lián)，致使不少教師誤以為“獨(dú)立事件”與“互斥事件”沒有任何關(guān)聯(lián).

4.2以文＼[3＼]（人教版新教材）為例

人教版新教材將“相互獨(dú)立事件”概念安排在文＼[3＼]（必修）第十章“概率”第10.2“事件的相互獨(dú)立性”中;將“條件概率”編排在文＼[8＼]（選擇性必修）第七章“隨機(jī)變量及其分布”第7.1“條件概率與全概率公式”中.

文＼[3＼]第10.1.1“有限樣本空間與隨機(jī)事件”第226頁提出樣本點(diǎn)、樣本空間（這是中學(xué)階段第一次明確提出“樣本空間”“樣本點(diǎn)”）等概念.第10.1.2“事件的關(guān)系和運(yùn)算”第231頁指出：一般地，如果事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生，也就是說事件A∩B是一個(gè)不可能事件，即A∩B=，則稱事件A與事件B互斥（或不相容）.第10.1.4“概率的基本性質(zhì)”第240頁指出：如果事件A與B互斥，那么P（A∪B）=P（A）+P（B），并將互斥事件的概率加法公式推廣到有限個(gè)事件.

文＼[3＼]第10.2“事件的相互獨(dú)立性”第247頁引入事件A與B相互獨(dú)立的定義：對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，如果P（AB）=P（A）P（B）成立，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立.同時(shí)通過“探究”欄目提出并證明了以下問題：如果事件A與事件B相互獨(dú)立，那么事件A與，與B，與是否相互獨(dú)立？

文＼[8＼]在第46頁指出，若事件A與B相互獨(dú)立時(shí)，則P（AB）=P（A）P（B），且P（A）>0，則

PBA=PABP（A）=P（A）P（B）P（A）=P（B）.

反之，若PBA=P（B），且P（A）>0，則

P（B）=PABP（A）P（AB）=P（A）P（B）.

即事件A與B相互獨(dú)立.

因此，當(dāng)P（A）>0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)事件A與B相互獨(dú)立時(shí)，有PBA=P（B）.

評(píng)注人教版舊教材將獨(dú)立事件安排在條件概率之后，而人教版新教材將獨(dú)立事件安排在條件概率之前，并用“反之”二字強(qiáng)調(diào)它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，這是人教版新舊教科書在“獨(dú)立事件”編排上最為顯著的變化.人教版新教材依據(jù)獨(dú)立事件的概念論證了事件A與B相互獨(dú)立等價(jià)于PBA=P（B），間接、隱約地暗示獨(dú)立性概念是一個(gè)充要條件，而人教版舊教材則沒有，這是人教版新舊教材又一個(gè)明顯的區(qū)別.此外，人教版新教材不僅將“互斥事件”與“獨(dú)立事件”都安排在必修教材，而且編排在相鄰兩節(jié)，足以看出新教材已經(jīng)關(guān)注到人教版舊教材的“不妥”，有利于師生構(gòu)建二者之間的網(wǎng)絡(luò)，這是新舊教材在二者內(nèi)容編排上的明顯變化.這些理應(yīng)引起一線教師的高度關(guān)注，這也許正是2021年高考命題專家命制案例1的另一個(gè)真正用意，借此警醒一線教師對(duì)比教材、研究教材，密切關(guān)注教材內(nèi)容編排次序的變化.

4.3以文＼[2＼]（蘇教版新教材）為例

蘇教版新教材將“事件的相互獨(dú)立性”概念編排在文＼[2＼]第十五章“概率”第15.3“互斥事件和獨(dú)立事件”中.文＼[2＼]第276頁給出事件A與事件B相互獨(dú)立的定義：一般地，如果事件A是否發(fā)生不影響事件B發(fā)生的概率，那么稱A，B為相互獨(dú)立事件.并給出以下結(jié)論：A，B相互獨(dú)立P（AB）=P（A）P（B）.

評(píng)注文＼[2＼]特意借助等價(jià)符號(hào)“”，更加明確、直白地指出了獨(dú)立性定義是一個(gè)充要條件命題.與此同時(shí)，文＼[2＼]通過第276頁的例4與第278頁的例6（即上述案例3）的詳細(xì)推理、計(jì)算，著重指出：“A，B獨(dú)立與否有時(shí)很難從直觀上作出判斷，唯有經(jīng)過概率之間的關(guān)系才可以作出理性而準(zhǔn)確的判斷.”這正是案例1失分的主要原因——考生僅憑經(jīng)驗(yàn)與直觀感知“影響”，由此也說明高考命題專家捏準(zhǔn)了考生的痛處.正如文＼[9＼]中強(qiáng)調(diào)：“事件M發(fā)生是否‘影響’事件N，不能僅僅從表面，不要以為事件N所含基本事件個(gè)數(shù)在表面上的減少就是受到了‘影響’”“當(dāng)總的基本事件個(gè)數(shù)減少（即樣本空間縮?。r(shí)，概率計(jì)算公式中分母變小，還應(yīng)該看到其分子同時(shí)也在相應(yīng)減少.當(dāng)分子、分母同時(shí)減少，只要其比值不變，我們就認(rèn)為是不受‘影響’，即認(rèn)為是獨(dú)立事件.”文＼[2＼]不僅拉近“互斥事件”與“獨(dú)立事件”的距離，而且直接將文＼[2＼]第15.3小節(jié)標(biāo)題命名為“互斥事件和獨(dú)立事件”，足以說明文＼[2＼]高度關(guān)注一線教師的困惑：“互斥事件”與“獨(dú)立事件”是否有關(guān)聯(lián)？關(guān)聯(lián)度由多大？于是文＼[2＼]特意在第278頁通過課堂鞏固練習(xí)的第1題（以下簡(jiǎn)稱案例6）達(dá)到“畫龍點(diǎn)精”的效果，將互斥事件、獨(dú)立事件的概念及互斥事件與獨(dú)立事件之間的關(guān)系刻畫得清清楚楚、明明白白.

案例6：下面的說法正確嗎？

（1）甲、乙、丙三人輪流拋擲一枚硬幣，甲拋擲的結(jié)果是正面，乙拋擲的結(jié)果也是正面，則丙拋擲的結(jié)果是正面的可能性很小.

（2）若A，B為互斥事件，則A，B必為相互獨(dú)立事件.

4.4以文＼[10＼]（大學(xué)教材）為例

大學(xué)教材將“事件的相互獨(dú)立性”概念編排在文＼[10＼]第21頁，其定義與文＼[6＼]完全相同，而且文＼[10＼]直接給出以下定理：

定理設(shè)A，B為兩個(gè)事件，P（A）>0，P（B）>0.若A，B相互獨(dú)立，則P（BA）=P（B）;反之亦然.

評(píng)注上述定理中特別加注“反之亦然”，明確無誤地指出上述定理逆命題也是成立的.即當(dāng)P（A）>0，P（B）>0，則事件A，B相互獨(dú)立P（AB）=P（A）P（B）.由此可以看出文＼[2＼]與文＼[10＼]都明白清楚地指出事件A，B相互獨(dú)立與P（AB）=P（A）P（B）具有等價(jià)性，既為判斷獨(dú)立事件提供了理論依據(jù)，同時(shí)也為判斷獨(dú)立事件指明了具體的操作步驟.我們呼吁人教版教材再版時(shí)能夠參照文＼[2＼]（蘇教版新教材）與文＼[10＼]（大學(xué)教材）.

5撥開云霧見天日——得到相關(guān)結(jié)論

結(jié)論1：事件A與事件B互斥A∩B=. 特別地，不可能事件與任意事件互斥，必然事件與不可能事件之外的任意事件均不互斥.

結(jié)論2：對(duì)于事件A與事件B，且P（A）>0，P（B）>0，若事件A與B互斥，則事件A與B不獨(dú)立.特別地，必然事件、不可能事件與任意事件都是相互獨(dú)立.

結(jié)論3：對(duì)于事件A與事件B，且P（A）>0，P（B）>0，則有事件A與B相互獨(dú)立P（AB）=P（A）P（B）P（B|A）=P（B）P（A|B）=P（A）P（B|）=P（B）P（A|）=P（A）.

評(píng)注借助結(jié)論1并通過集合運(yùn)算可以判斷是否為互斥事件.借助結(jié)論2可以快速判斷互斥事件與獨(dú)立事件之間的關(guān)聯(lián)，因?yàn)槭录嗀與B互斥，推出事件A與B不相互獨(dú)立;事件A與B相互獨(dú)立，推出事件A與B不互斥.結(jié)論3為判斷獨(dú)立事件提供了多種不同的路徑.

6橫看成嶺側(cè)成峰——列舉不同解法

對(duì)于上述案例1，為了便于敘述，不妨用E，F(xiàn)，G，H分別表示事件甲，事件乙，事件丙，事件丁.由題意可得，

樣本空間Ω={（m，n）|m，n∈{1，2，3，4，5，6}}，即n（Ω）=36;

事件E={（1，n）|n∈{1，2，3，4，5，6}}，即n（E）=6;

事件F={（m，2）|m∈{1，2，3，4，5，6}}，即n（F）=6;

事件G={（2，6），（6，2），（3，5），（5，3），（4，4）}，即n（G）=5;

事件H={（1，6），（6，1），（2，5），（5，2），（3，4），（4，3）}，即n（H）=6.

事件EG=，即n（EG）=0;事件EH={（1，6）}，即n（EH）=1;

事件FG={（6，2）}，即n（FG）=1;事件GH=，即n（GH）=0.

依據(jù)古典概型計(jì)算公式得到：

P（E）=n（E）n（Ω）=16， P（F）=n（F）n（Ω）=16，P（G）=n（G）n（Ω）=536， P（H）=n（H）n（Ω）=16，P（EG）=0，P（EH）=136，P（FG）=136，P（GH）=0.

解法1（直接公式法）由上述分析可得：

P（E）·P（G）≠P（EG），

P（E）·P（H）=P（EH），

P（F）·P（G）≠P（FG），

P（G）·P（H）≠P（GH）.

說明事件E與事件H相互獨(dú)立，即事件甲與事件丁相互獨(dú)立，故答案為B.

解法2（條件概率法）依據(jù)條件概率計(jì)算公式可得，PHE=P（EH）P（E）=n（EH）n（E）=16，P（H）=n（H）n（Ω）=636=16PHE=P（H）.

說明事件E發(fā)生沒有影響事件H發(fā)生的概率，即事件甲與丁相互獨(dú)立，故答案為B.

解法3（結(jié)論排除法）由于事件EG=，GH=，說明事件E與G互斥，事件G與H不獨(dú)立.依據(jù)前面的結(jié)論可知事件E與G不獨(dú)立，事件G與H不獨(dú)立，從而排除選擇支A與D.作為單選選擇題，選擇支B與C必有一個(gè)正確、一個(gè)錯(cuò)誤.由于事件EH與FG包含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)相同（均為1個(gè)），但是事件F與G包含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)不同，而事件E與H包含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)相同，說明事件E與H相對(duì)于事件F與G來說沒有受到“影響”，可以排除選擇支C，故答案為B.

解法4（“獨(dú)立”本源法）一方面，在事件E發(fā)生前提下，即E={（（1，n）|n∈{1，2，3，4，5，6}}，此時(shí)事件H即事件HE所包含的基本事件僅僅只有{（1，6）}，因此在事件E發(fā)生的前提下，事件H發(fā)生的概率為PHE=16;

另一方面，在E不發(fā)生的前提下，即={（m，n）|m∈{2，3，4，5，6}，n∈{1，2，3，4，5，6}}，表明包含30個(gè)基本事件，此時(shí)H即H包含5個(gè)基本事件：{（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）}，于是在E不發(fā)生前提下， H發(fā)生概率為PH=PHP=nHn=530=16，這就說明事件E不發(fā)生時(shí)，事件H發(fā)生的概率還是為16.說明事件E發(fā)生與不發(fā)生，事件H發(fā)生的概率恒為定值，這正是獨(dú)立性的本質(zhì)，即事件甲與丁相互獨(dú)立，故答案為B.

評(píng)注解法1直接套用公式，這是判斷獨(dú)立事件最基本的方法;解法2立足于條件概率，表明條件概率與獨(dú)立事件之間的內(nèi)在聯(lián)系;解法3借助結(jié)論，簡(jiǎn)潔快捷，適合選擇題，尤其單選題;解法4回歸獨(dú)立事件的本源，即一個(gè)事件發(fā)生與不發(fā)生，另一個(gè)事件發(fā)生的概率恒定不變.事實(shí)上，兩個(gè)事件相互獨(dú)立的本質(zhì)含義是其中一個(gè)事件的是否發(fā)生不會(huì)影響到另一個(gè)事件是否發(fā)生.值得特別說明的是，此處“其中一個(gè)事件的是否發(fā)生”包括這個(gè)事件發(fā)生與不發(fā)生兩種情況;“不會(huì)影響到另一個(gè)事件是否發(fā)生”真正含義是“一個(gè)事件的是否發(fā)生不會(huì)影響到另一個(gè)事件發(fā)生的概率（結(jié)果），而不是表面的現(xiàn)象（過程）”.

7一葉落知天下秋——提升專業(yè)素養(yǎng)

案例1考到了數(shù)學(xué)教學(xué)核心——樹立概念優(yōu)先原則，精致數(shù)學(xué)概念，追求數(shù)學(xué)概念的本質(zhì).案例1考到了概念教學(xué)弊端——長(zhǎng)期以來，用解題教學(xué)替代概念教學(xué)，概念教學(xué)嚴(yán)重異化為“一個(gè)定義、二項(xiàng)注意、三個(gè)例題、N個(gè)強(qiáng)化訓(xùn)練”.概念是數(shù)學(xué)的細(xì)胞，概念是思維的載體.數(shù)學(xué)概念是進(jìn)行推理、判斷、證明的依據(jù)，是構(gòu)建定理、法則、公式的基礎(chǔ).概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心環(huán)節(jié)，整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)體系是建立在概念基礎(chǔ)之上的.概念教學(xué)要求學(xué)生全程參與概念產(chǎn)生、生成過程，體驗(yàn)概念引入、發(fā)展、歸納及提煉歷程，讓學(xué)生在辨析概念基礎(chǔ)上鞏固、精致概念，在構(gòu)建概念動(dòng)態(tài)過程中理解、掌握、悟透概念特征與本質(zhì)，構(gòu)建魅力課堂，優(yōu)化思維品質(zhì)，激發(fā)創(chuàng)新意識(shí)及創(chuàng)造能力.案例1考到了數(shù)學(xué)教師痛處——對(duì)事件獨(dú)立性、互斥事件及條件概率等概念模糊不清，正如李勇與章建躍等專家在文＼[11＼]中憂心忡忡地警示：“通過調(diào)查研究以及收集的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明，縱使是處于金字塔頂部的重點(diǎn)高中數(shù)學(xué)教師，他們的概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)儲(chǔ)備嚴(yán)重不足，80%以上的教師對(duì)大部分概率統(tǒng)計(jì)基本概念的認(rèn)識(shí)都處于模糊狀態(tài)，理解深度不夠，缺乏用這些概念答疑解惑的能力，影響概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)的教學(xué)效果.”案例1考到了評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)——“一核、四層、四翼”，正如文＼[12＼]明確指出“價(jià)值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識(shí)為基”不僅是高考評(píng)價(jià)理念，更是日常教學(xué)依據(jù).

前事不忘后事之師.數(shù)學(xué)教學(xué)難就難在概念教學(xué).概念教學(xué)是一個(gè)艱辛、漫長(zhǎng)的過程.正如文＼[13＼]指出概念教學(xué)不僅要從正面（既可以是新授課，也可以復(fù)習(xí)課）闡述概念內(nèi)涵、外延等本質(zhì)屬性，同時(shí)不妨嘗試從反面（既可以是教材中的反例，也可以是失分嚴(yán)重的試題）案例中剖析概念，適當(dāng)?shù)?、有意識(shí)地在學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤后采取“事后補(bǔ)救”.如果把概念新授看作正面引領(lǐng)，倡導(dǎo)“懲前毖后”，那么“事后補(bǔ)救”就是反面糾正，實(shí)施“治病救人”.事實(shí)證明，借助對(duì)經(jīng)典高考試題（比如上述案例1）的深度研究，追蹤相關(guān)概念（比如獨(dú)立事件、互斥事件）在不同版本教材中的呈現(xiàn)（含不同版本的新舊教材、大學(xué)教學(xué)等），這也是倒逼教師厚實(shí)業(yè)務(wù)水平、提升專業(yè)素養(yǎng)的一種有效策略.

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作者簡(jiǎn)介王淼生（1966—），男，中學(xué)正高級(jí)教師，特級(jí)教師，“蘇步青數(shù)學(xué)教育獎(jiǎng)”一等獎(jiǎng)獲得者，第六屆全國教育科學(xué)研究?jī)?yōu)秀成果獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)獲得者，“福建省基礎(chǔ)教學(xué)成果獎(jiǎng)”特等獎(jiǎng)獲得者，中國數(shù)學(xué)奧林匹克高級(jí)教練，福建省高層次人才，廈門市拔尖人才，廈門市首屆名師工作室領(lǐng)銜人，廈門市卓越教師，廈門市專家型教師，廈門市杰出教師.