高考數列全國卷與浙江卷對比研究

朱成萬 王紅權

【摘要】2023年浙江高考將使用全國卷，全國卷與浙江卷差別很大，如何應對全國卷是迫切需要研究的問題.本文統計近5年浙江卷與全國卷（數列部分）的題量、分值及知識點，對它們進行系統地分析，并提出一些教學建議.

【關鍵詞】高考;全國卷;浙江卷;復習教學

浙江省自2004年自主命題以來，形成了自己獨特的風格，浙江教師的教學也形成了與之相應的教學套路.比如，浙江卷常常把數列作為壓軸題，考查數列與不等式的綜合，浙江教師的思維定式是“因為與不等式放縮結合，所以高考數列題很難”，教學中出現大量的難題偏題、甚至怪題，導致學生對數列望而生畏.2023年浙江省高考將使用全國卷，全國卷中的數列試題會有何特點？如何根據全國卷的特點來組織教學？這是迫切需要研究的問題.

本文研究近5年（2017年～2021年）高考數列試題，其中浙江卷5份全為文理合卷，全國卷16份全為理科卷，分析它們的異同，以期對教學有啟示作用.

1數列題量與分值對比分析

1.1題量、分值統計

下面統計近五年高考浙江卷、全國卷中數列的題量與分值.

1.2題量、分值分析

從表1可以看出，無論是浙江卷還是全國卷，數列均是高考必考內容，也是重點考查內容，在試卷中處于重要地位.

就題型與分值而言，兩者還是有差別的.浙江卷中數列的題量與分值相對穩定，每一年都有2題，分別為1道小題和1道大題，平均分值為19分.全國卷的題量與分值波動較大，題量有的試卷為1題（比如2017年卷Ⅰ），有的為3題（比如2020年卷Ⅱ）;有的只有小題（比如2017年卷Ⅱ），有的只有大題（比如2021年的甲卷與乙卷）;分值最低為5分，最高為17分，16份試卷中數列的平均分值為10.68，遠遠低于浙江卷的分值.

需要注意的是，近兩年的新高考試卷中數列的題量與分值與浙江卷接近.

2考查內容對比分析

2.1考查內容統計

《普通高中數學課程標準》對數列的學習要求是：“通過對日常生活中實際問題的分析，了解數列的概念;探索并掌握等差數列和等比數列的變化規律，建立通項公式和前n項和公式;能運用等差數列、等比數列解決簡單的實際問題和數學問題，感受數學模型的現實意義與應用;了解等差數列與一元一次函數、等比數列與指數函數的聯系，感受數列與函數的共性與差異，體會數學的整體性.”＼[1＼]

下面統計近5年數列內容在全國卷與浙江卷中的考查次數，以及對應的年份與題號.

2.2考查內容分析

基于以上統計，并深入地進行系統分析，從表2不難看出，高考對數列的考查，浙江卷與全國卷有以下幾個特點：

2.2.1浙江卷考點集中，全國卷考點分散

從表2可以看到，浙江卷的考查內容主要集中在3個方面：數列的通項，數列的和以及數列與不等式的綜合;全國卷的考查內容相對分散，涉及9個知識點，除數列的通項外，其余知識點的考查頻率、分布都比較均勻.

從考查內容看，兩者有一致的地方，也有不一致的地方.一致的是，數列的和與通項都是反復考查的重點內容，兩者都沒有考查數列與函數的綜合.不一致的是，全國卷多次考查等比數列求和，等差數列、等比數列的綜合，浙江從未考查;全國卷4次考查數列的應用，浙江卷從未考查;數列與不等式的綜合浙江卷考查了4次，而全國卷從未考查.

2.2.2兩者都注重對等差、等比基本概念和基本性質的考查

等差數列和等比數列是兩類最重要、最基本的特殊數列模型，是兩者同時考查的重點內容.表2中“等差數列的概念與性質、等差數列的和，等比數列的概念與性質、等比數列的和”4個欄目都屬于等差、等比基本概念和基本性質.全國卷共考查了19題，出現頻率為86%，浙江卷考查了3題，出現頻率為60%.可見，全國卷對這些基礎知識點的考查頻次高于浙江卷.

全國卷對數列的基本概念與性質的考查，題型可以分為三類：一是僅考查等差數列的基本量（a1，an，d，n，Sn），比如2019年全國卷Ⅰ理科第9題;二是僅考查等比數列的基本量（a1，an，q，n，Sn），比如2019年全國卷Ⅰ理科第14題;三是考查等差與等比的綜合，比如2017年全國卷Ⅲ理科第9題.

2.2.3浙江卷強調解題技巧，全國卷注重知識應用

浙江卷與全國卷對數列的考查側重點不同，對不同考點的取向不同，例如“數列與不等式”在浙江卷中作為壓軸題反復出現，而全國卷從未出現.數列不等式綜合題是以數列的通項、遞推公式、前 n 項和為載體，考查數列的構造、求和、等價轉化以及不等式放縮等，需要較強的解題技巧.例如2021年浙江卷第10題，該題作為選擇題的壓軸題，難度非常大，需從結構入手，將遞推關系進行放縮，其中放縮的方向，放縮的幅度都不容易看出.學生沒有經過類似訓練，沒有高超的解題技巧是做不出的.

全國卷強調數學的應用，例如2020年全國卷Ⅱ理科第4題，此題以北京天壇的圜丘壇為背景，將高考數學試題與中國古代文化相結合的考查形式，展現了文化自信，也體現了數學的應用價值.

可見，浙江卷對數列的考查更注重能力的培養，著眼于知識在數學內部的綜合應用，而全國卷在注重基礎的同時，強調聯系實際，著眼于知識在數學外部的綜合應用.

2.2.4從題目的難易看，浙江卷相對較難

題目的難易是相對的，而且很難量化，但是我們可以根據3∶5∶2的比例，按照題目出現的位置，將題目分成“易、中、難”三個層次.從表2可知，全國卷中數列試題的難度一般以容易題和中檔題為主.選擇題和填空題大致分為容易題、中檔題和難題;解答題則為容易題或中檔題（數列試題處于解答題的前三題的位置）.

相對而言，浙江卷中無論是小題還是解答題都較難， 5年中，小題有3次為選擇題壓軸題;2017年數列大題考查的是數列與不等式的綜合，作為壓軸題得分率較低，難度很大.2018—2021年數列大題編排在第20題，難度有所降低，但仍有一定的難度，特別是第2小問，并不容易解答.

3考查內容的理解

全國高考卷本著“一核、四層、四翼”的評價理念，注重學科特點，從學科思維價值和整體高度的角度出發，突出了數學知識的基礎性和綜合性，以數列的重點知識和主干知識為主體，著意數學知識運用的靈活性與創新性，將能力與素質融為一體，全面檢測了學生的數學學科核心素養.全國卷試題很好地檢測了學科素養的“學習掌握、實踐探索、思維方法”3個指標.

3.1注重基礎性，強調學習掌握

兩者都注重對數列的基本概念和基本性質的考查，體現了知識立意，旨在檢測學生的“學習掌握”情況.在這方面，兩者的表現方式是相同的：通過數列的基本量，考查數列基礎知識.

例1? （2019年全國卷Ⅰ理科題9）記Sn為等差數列{an}的前n項和.已知S4=0，a5=5，則（）.

A.an=2n-5B.an=3n-10

C. Sn =2n2-8nD. Sn =12n2-2n

分析本題考查等差數列的通項與數列的和，等差數列 {an}的通項公式、前 n 項和公式集中了等差數列的基本量（a1，an，d，n，Sn）之間的關系，體現了課程標準的要求“探索并掌握等差（比） 數列的變化規律，建立通項公式和前n項和公式.”該題是典型的“知三求二”問題，體現了方程思想，即根據已知量和未知量之間的等量關系，通過建立方程（組）求解.

浙江卷中也有類似的試題，比如2019年第20題的第（1）題，考查等差、等比數列的基本量、方程的思想及數學運算等核心素養.

3.2注重綜合性，著意實踐探索

兩者都強調對知識的綜合應用，試題以基本知識為載體，考查綜合能力，體現了能力立意，旨在檢測學生的“實踐探索”情況.在試題的表現形式上，兩者有一定的差別：浙江卷對數列的考查更注重能力的培養，著眼于知識在數學內部的綜合應用，而全國卷在注重基礎的同時，強調聯系實際，著眼于知識在數學外部的綜合應用.

例2（2021年浙江卷題9）已知a，b∈R，ab>0，函數f（x）=ax2+b（x∈R），若f（s-t），f（s），f（s+t）成等比數列，則平面上點（s，t）的軌跡是（）.

A.直線和圓B. 直線和橢圓

C. 直線和雙曲線 D. 直線和拋物線

分析該題在知識的交匯點處命題，將等比數列的概念、二次函數以及平面解析幾何等基本知識有機地融為一個整體，這是從學科的整體高度和思維價值的高度考查問題，能有效考查學生綜合運用知識的能力.

例3 （2021年新高考Ⅰ卷題16）某校學生在研究民間剪紙藝術時，發現剪紙時經常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規格為20dm×12dm的長方形紙，對折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm兩種規格的圖形，它們的面積之和S1=240dm2，對折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三種規格的圖形，它們的面積之和S2=180dm2，以此類推，則對折4次共可以得到不同規格圖形的種數為;如果對折n次，那么∑nk=1Sk= dm2.

分析該題以“民間剪紙藝術”為背景，綜合考查了數列的概念、數列的通項，數列的和、錯位相減等基本知識.題中給出前2次的對折結果，需要據此寫出第4次的結果，以及第n次的結果，這是一種歸納猜想的思想方法，也是解決實際問題的有效方法.在猜想出Sn=120（n+1）2n-1后，該題并未到此為止，而是繼續考查“錯位相減”求和的方法，即繼續考查綜合運用知識的能力.通過此題，引導學生的關注點從“解題”轉向“解決問題”，從“做題”轉向“做人做事”，考查學生綜合運用所學知識分析問題、解決問題的理性思維能力.

3.3強調靈活性，旨在思維方法

兩者都強調對知識的靈活運用，以檢測學生的思維方法.“思維方法是認知加工的關鍵構件，是個體在信息時代所必須具備的核心認知品質，也是未來社會人才所需要的終身素養”＼[2＼].在檢測思維方法方面，兩者的體現形式有所不同：浙江卷常常編制一些高難度的試題，以檢測學生的思維品質.而全國卷在創新的同時兼顧選擇性，常常編制一些“結構不良試題”，以檢測考生的關鍵能力和必備品格.

例4（2021年浙江卷題10）已知數列{an}滿足a1=1，an+1=an1+an（n∈N）.記數列{an}的前n項和為Sn，則（）.

A.32<S100<3B. 3<S100<4

C. 4<S100<92 D. 92<S100<5

分析該題是一道數列與不等式綜合的試題，常規的解法需要先對題中式子取倒數得：1an+1=1+anan=1an+1an，再放縮：1an+1an<1an+122，然后構造差結構得： 1an+1-1an<12，最后通過累加以及累乘得到an的范圍，從而估計S100的范圍. 從解答過程可知，該題技巧性非常強，對思維要求非常高，能較好地考查學生的思維品質.

例5 （2021年全國甲卷理科題18）已知數列{an}的各項均為正數，記Sn為{an}的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.

①數列{an}是等差數列：②數列{Sn}是等差數列;③a2=3a1.

分析該題是一道“結構不良”試題，若選①③作條件證明②：

因為a2=3a1，an是等差數列，所以公差d=a2-a1=2a1，有了首項和公差這兩個基本量，就可直接求其前n項和.此法思路比較自然，解法也較簡單.

若選②③作條件證明①：

設Sn=an+b（a>0），則Sn=an+b2=a2n2+2abn+b2，這里關鍵是對 “{Sn}是等差數列”的理解，從數列的通項與和的結構上看，通項可以寫成an=dn+b（一次函數），和可以寫成Sn=An2+Bn（二次函數不含常數項），由此得到b=0.

所以，對問題的理解不同，選擇就不同，解答過程就不同，體現的思維品質也就不同.所以，“選擇”本身也能檢測考生的思維方法和思維品質.

4教學建議

4.1聚焦全國卷，改變思維定式

從上面的分析可知，浙江卷與全國卷差別很大.浙江教師如果仍以浙江卷命題規律組織教學，那就很難應對將來全國卷高考.比如浙江卷反復考查的“數列與不等式的綜合”，題目思維量較大，有較大的難度，學生需要花較多的時間才能掌握，但是全國卷從不考此類題目，如果教師按照以往的思維定式，仍在該問題上花大力氣，那是費時、費力且性價比不高.

再比如，“數列的應用”是一個較難的問題，學生需要一定的訓練才能掌握.該內容全國卷經常出現，但浙江卷從不考.如果教師還是按照之前應對浙江卷的思路，不涉及該內容，那么學生在未來高考中遇到此類問題，一定會手足無措.

因此，浙江教師要以全國卷為導向，這樣復習教學才有針對性，才能在未來的高考中取得好成績.

4.2在核心知識上下功夫，注重基礎

高考對基礎知識的考查，既全面又突出重點.對支撐學科知識的重要內容，占有較大的比例，構成試卷的主體＼[3＼].數列是高中數學課程中的重要內容，在全國卷或浙江卷中都占有較多的分值.數列考查的核心是數列的通項與數列的和，等差數列與等比數列的基本概念.數列通項公式、數列的前n項和、等差數列的性質、等比數列的性質等，這些既是數列的核心內容，也是高考反復出現的高頻考點.教學時在這些內容上下功夫，既是掌握數列核心內容，高考取得好成績的必要條件，也是提升學生數學素養的良好載體.

4.3注重知識的應用，提升素養

“數列作為一種特殊的函數，是反映自然規律的基本數學模型.在日常生活中遇到的許多問題，如貸款、利率、折扣、人口增長、放射物質的衰變等都可以用等差數列或等比數列來刻畫”＼[4＼].全國高考試題通過聯系生產、生活實際的試題情境設計，將抽象的數學概念與實際生活相結合，要求學生運用數學知識、思想和方法對實際問題進行分析與研究，進而解決問題.教學時應以此為載體，培養學生的數學應用能力和應用意識，提升數學抽象和數學建模的素養.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017版）＼[M＼].北京：人民教育出版社，2018.

[2]中華人民共和國教育部考試中心.中國高考評價體系＼[M＼].北京：人民教育出版社，2021.8.

[3]中華人民共和國教育部考試中心. 2019年普通高等學校招生全國統一考試大綱·理科＼[M＼].北京：高等教育出版社，2018.

[4]章建躍，李增滬.普通高中教科書數學選擇性必修第二冊＼[M＼].北京：人民教育出版社，2020.

作者簡介朱成萬（1973—），男，安徽安慶人，中學高級教師，人民教育出版社教材培訓專家;主要研究數學教學;著有《至精至簡的高中數學思想與方法》等7部著作，發表論文100余篇.

王紅權（1970—），男，杭州市基礎教育研究室中學數學教研員，浙江省特級教師，中學高級教師.人教A版高中數學新課標教材核心作者，人教義務教育新課標教材修訂組核心成員，中國統計教育學會理事，浙江省數學會理事，浙江省教育學會中學數學分會常務理事;主要代表成果：《數學教師課堂教學行為理論與實踐研究》2016年浙江省基礎教育教學成果二等獎，《對高中數學空轉現象的探究》杭州市第七屆國家基礎教育課程改革優秀研究成果一等獎;主持浙江省、杭州市重點規劃課題10余項，參與國家社科、教育部重點課題3項，已在各類雜志發表論文100余篇.