運算發現規律 抽象建立模型

趙海涌 高晨霞 薛紅霞

編者按：《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中將“數學建模與數學探究”列為高中數學內容的四條主線之一，各版本新教材中都在落實這一精神，編寫了具體的教學內容. 例如，人教A版《普通高中教科書·數學》必修第一冊中，一方面，在適合的章節中適時貫徹這一精神，具體而言，有“冪函數”“指數函數的概念”“對數函數的概念”“三角函數的概念”“函數[y=Asinωx+φ]”等;另一方面，有專門的數學建模內容，即“數學建模：建立函數模型解決實際問題”. 函數建模應該怎樣去實施？這成為困惑一線教師的難題. 對于前者，關鍵是理解教材的立意，研讀配套的教師用書可以幫助教師很好地把握教學方向. 對于專門的數學建模活動，教師的操作空間則比較大，困難也比較多——如何選題？如何實施？如何寫教學設計？等等. 為此，我們進行了探索. 通過遴選，本期刊登4篇專題文章，后續將繼續擇優刊登，歡迎廣大讀者踴躍投稿！

摘? 要：“指數函數的概念”是一節典型的概念課，是實施數學建模的一個載體. 這節課概念的形成能更好地展示通過運算發現規律、抽象模型，圖象的研究展示了豐富的視角. 基于此，在教學實踐、反思的基礎上，改進完善，形成了新的教學設計，主要環節是：創設情境，分析數據，發現規律，抽象定義;利用模型，回歸情境，解決問題.

關鍵詞：數學建模;指數函數;概念課;發現規律;表達規律

函數是現代數學中最基本的概念，是描述客觀世界中變量關系和規律的最基本的數學語言和工具. 不同類型函數刻畫的變量關系和規律不盡相同：一次函數刻畫的是增加量（減少量）不變的規律;指數函數和對數函數刻畫的是增長率（衰減率）不變的規律. 人教A版《普通高中教科書·數學》必修第一冊（以下統稱“教材”）中指數函數概念的形成的內容非常完美地體現了這一點. 我們通過同課異構的方式對本節課進行了研討，并在實踐之后修改完善了教學設計.

一、教材分析

“指數函數”是教材第四章第2節的內容，是學習完函數的概念及性質和冪函數之后，又一次完整地用研究函數的一般思路來研究基本初等函數的具體體驗，“指數函數的概念”為本節的第1課時，主要通過實際問題建立模型，抽象出指數函數的概念. 結合《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）的要求和教學實際，確定本節課有以下幾個特點.

第一，概念的引入能更好地說明指數函數源于實踐. 考慮到多數高中生的認知特點，為了有助于他們對函數概念本質的理解，不妨從學生自己的生活經歷和實際問題入手. 因此，教材選擇從旅游人次變化、碳14衰減兩個材料中抽象出指數函數的概念，讓學生熟悉它的知識背景，初步感受指數函數是刻畫現實世界的又一重要數學模型. 這樣處理，可以使指數函數顯得不抽象，學生容易接受，降低了教學的起點.

第二，指數函數圖象的生成過程更加合理，給人一種水到渠成的感覺. 舊版教材通過描點、連線直接得到指數函數的圖象，這樣的處理方式雖然可以幫助學生接受這個事實，但是學生對圖象的認知是膚淺的. 這樣處理，存在著忽視知識的生成和認知過程而更關注應用的“功利”思想. 而教材則是通過繪制B地景區人數的散點圖，讓學生直觀感知指數函數的圖象，然后在練習中配以對應的練習題（課后練習1），再次讓學生感受指數函數圖象恒在x軸上方的事實，為下一課時的教學奠定了堅實的基礎. 這樣設計注重引導學生用從特殊到一般的方法探究指數函數圖象的形成過程，可以加深學生對指數函數的感性認知. 同時，借助計算機教學的輔助作用，增強學生的直觀感受.

第三，例題的設計側重實際應用. 舊版教材在得出指數函數概念后直接研究指數函數的圖象與性質，例題的選擇是類似比較大小等技巧性較大的問題，而教材抽象出指數函數的概念后，設計的例題為“如果平均每位游客出游一次可以給當地帶來1 000元門票之外的收入，A地景區門票價格為150元，比較這15年間A，B兩地收入變化情況”，強調數學建模的思想，并且關注學科之間的聯系，這種用意我們應予領會. 當然，這樣設計會導致學生在得出兩地收入函數解析式后利用數學語言表述實際問題上遇到一些麻煩，教師在教學時要注意引導.

總之，指數函數是繼冪函數之后的又一個重要初等函數，我們要以《標準》的基本理念為依據，針對學生的學習背景進行教學設計. 在學習冪函數的基礎上再次讓學生經歷研究一個新函數模型的基本過程：背景—概念—圖象和性質—應用.

二、教學目標

教學目標1：了解指數函數的實際背景，經歷借助信息技術手段研究旅游人次變化和碳14衰減變化的過程，進一步體會指數函數概念的抽象過程，發展學生的數學抽象和數學建模素養.

教學目標2：掌握指數函數的概念，經歷用指數函數概念解決簡單數學問題和實際問題的過程，提升學生的數學運算、邏輯推理、數學建模素養.

教學目標3：了解增長率、衰減率的概念，進一步理解指數增長或指數衰減的概念.

三、教學重點和難點

由不同情境通過數量和數量關系抽象出指數函數概念，并用數學語言予以表征，是這節課的教學重點，也是教學難點. 以數學運算為抓手，運用數形結合思想，引導學生利用信息技術手段分析，進而突破難點. 在抽象出指數函數的概念后，利用它處理實際問題是本節課的第二個教學重點和難點，應該充分運用數學運算和數形結合的思想方法，并通過信息技術的直觀操作來化解.

四、教學過程

1. 創設情境，分析數據，發現規律，抽象定義

情境1：隨著中國經濟高速增長，人民生活水平不斷提高，旅游成了越來越多家庭的重要生活方式. 由于旅游人數不斷增加，A，B兩地景區自2001年起采取了不同的應對措施，A地提高了門票價格，而B地則取消了景區門票. 表1給出了A，B兩地景區2001年至2015年的游客人次.

問題1：比較兩地景區游客人數的變化，你發現了怎樣的變化規律？

學生直觀感知：兩地游客人數逐年增加，但A地增加相對緩慢，B地增加要快.

【設計意圖】讓學生直觀感知數據的變化情況.

問題2：能用數學方法描述這種變化規律嗎？

師生通過信息技術手段完成兩地景區數據散點圖的制作. 在條件具備的情況下可以利用圖形計算器完成，也可以利用Excel軟件快速繪制. 如圖1，基于圖形學生可以非常直觀地發現A地景區數據散點圖趨近于一條直線，B地景區數據散點圖趨近于一條曲線.

【設計意圖】為了方便觀察，可以先根據表格中的數據描點. 這個問題是要引導學生作圖，然后通過圖象感知變化規律. 這是由數到形的一個過程，旨在培養學生基本的數學思想方法.

問題3：A地景區數據散點圖散落在一條直線周圍，你能用數量關系解釋這一直觀現象嗎？B地景區數據散點圖散落在一條曲線周圍，它又應該用什么數量關系進行合理的解釋？

A地景區數據散點圖散落在一條直線周圍，即說明每經過一年，A地增加的旅游人次大致相等，也就是說旅游人次的年增加量大致相等. 而B地景區數據散點圖散落在一條曲線周圍，也就是說B地景區旅游人次的年增加量與A地景區數據將會出現不同的變化規律.

師生活動：（1）借助信息技術手段快速計算A，B兩地景區數據的年增加量（如表2），發現A地景區數據的年增加量大致相等（約為10萬次）;（2）對于A地景區數據的年增加量大致相等，引導學生用函數解析式表示，并寫出經過x年后，A地景區旅游人次y的函數[y=10x+][600]. A地景區數據[→]差[→]增加量[→]一次函數 （線性增長）.

【設計意圖】問題2使學生實現了由數到形的轉變，問題3希望學生能用數量解釋幾何圖形的直觀現象，即由形到數，再次加強學生數形結合的基本思想.

問題4：由問題3的數據處理我們發現，B地景區數據的增加量不像A地景區數據的增加量那樣大致相等，而是越變越大，這仍然是定性刻畫. 要定量刻畫變化規律，就需要找到與A地景區數據中類似的常數（增加量）. 你能找到B地景區數據中這個不變的量嗎？

師生活動：做減法可以得到旅游人次的年增加量，做除法可以得出旅游人次的年增長率. 增加量和增長率是刻畫事物變化規律的兩個非常重要的量.

如表3，對于B地景區數據，從2002年起將每年的旅游人次除以上一年的旅游人次，可以發現[每年人次上一年人次≈][1.11.] 結果表明B地景區旅游人次的年增長率約為[0.11，] 為常數. 像這樣，增長率為常數的變化形式，我們稱為指數增長.

預設：可能有學生通過計算[年增長量上一年人次≈0.11，] 直接得出B地景區旅游人次的年增長率約為0.11.

B地景區的旅游人次近似于指數增長，你能模仿A地景區數據，寫出B地景區旅游人次y與經過的x年之間的函數關系式嗎？

[y=278×1.11x x≥0.] 這是一個函數，其中指數[x]是自變量.

【設計意圖】引導學生處理原始數據，分析數據，最終找到B地景區數據中的不變量. 這一過程以數學運算為抓手，充分利用信息技術構建出函數模型.

問題5：變量[y]的增長率為p，經過時間為[x，] 若[y]的原始值為1，你能建立[y]與x之間的函數模型嗎？

[y=1+px p>0.]

【設計意圖】構建增長率為常數的函數模型.

[B]地景區數據[→]商[→]增長率（常數）[→]新的函數[y=][1+px p>0]（指數函數）.

情境2：下川遺址位于沁水縣城西70公里的下川鄉，是一處舊石器時代晚期文化遺址，1970年發現，分布于中條山主峰歷山及其附近的陽城、沁水、垣曲三縣毗鄰的山岳地帶，縱橫二三十公里，以沁水縣下川地區保存較好，遺存最為豐富，故稱為“下川遺址”. 經碳14測定距今2.3萬年 ～ 1.6萬年.

【設計意圖】通過兩個不同的情境促進學生了解中國文化、關心社會問題，結合實際問題滲透愛國主義教育，發揮數學的育人功能，使立德樹人的教育理念落在實處.

問題6：當生物死亡后，它機體內原有的碳14含量會按確定的比率衰減（稱為衰減率），若衰減率為p，把剛死亡生物體內碳14含量理解為1，你能表示出死亡生物體內碳14含量y與死亡年數x之間的關系嗎？

[y=1-px 0

【設計意圖】構建衰減率為常數的函數模型.

衰減率（常數）[→]新的函數[y=1-px 0

問題7：科學家發現大約經過5 730年，生物體內的碳14含量為原來的一半，這個時間稱為半衰期. 你能求出p嗎？

學生活動：根據已知條件[1-p5 730=12，] 得[1-p=][1215 730.] 所以問題6中的函數可以改寫成[y=1215 730x.]

【設計意圖】給學生提供一個支架，降低學生建立函數模型的難度，提高學生的運算能力.

問題8：增長率為常數p時，我們建立的函數模型是[y=1+px p>0;] 衰減率為常數p時，我們建立的函數模型是[y=1-px 0

學生活動：當增長率為常數p時，[1+p>1，] 即[a>1;] 當衰減率為常數p時，[0<1-p<1，] 即[00]且[a≠1].

指數函數的概念：一般地，函數[y=ax]（[a>0]且[a≠1]）叫做指數函數，其中x為自變量，定義域為R.

教師點撥：（1）一次函數可以刻畫增加量（減少量）不變的變化規律，指數函數用來刻畫增長率（衰減率）不變的變化規律;（2）指數函數圖象一定在x軸上方;（3）增長率不變對應的函數單調遞增，衰減率不變對應的函數單調遞減.

【設計意圖】通過抽象過程幫助學生直觀感知指數函數的簡單性質，為下一課時的教學進行有效鋪墊.

2. 利用模型，回歸情境，解決問題

例1? 已知指數函數[fx=ax]（[a>0]且[a≠1]），且[f3=π，] 求[f0，f1，f-3]的值.

學生活動：師生合作完成，學生口述解題過程，教師板演.

【設計意圖】主要幫助學生處理三個問題：一是讓學生熟悉指數函數的解析式和對應關系. 二是讓學生學習利用函數解析式列方程求底數a的值. 這里可以引導學生與初中用待定系數法求一次函數和二次函數解析式做類比，也可以和前面情境2中衰減率p的確定做類比. 三是希望通過“學生口述、教師板演”的方法檢驗學生的掌握情況，同時提高學生答題的規范性.

例2? 在情境1中，如果平均每位游客出游一次可以給當地帶來1 000元門票之外的收入，A地景區門票價格為150元，比較這15年間A，B兩地景區的收入變化情況.

學生活動：（1）建立經過[x]年，游客分別給A，B兩地景區帶來的收入函數[fx，gx.]

由總收入 = 人均收入 × 人數 = 門票收入 + 其他收入，得[fx=1 15010x+600;gx=1 000×278×1.11x.]

（2）學生借助信息技術手段作出如圖2所示的兩個函數的圖象.

（3）通過圖象之間的聯系，描述15年間A，B兩地景區的收入變化情況.

【設計意圖】引入形如[y=kax k∈R，a>0且a≠1]的刻畫指數增長或指數衰減變化規律的函數模型. 當初始量不為1時，一般就用這種函數刻畫具有指數增長或指數衰減變化規律的實際問題. 通過函數圖象之間的聯系描述兩地景區的收入變化情況，可以加強學生用數學知識解決實際問題的能力，進而提高學生用數學語言描述實際問題的素養（數學建模素養），并提升學生的數形結合思想.

3. 限時訓練，鞏固方法，歸納小結

（1）限時訓練（6分鐘，根據時間把握訓練量）.

練習1：下列圖象中，有可能表示指數函數的是（? ? ）.

練習2：已知函數[fx=2a-1x]是指數函數，求[a]的取值范圍.

練習3：若[fx]是指數函數，[f2=2，] 則[fx=]? ? ? ? .

練習4：已知函數[fx=ax]（[a>0]且[a≠1]），且[f-32=39，] 則[f-2]的值為? ? ? ?.

根據時間安排，練習4可以作為課后作業. 限時訓練的前三道題目其實是三個維度的練習，其中練習1是圖象，練習2是概念，練習3是應用.

（2）課堂小結.

教師引導學生回顧本節課的學習內容，并回答如下問題.

① 指數函數的概念是什么？

② 指數函數的概念是如何抽象出來的？簡單描述抽象過程.

③ 本節課多次用到數形結合思想，你能否舉例說明？

④ 本節課在處理情境1時，對原始數據進行了簡單的處理，從中你學到了什么？

（3）布置作業.

作業1：閱讀思考教材第115頁的“放射性物質的衰減”.

作業2：教材第118頁習題4.2復習鞏固第1題和第2題，綜合運用第5題、第7題和第8題第（1）小題.

五、課后反思

1. 運算發現規律，抽象建立模型

本節課緊扣指數函數概念的生成進行設計，展開教學，主線清晰、重點突出，對教材的立意理解到位、把握得當. 主要表現在以下幾個方面.

一是在規律的發現過程中，利用了教材中設置的情境精心設計問題，從直觀感知到圖象表示再到用計算發現規律和用函數關系式表達規律.

二是變式問題，即衰減率不變問題的選擇恰當. 其既緊密結合本地資源，又緊扣本節課的主題. 建立模型的過程自然充實，基于增長率和衰減率得到的關系，抽象出不同研究對象之間的相同規律，進而得到指數函數.

三是對于定義的精致，充分利用了實際問題的意義，讓學生在具體的情境中理解了指數函數底數的取值范圍，發揮了具體實例的作用，使得理論與實例融為一體、相得益彰.

2. 創設合理情境，彰顯人文價值

《標準》指出，強調數學與生活及其他學科的聯系，提升學生應用數學解決實際問題的能力，同時注重數學文化的滲透;不斷引導學生感悟數學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值. 本節課教師創設兩地利用不同的旅游政策刺激經濟發展和下川遺址（該例子可以換為當地的文化遺產）兩個實際問題，體現了數學的應用價值，這樣不僅有利于學生更好地感受指數函數模型，而且促進了學生了解中國文化、了解國家的經濟發展、關心社會問題，使得數學的育人功能落在實處，彰顯了數學的人文價值.

3. 采用問題驅動，凸顯核心素養

本節課教師采用問題驅動的形式，將教學目標分解成8個小問題，通過設問的形式，為學生提供了思考的支架，降低了教學的難度、突破了教學的難點. 整節課學生經歷了“直觀感知—發現規律—數學表征—實際應用”的認知過程，不僅注重了新知識的生成過程，更為以后知識的發展做了非常好的鋪墊，這樣不僅展示了新概念的生成過程，更注重了知識的發展過程. 在此過程中，提升了學生的數學抽象、邏輯推理、數學運算和數學建模素養.

4. 重視信息技術，提高教學實效

信息技術的高速發展，不僅深刻影響著人類的生活方式和工作方式，而且深刻改變著人類的教育方式、學習方式，乃至思維方式.《標準》指出，要注重信息技術的運用，實現信息技術與數學課程的深度融合，提高教學的實效性. 本節課在A，B兩地景區采用不同政策后旅游人次的變化上，學生只能直觀感知人次在逐漸增多，具體到散點圖的繪制，增加量和增長率的計算，旅游人次的變化引起收入的變化等問題都是利用信息技術處理的，這樣不僅提高了課堂教學效率，更激發了學生的學習興趣.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2]張巍巍，常青，薛紅霞. 經歷數學建模過程? 積累數學活動經驗：“關于介質與距離對WiFi信號強弱的影響”教學設計與實踐[J]. 中國數學教育（高中版），2021（3）：36-42.