會質疑·重實證·講邏輯

晁豐成

摘? 要：在中學數學教學中，要努力地將批判性思維的生長滲透到學生的學習活動之中. 高中數學概念教學對發展學生思維有著非常重要的作用，是培養學生批判性思維的基本著力點. 概念教學應當聚焦“會質疑”“重實證”“講邏輯”三個環節，培養學生提出問題、尋找證據、合理論證的能力，進而提升他們的批判性思維能力水平.

關鍵詞：批判性思維;生長途徑;概念教學;實踐反思

批判性思維是創新思維的基礎，是一種通過理解、質疑、邏輯地考察論據和合理論證，決定應當相信什么或不應當相信什么的思維能力，是高階思維的代表形式. 中小學階段沒有開設批判性思維課程，批判性思維的訓練只能融入具體的學科學習中. 數學學科獨有的抽象性、嚴密性、系統化的特點決定了數學課堂是培養學生批判性思維的主陣地. 數學概念是數學知識的基礎，是數學思維存在和產生的基本形式. 如何在概念教學中精心設計問題，帶領學生從具體事實出發，通過“批判 + 反思”的方式，辨別出一類數學現象的共同屬性或本質特征，提升學生對數學本質的感知能力與批判性思維能力. 因此，非常有必要探索概念教學中批判性思維的生長途徑，以期更好地完成中學數學教育承載的“形成正確的價值觀念、必備品格和關鍵能力”的基本任務.

一、有關批判性思維教學

1. 批判性思維

批判性思維的代表人物約翰·杜威在著作《我們怎樣思維·經驗與教育》中，提出了“反省性思維”（Reflective Thinking）——批判性思維的模型. 在20世紀20年代到50年代，反省性思維被批判性思維取代. 20世紀90年代至今，批判性思維作為教育理念已經貫穿在國際教育的各個方面. 1990年，一個由46名批判性思維專家組成的國際小組發表了《批判性思維：一份專家一致同意的關于教育評估目標和指示的聲明》（以下簡稱《聲明》）.《聲明》指出，批判性思維是有目的的. 通過自我校準的思維判斷，它的技能核心包括六個維度：解釋、分析、評價、推論、說明和自我調節. 一個完整的批判性思維的過程包括理解主題論點、分析論證結構、澄清觀念意義、審察理由質量、評價推理關系、挖掘隱含假設、考察替代論證、綜合組織論證八個步驟. 隨著時代的發展，對批判性思維教學的研究逐漸深入，批判性思維的教學也逐步加強. 因為批判性思維是理性思維的高度體現，批判性思維的培養對于培養學生優良的思維品質與創造力具有重要意義，所以《普通高中課程標準（2017年版）》（以下簡稱《標準》）、高考、課堂改革都對學生批判性思維的培養提出了較高的要求.

2. 批判性思維教學現狀

長期以來，我國的主要教育模式是以知識傳授為核心的教學模式及與其配套的評價機制，學生只需“帶著眼睛、耳朵欣賞就夠了”，他們參與課堂的方式主要是記課堂筆記. 很多數學課堂最終異化為教師展示解題技術的舞臺，臺上教師滔滔不絕，臺下學生瞠目結舌，教師“唯我獨尊”、不容置疑的現象沉疴難愈. 這顯然與《標準》提出的通過高中數學課程的學習，學生能提高學習數學的興趣，增強學好數學的自信心，養成良好的數學學習習慣，發展自主學習的能力;樹立敢于質疑、善于思考、嚴謹求實的科學精神;不斷提高實踐能力，提升創新意識的要求不相匹配.

要培養具有批判性思維的學生，教師應該先成為一名真正的具有批判性思維的教師. 教師需要告別傳統的教學方式，讓課堂沒有標準答案，只有更好的答案. 通過教學讓學生不再迷信權威，敢于合理質疑;教會學生摒棄固有思維，學會包容接納. 教學設計要體現對學生批判性思維的培養，所設計的數學問題或者數學活動要突出引導作用，不僅要引導學生對數學問題進行思考辨析，提出疑問，嘗試給出解決方案，更要引導學生對問題的解決方案進行分析、比較，并嘗試解釋和證明. 只有這樣，批判性思維才能真正在高中數學教學中生根發芽，學生敢于批判、勤于動手、善于反思的關鍵能力才能得以發展. 中國科學院院士楊叔子認為，批判性思維能力是關于理性思考和創造性的核心能力，批判性思維教育是培養領軍人才的必要手段，沒有批判性思維教育就沒有真正的素質教育. 因此，我們需要加強批判性思維教學，以期滿足社會需要和個人發展需求，呼應時代的要求.

二、概念教學中批判性思維的生長途徑

1. 概念教學與批判性思維教學

數學課堂上，概念教學需要被擺在最重要的位置. 李邦河院士認為，數學的根本在于概念，而不在于技巧，一定程度上，數學技巧也是數學概念的一部分. 在概念教學中，教師要努力引導學生真實地參與到概念的形成過程中，帶領學生謹慎反思、辯證認知，在質疑、實證的過程中發現研究對象的本質屬性，從事物的具體背景中批判地抽象出一般規律和結構，并且用數學符號或者數學語言予以表征.

概念教學是批判性思維能力發展的重要環節和主要路徑，批判性思維教學要借助概念教學. 在概念的建構過程中，教師帶領學生提出數學問題，收集整理數學信息，最終形成解決問題的方案. 在解決問題的過程中，引領學生學會主動思考，理性質疑，審慎分析，增強學生的辯證思維能力. 在數學概念的建立過程中，鍛煉學生全面收集、系統整理、深入分析及有效整合資源的能力，引導學生逐步感悟、理解和運用批判性思維，并進行批判性思維實踐，獲得一定的批判性思維成果.

2. 例談概念教學中批判性思維的生長途徑

針對概念教學提出的“創設合適的問題情境，啟發學生思考，引導學生把握數學本質”的要求，我們提出，概念教學中批判性思維培養要聚焦三個環節——會質疑、重實證、講邏輯.

會質疑. 在了解知識的來源與背景的基礎上，帶領學生進行一系列真實的數學探究活動，引導學生在活動中分析背景材料，觀察對象特征，發現矛盾并提出原生態的數學問題，進而體會本節課的數學概念“學什么”.

重實證. 針對目前比較流行的“問題串導學”教學方式，讓思維從問題開始，思維活動又形成新的問題. 在解決問題的過程中，帶領學生親身實踐、收集信息、追蹤前因、評估證據，并有效地運用證據. 課堂上要求學生既有獨立的思考，又有相互協作，既有恰當的方法，又有合理的質疑. 概念在對話中因思考而深入，思維在思辨中因錘煉而升華. 在重實證的過程中培養學生求實與負責的態度，理解數學概念應該“怎樣學”.

講邏輯. 概念推廣有其內在思維邏輯（可以不言明，但需滲透），教學中需要準確把握教學中的知識邏輯和思維邏輯，并據此確立教學邏輯，從而在教學活動中揭示出所教授知識的本質，實現知識教學的教育價值. 概念教學的最終目的是帶領學生在思維上能夠理解概念，把握命題，進行歸納，展開推理并完整地構建論證，最終用圖形語言、文字語言或者符號語言合理表達論證結果. 本環節的最終目標是讓學生知道本節課的數學概念“學了有什么用”.

案例： 蘇教版《普通高中教科書·數學》必修第一冊“7.1.1 任意角”教學設計片斷.

環節1：會質疑.

問題1：如下圖，摩天輪的半徑為6 米，轉動一圈需6分鐘，從水平位置點[A]出發，逆時針轉動1分鐘，點[A]到達點[P]的位置，求線段[OA]旋轉形成的角度.

【設計意圖】提出“角”這一刻畫圓周運動的模型，引領學生對其概念進行了回憶和思考，為之后重新定義角給出了模型鋪墊. 通過摩天輪提出“點[P]的位置”這個數學問題，潛移默化中培養了學生用數學眼光觀察世界的能力. 學生通過親眼所見與實際分析，初步感受旋轉能夠產生角，產生認知矛盾，疑問凸顯，探求新知的欲望隨之產生.

問題2：摩天輪的半徑為6米，轉動一圈需6分鐘，從水平位置點[A]出發，逆時針轉動7分鐘到達點[P]的位置，求線段[OA]旋轉形成的角度.

【設計意圖】問題提出，引發學生思考初中所學角的定義的合理性，思考角的推廣的必要性. 疑問產生后，認知沖突或數學需求隨之出現，觸發學生對重新給出角的概念的必要性進行研判，初步理解旋轉能產生認識范圍之外的角.

問題3：摩天輪的半徑為6米，轉動一圈需6分鐘，從水平位置點[A]出發，已知[∠AOQ=90°]，試在圖中作出點[Q]的位置.

【設計意圖】在初步感受到“旋轉也能夠產生角”及“旋轉能產生認識范圍之外的角”的基礎上，帶領學生進行反思，不斷觀察、猜想、驗證合理性. 讓任意角概念中的兩個關鍵要素——“旋轉多少”與“旋轉方向”能夠自然地浮出水面.

基于對現實對象關系或數學邏輯結構的抽象產生認知沖突或認知需求進而引發質疑，是概念教學的必然要求. 會質疑的學生才能提出原生態的數學問題，這是“會質疑”的精髓所在，也是批判性思維的生長點. 在數學學習過程中，提出問題比解決問題更加重要.

環節2：重實證.

問題4：從上面這些實例中，我們發現原有的角的范圍太小，不能很好地區別生活中的一些不同現象，所以需要對角重新定義，擴大范圍. 那么，如何重新定義角更加合理呢？

【設計意圖】為了解決存在的沖突和需求，我們推廣了角的概念，但是仍需對其進行檢驗或論證，探索概念生成的合理性，這不僅是數學問題研究的過程，更是一種理性思維精神，是一種敢于質疑、善于思考、嚴謹求實的科學精神.

以下是學生展示.

定義改造1：一個角可以看作平面內一條射線，繞著它的端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形. 其中射線的端點稱為角的頂點，射線旋轉的開始位置和終止位置分別稱為角的始邊和終邊.

【評價】將角的定義改造為旋轉角（區分始邊和終邊，引進帶箭頭的螺旋線）可以解除角的大小范圍的限制，改造結果符合概念推廣的基本要義，即遵循基礎、增加元素、適當擴容. 在合理質疑的基礎上，從問題出發，結合之前學習的角的定義，進行合理改造和推理，初步給出角的推廣.

定義改造2：按逆時針方向旋轉所形成的角叫做正角，按順時針方向旋轉所形成的角叫做負角. 如果射線沒有作任何旋轉，那么也把它看成一個角，叫做零角.

【評價】數學概念的建立往往有一個不斷深化完善的過程，將角的推廣分解為兩個步驟就是體現過程意識，在慢中求悟，此時數學概念悄悄地在實證中產生. 為了有效刻畫現實中的各種角，數學意義上的角不僅需要區分大小也需要辨明方向.

教學中，將“角的推廣”的機會留給學生完成，讓他們自己尋找證據，并將發現的證據合理組織、表達，然后將新概念納入已有的認知系統. 找證據的過程就是批判性思維發生、發展的過程.

環節3：講邏輯.

問題5：畫出下列度數的角：[45°，210°，-450°，]并嘗試總結出畫一個角所需要關注的要素.

【設計意圖】引導學生進一步理解任意角概念中的要素——頂點、始邊、旋轉方向、旋轉量，使學生對角的認知得以重新架構，也為問題6做出鋪墊.

問題6：大家在確定角時，如果一個角的頂點、始邊確定后，要確定角的終邊，只需要確定終邊上不同于頂點的另一個點（因為角的終邊是一條射線），我們有什么工具來準確定位終邊上的“點”？

【設計意圖】沒有將角放入平面直角坐標系之前，同樣度數的角畫出后形狀各異，相同度數的角區分也十分困難，從而引出在平面直角坐標系中表示角的必要性.

問題7：（1）在平面直角坐標系中表示任意角，角的頂點如何放置更加合理、方便？

（2）角的終邊所在位置可能有哪些情況？談談你的想法.

（3）在平面直角坐標系中，動手畫出下列角，并注明分別是第幾象限角：[-50°，210°，450°，-450°].

【設計意圖】學生通過探究、討論、交流得出在平面直角坐標系下表示角帶來的方便和優勢，并通過具體畫圖切實感受象限角的概念.

數學概念的學習就是理解概念的內涵與外延（即含義與范圍），進而形成自己的觀點. 在數學概念學習過程中，需要通過批判性思考來檢驗自己觀點的合理性，進而用數學語言表達出來. 教學時，教師要引導學生在分析、綜合、概括等認知活動的基礎上，運用證據和邏輯對問題進行思考和論證，養成用辯證的思維思考問題的良好習慣.

三、立足學科教學，讓批判性思維自然生長

部分教師認為，考試對“任意角”內容要求不高，這部分內容也沒有非常抽象的數學概念和比較困難的數學習題. 因此，在教學時對這部分內容一帶而過. 這樣做的后果就是學生對“為什么要推廣角的概念”“任意角與‘周而復始’現象有著怎樣的關聯”“任意角為何要放置于平面直角坐標系中研究”等問題都一知半解. 而以上問題恰恰是學生質疑、提問、論證、說明、反思、校正的真實載體. 概念教學必須要解決以下三個問題：會質疑，讓學生體會概念產生的必要性，在概念生成的過程中學會數學語言的提煉與表述;重實證，讓學生在豐富的感性思維的基礎上，去粗取精，積極尋找證據，理解概念的合理性;講邏輯，提煉建構新概念的一般過程與原則，發展學生的科學精神和創新精神.

“會質疑”是新概念納入已有認識系統的開始. 正確的質疑是批判性思維的外在表現，學生對教師的某些講解、教材上某些知識的理性質疑，能夠增強他們對數學學科的自信，有利于發揮其主體地位，進行主動思考. 在組織教學時，教師應盡可能為學生提供表達、解釋自己觀點的機會，允許他們在關鍵節點上提出自己的問題.

“重實證”是概念學習的重要方法和主要過程. 問題是數學的心臟. 在學生提出原生態的數學問題后，概念教學過程就轉變為解決數學問題、形成數學結果的過程，這就需要教師帶領學生通過獨立或者合作的方式，對已有的知識與方法進行全面收集、系統整理、深入分析及有效整合，讓數學概念通過數學證據自然生長出來，而不是憑空產生.

“講邏輯”是實事求是的科學態度和求真精神. 培養學生在解決問題過程中的自我反思能力，如反省自己對問題的理解是否恰當、對問題的分析是否準確、解題思路是否可行、解決方法是否可靠等，并且在問題解決之后，反思問題的解決過程，汲取教訓，總結與積累解決問題的一般方法，最終養成思考問題全面、分析問題審慎、用事實說話的思維習慣，培養學生細心、周密的思維品質.

在概念教學中，批判性思維的生長是一種經歷，一種體驗，一種感悟，一種升華. 教師應該深挖概念教學的內涵和外延，前后聯系，結合《標準》提出的“樹立敢于質疑、善于思考、嚴謹求實的科學精神”的學習要求，根據學生的知識現狀、認識水平、心理特征，精心打磨數學問題，設計數學活動，引導學生參與探究，讓批判性思維自然生長.

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