“函數”單元結構化教學設計

張嘉玲

摘? 要：單元結構化教學有助于學生理清知識的內在關聯，培養學生的數學學科核心素養，養成解決問題的一般規律. 明確“函數”單元結構，掌握學生認知基礎，圍繞數學學科核心素養，用結構化的觀點進行“函數”單元的教學設計. 從具體到具體，形成研究具體函數的一般路徑;從具體到抽象，探索函數的本質特征;從一般到具體，培養學生用函數解決問題的能力，體現“函數”單元結構化教學的系統性、聯系性和發展性原則.

關鍵詞：結構化教學;單元教學設計;函數

隨著新版教材的實施和推廣，高中數學教學應該從全局觀、大局觀、聯系觀的角度出發，設計符合學生認知發展規律的課堂教學. 獲得的知識如果沒有完美的結構聯系在一起，則多半會被遺忘. 為了避免學生所習得的知識碎片化，以結構化的觀點進行單元教學設計，重組教學內容，重視數學知識之間的內在聯系，促進學習的可持續發展. 從整體的角度來認識數學知識，從聯系的觀點剖析數學本質，更有利于學生建立數學知識結構，探尋解決數學問題的一般規律，提升數學學科核心素養. 用結構化的觀點，對“函數”單元進行整體分析，形成“函數”單元教學的一般路徑.

一、單元結構化教學設計的含義

單元教學設計是從某一單元（章節）或者某部分適合組織在一起的知識出發，綜合利用各種教學方法和教學策略進行的教學設計，以讓學生通過這一階段的學習完成相對完整的知識單元的學習. 結構化教學就是從整體的角度，以聯系的觀點和促進發展的目的進行課堂教學. 單元結構化教學設計就是用整體觀、聯系觀和發展觀進行單元教學設計，突出大概念、大單元的思想，單元結構化教學的核心是促進學生完善知識體系，引導學生發展思維，促進學生養成能力.

二、“函數”單元結構化教學設計的意義

函數是高中數學的核心內容，它的重要性不僅在于知識本身，更在于其中蘊涵的豐富的數學思想，與其他數學知識聯系緊密. 例如，用函數思想求解方程與不等式，用函數觀點解釋數列及求解析幾何中的距離問題等. 函數內容豐富、思想深遠，奠定了其在數學中的重要地位. 以結構化視角，將數學知識建立從點狀到結構、從局部到整體的聯系，更有利于學生的數學學習.

“函數”單元結構化教學的意義重大. 首先，從整體看局部，有助于理清知識之間的內在關聯. 以宏觀的角度把握函數知識的脈絡，建立知識結構圖，起到統籌全局、運籌帷幄的效果. 其次，從內部看聯系，有助于培養學生的數學學科核心素養. 教師就如同方向標，指引學生學習函數單元知識，聚焦局部問題之間的關聯，通過內部的結構化學習，形成數學學習方法和數學思想. 最后，從局部看整體，有助于形成解決問題的一般規律，使學生學會用函數思想解決問題，培養學生的數學建模素養，使學生的能力得到進一步升華.

三、“函數”單元結構化教學設計的原則

在整體觀引領下，用聯系的觀點和發展的眼光，以函數的某個主題為教學主線進行的教學設計，應該遵循系統性、聯系性和發展性原則. 函數貫穿于小學、初中、高中的數學學習，隨著學生知識結構與認知能力的發展，其對函數的認識不斷完善. 因此，需要關注函數的核心內容，重視函數知識的系統性和發展性. 對于函數的內部知識結構，既要關注函數知識間的內部聯系，也要關注函數知識與其他數學知識之間的聯系，重視函數的應用，以及函數在其他學科的輻射意義. 函數單元的教學，重在啟發學生的思維發展，引導學生從具體到一般、從一般到應用，掌握研究問題的一般規律，形成解決問題的一般方法.

四、“函數”單元的整體結構化分析

1. 整體看教材，明確函數單元結構

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中明確指出，函數的內容包括：函數概念與性質，冪函數、指數函數、對數函數，三角函數，函數應用. 滬教版《普通高中教科書·數學》必修第一冊，對函數內容進行了調整，將函數內容分為兩個部分：第四章“冪函數、指數函數與對數函數”，研究函數的定義、圖象、性質;第五章“函數”，包含函數、函數的基本性質、函數的應用、反函數（選學）. 將冪函數、指數函數、對數函數內容前置，再引出函數的概念、性質和圖象，最后為函數的應用. 遵循了“具體函數—函數—函數的應用”的教學主線，是一種數學思想的引領，幫助學生掌握研究函數的一般規律.“函數”單元的知識結構如圖1所示.

本單元的總體設計，是從特殊到一般，再從一般到特殊的過程，幫助學生進行概括與抽象、探究與實踐，符合學生的認知發展規律. 從冪函數、指數函數、對數函數這三類具體的初等函數入手，研究其概念、圖象及性質. 函數相關概念及性質的學習延續了具體函數學習的一般歷程，對具體函數中的共性進行歸納概括，提煉出函數的一般概念，培養學生的數學抽象素養. 使學生學會用函數圖象和代數運算研究函數的性質，了解其蘊含的規律，為研究一般函數的性質和圖象打好基礎，培養學生的邏輯推理和直觀想象素養. 在現實問題中，能利用函數模型解決問題，體現了數學的應用價值，培養了學生的數學建模素養.

2. 掌握學情，明確學生認知基礎

學生是課堂學習的主體. 作為教學活動的組織者和引導者，教師需要明確教學內容和教學目標，并基于學生的學習基礎開展有效教學. 認知發展共有四個階段：感知運動階段、前運算階段、具體運算階段和形式運算階段. 高一學生正處于形式運算階段，對事物的理解傾向于具體形象，具有一定的抽象概括能力. 本單元的學習，前有冪運算、指數運算、對數運算的基礎，也有初中學習的具體函數為基礎，教學設計應該結合學生認知發展的特點，關注學生的思維形成過程，發展學生智力. 以起點為基點，分析學生的思維形式、思維方式和思維過程，從學生的視角入手找到學生思維的難點. 從特殊到一般、從具體到抽象、從現象到本質，再從一般到具體、從本質到應用進行整體教學設計，使每位學生都獲得發展.

3. 圍繞核心素養，確定單元教學重點和教學難點

函數是描述客觀世界中變量關系和規律最為基本的數學語言和工具，在解決實際問題中發揮著重要作用，是貫穿高中數學課程的主線. 通過學生的生活背景，以具體的初等函數引入課題，使學生感知數學來源于生活、應用于生活，激發學生對數學文化的認同感，潤物細無聲地發揮數學的育人作用. 用描點法作具體函數的圖象，歸納、總結函數圖象的性質，并用代數方法研究函數的性質，逐漸形成研究具體函數的一般路徑. 歸納、完善函數的概念及性質，學會用集合語言和對應關系理解函數，初步體會用代數運算和函數圖象解釋函數的主要性質. 利用函數的思想構造模型，讓學生經歷發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的過程，解決簡單的數學問題和實際問題. 在函數單元的學習中形成數學抽象、直觀想象、數學建模、邏輯推理等素養，最終達到會用數學眼光觀察世界、會用數學思維思考世界、會用數學語言表達世界.

五、“函數”單元結構化教學設計的案例分析

1. 從具體到具體，形成研究具體函數的一般路徑

冪函數、指數函數、對數函數的教學具有共性，都是以具體函數為載體，幫助學生發現、總結、歸納、證明函數的相關性質，為接下來學習函數的概念及性質奠定基礎，可以形成研究具體函數的教學路徑. 以“冪函數”教學為例（預計2課時），其主要內容包括冪函數的定義與圖象，冪函數的性質.

（1）教學目標分析.

從學生生活實際中發現冪函數，從具體函數中總結、提煉冪函數的概念，用描點法作冪函數的圖象，從特殊到一般，歸納冪函數的圖象特征，并用代數方法證明冪函數的性質. 學會運用冪函數的圖象及性質比較大小、求解不等式、作具體函數圖象. 初步體會圖象與代數運算是研究函數性質的重要方法，為研究函數及函數的性質提供一個基本途徑.

（2）教學方法分析.

對于冪函數的圖象與性質，從學生熟悉的生活問題入手構建冪函數模型，幫助學生感受用函數描述客觀世界事物的變化規律，感受冪函數模型在生活中的廣泛應用，提升學生的數學建模素養. 采用從特殊到一般的方法進行概括與抽象，讓學生經歷從具體到抽象、從幾何直觀到代數證明的過程，體會運用圖象與代數運算是研究函數性質的一般方法，為下一階段函數圖象、性質及應用的探究奠定基礎.

（3）教學環節分析.

設計7個教學環節：直觀感知、形成概念、明確概念、繪制圖象、研究性質、應用探究、結構概念.

環節1：直觀感知.

從生活實例發現數學問題：橘子每千克1元，購買[x]千克需支付[y]元;正方形面積為[x]，邊長為[y];神舟十一號載人飛船飛行1千米花了[x]秒，平均速度為[y]千米 / 秒. 將[y]表示成關于[x]的函數，直觀感知、歸納總結出冪函數的共同特征，感受數學的魅力，滲透愛國主義教育.

環節2：形成概念.

由直觀感知，引導學生歸納冪函數的形式特征，形成冪函數的概念，提高學生的數學語言表達能力，使他們學會用數學語言表達世界.

環節3：明確概念.

考慮到學生的學習能力差異，通過概念辨析進一步幫助學生理解概念，明確冪函數的形式特點，理解具體符號和變量的意義.

環節4：繪制圖象.

在同一平面直角坐標系中作函數[y=x12，y=x3，y=][x-2]的圖象，通過描點法作圖，觀察、總結函數圖象的幾何特征，學會用代數方法證明性質. 初步體會數形結合思想，培養學生的直觀想象素養，為研究一般函數的性質提供一般化路徑.

環節5：研究性質.

通過具體函數的圖象和性質，總結冪函數在第一象限內的圖象和性質，啟發學生用代數方法證明函數性質，培養學生從具體到抽象的歸納能力，提高學生的數學抽象素養.

環節6：應用探究.

構造冪函數比較大小，如[1.3243]與[-243];已知[a-3-3<1+2a-3]，求實數[a]的取值范圍;對于函數[y=x-1x-2，] 利用函數性質作圖. 在解決問題的過程中培養學生的數學建模素養，引領學生感悟數學的應用價值.

環節7：結構概念.

引導學生根據所學內容，建構屬于自己的數學知識結構圖或思想方法結構圖，師生共同建構認知結構圖如圖2所示.

2. 從具體到抽象，探索函數概念的本質特征

學習函數的概念及函數的基本性質，是一種從具體到抽象的過程. 例如，對于函數及函數的表示方法，可以設計教學主線如圖3所示.

（1）教學目標分析.

從生活實際和具體函數中感知數學的實際價值，在初中用變量之間依賴關系描述函數的基礎上，進一步用集合語言和對應關系來刻畫函數，建立完整的函數概念，滲透化歸思想. 了解構成函數的幾個要素，能夠根據不同的需要用圖象法、列表法、解析法表示函數，通過具體實例了解函數的分段表示法，能在簡單情形下求函數的定義域，理解函數圖象的意義. 了解函數概念的形成與發展，體會數學知識的來之不易，達成立德樹人的育人目標.

（2）教學方法分析.

學習函數的過程，經歷了小學、初中、高中，函數概念的學習從模糊到清晰、從樸素到深入，與歷史上函數概念的形成與發展過程類似，符合學生的認知發展規律. 本單元重在對具體函數中的共性進行歸納，提煉出函數的一般概念，是數學抽象素養的具體體現. 能夠用代數運算和函數圖象揭示函數的主要性質，體現了數形結合思想，培養了直觀想象素養. 教學過程中，從具體到抽象，再回到具體的過程，培養了學生的數學抽象素養.

（3）教學環節分析.

設計6個教學環節：情境引入、形成概念、明確概念、概念辨析、概念應用、歷史回眸.

環節1：情境引入.

分別以生活實例和具體函數作為引入情境，如噴泉的水柱高度和時間的對應關系;吉林一號衛星的速度和燃料質量的對應關系;天氣預報中溫度和時刻的對應關系. 感知數學的實際價值，培養學生的數學建模素養.

環節2：形成概念.

由具體函數歸納函數的概念，學會用集合語言和對應關系完善函數的概念，挖掘概念的表現到本質，體現系統性原則，培養學生歸納、總結的能力，提高學生的數學表達能力，滲透化歸思想，培養學生的數學抽象素養.

環節3：明確概念.

進一步理解概念，抓住概念的本質，逐步形成探究事物的一般規律. 從函數的概念中提煉函數的兩個要素——定義域、解析式，進而確定函數的值域. 結合情境中的生活實例，總結函數的表示方法——解析法、列表法、圖象法，體現聯系性原則.

環節4：概念辨析.

圍繞概念設計簡單問題，辨析函數的概念，了解函數圖象的作用;會判斷兩個函數是否為同一函數，如[fx=xx]與[gx=1，x>0，-1，x<0.] 了解函數的分段表示法.

環節5：概念應用.

圍繞函數的概念，幫助學生解決函數的相關問題，會求函數的定義域和解析式，理解函數值的意義，提高學生解決數學問題的能力，培養學生的數學運算素養. 會作具體函數的圖象，利用代數運算總結函數的性質，運用圖形特征檢驗函數的性質，形成數學直觀素養. 在解決問題的過程中進行單元小結，整理出整節課數學知識、數學方法、核心素養的脈絡.

環節6：歷史回眸.

介紹函數概念的形成與發展，讓學生從函數的歷史由來感知函數概念的形成是從模糊到清晰、從樸素到深入的逐漸完善的過程，也是人們認識事物的一般規律. 了解函數概念的發展歷史，對于更好地理解函數概念有很大幫助.

3. 從一般到具體，培養學生解決數學問題的能力

學生通過函數單元的學習，體驗從一般到具體、用函數思想解決現實世界中的變量關系，探尋現實生活中變與不變的規律，提升解決實際問題的能力. 以用函數觀點求解方程與不等式、用二分法求函數的零點為例，設計函數應用的教學路徑如圖4所示.

（1）教學目標分析.

理解函數模型是描述客觀世界中變量關系和規律的重要數學語言和工具. 在實際情境中，會選擇合適的函數模型刻畫現實問題中有關量的變化規律. 了解函數的零點與方程的解的關系. 在簡單的教學情形下，能借助函數的性質求解方程與不等式，能借助函數的圖象解釋求解的過程. 了解連續函數的零點存在性定理，理解用二分法求方程近似解的思想及算法.

（2）教學方法分析.

學會用函數的觀點求解方程與不等式，探究函數、方程、不等式之間的內在聯系，培養學生的函數思想和數學轉化能力，在解決問題的過程中提升學生的數學建模、數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學運算素養. 函數的應用中蘊含了三條主線，分別是數學知識主線、數學思想方法主線和解決數學問題主線. 引導學生會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界.

（3）教學環節分析.

設計5個教學環節：問題導入、理論背景、思想提煉、應用探究、結構升華.

環節1：問題導入.

以簡單的數學問題導入，用函數觀點解不等式[x-12-1>0.] 將不等式[fx>0]的解用函數的觀點轉化為函數[y=fx]的圖象位于[y>0]部分的所有點的橫坐標，關注函數[y=fx]的零點，即方程[fx=0]的解.

環節2：理論背景.

解釋其理論背景，探究函數、方程、不等式之間的內在聯系，明確函數的零點、方程的解、函數圖象的交點之間的關系，了解零點存在性定理，理解二分法. 提煉解決一類問題的知識基礎，闡明關聯，體現聯系性原則.

環節3：思想提煉.

提煉數學思想，用函數的觀點求解方程與不等式，用函數的圖象解釋求解的過程. 理解函數模型是描述客觀世界中變量關系和規律的一個重要數學語言和工具. 函數思想與方程思想本質上揭示了運動和靜止的萬物規律，分析和研究數學中的數量關系，建立函數關系或構造函數，用函數的圖象及其性質去分析問題、轉化問題，從而解決問題.

環節4：應用探究.

用函數的觀點求解方程問題及不等式問題. 例如，用函數的觀點證明方程[x3+2x+1=100]不存在整數解;用函數的觀點解不等式[2x+log2x≥2.] 培養學生的函數思想及數學轉化能力，在解決問題的過程中提升學生的數學建模、數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學運算素養. 探尋函數、方程、不等式之間的相互聯系，揭示變與不變之間相互依存、相互轉化的規律. 對學有余力的學生進行思維拓展訓練：若方程[x4+ax-4=0]的各個實根[x1，x2，…，xk k≤4]所對應的點[xi， 4xi i=1，2，…，k]均在直線[y=x]的同側，求實數[a]的取值范圍.

環節5：結構升華.

在數學知識、數學思想、問題解決的主線中，通過小組合作學習，引導學生掌握數學知識，促進思維發展，探尋事物變化的規律，形成數學思想和數學方法. 幫助學生逐步形成對函數本質的認識，學會用函數的觀點解決實際問題，提升數學學科核心素養.

六、結束語

“函數”單元的結構化教學，是以系統性、聯系性、發展性為指導原則，以函數的某一個主題為教學單元，關注數學知識之間的內在聯系，注重學生的思維養成，重視學生的能力發展，形成解決問題的一般規律. 學生心中有結構，便能形成獨立的學習架構;教師心中有結構，便能系統地指導學生發展，啟發學生用數學眼光探索未知世界，開闊視野、豐富見識.

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