三角函數概念與數學學科核心素養的關系

趙四

摘? 要：分析具體數學內容與數學學科核心素養的關系是達成數學學科核心素養的有效方式. 數學“四基”是學生形成和發展數學學科核心素養的有效載體，數學史是理解“四基”內涵和關系的線索. 基于數學發生、發展的視角，以三角函數的概念為抓手，分析數學“四基”與數學學科核心素養的結合點，建構數學史與數學“四基”的關系，形成分析具體數學內容與數學學科核心素養關系的一般模式.

關鍵詞：三角函數;核心素養;“四基”

《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《標準》）指出數學學科核心素養包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析. 數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗（統稱“四基”）是支撐數學學科核心素養培養的基礎. 在實際教學中，讓學生形成和發展數學學科核心素養需要將數學內容與數學學科核心素養進行有機結合.

三角函數作為中學初等函數的重要內容，是溝通初等數學與高等數學的橋梁，以三角函數為研究對象具有重要意義. 以發生、發展的觀點運用數學史，能消解學生通向數學理解的認知障礙，幫助教師理解學生的學習心理，準確把握教學的重點、難點和關鍵點. 本文基于數學發生、發展的視角，剖析三角函數概念的“四基”模塊與數學學科核心素養的關系，提出一個分析具體數學內容與數學學科核心素養關系的模式，以期為一線教師有效開展基于核心素養培養的數學教學提供參考.

本文主要圍繞以下問題展開：從數學發生、發展的視角，理解三角函數概念的本質，理解教材的編寫意圖;三角函數概念中蘊含的“四基”與數學學科核心素養的關系如何;數學史與數學“四基”的關系.

一、三角函數概念的本質

歷史相似性原理表明，數學概念的歷史發展過程與學生的認知過程存在一定的相似性. 本文以人教A版《普通高中教科書·數學》（以下統稱“新教材”）必修第一冊第五章“三角函數”為例，從數學發生、發展的角度出發，理解三角函數概念的本質，領會教材編寫意圖.

1. 三角函數的歷史回溯

早期的三角學與天文學密不可分，古希臘天文學家希帕恰斯（Hipparchus，公元前2世紀）、梅內勞斯（Menelaus，1世紀）和托勒密（Ptolemy，2世紀）相繼制作了弦表，相當于計算半角正弦的兩倍. 印度數學家阿耶波多（Aryabhata，476—550）默認曲線和直線可以用同一單位，這正是弧度制的精髓. 他計算的半弦相當于現在的正弦線.

德國數學家雷格蒙塔努斯（Regiomontanus，1436—1476）于1464年完成《論各種三角形》一書，這部著作標志著三角學從天文學中獨立出來. 哥白尼的學生雷蒂庫斯（Rheticus，1514—1576）把弧的正弦改成了銳角的正弦，把三角函數定義為直角三角形的邊長之比，從而使平面三角學從球面三角學中獨立出來.

法國大數學家韋達（Viete，1540—1603）是第一個將代數方法系統地應用到三角學中的數學家. 自此，三角學開始呈現出現代解析的性質. 大約在1729年，歐拉（Euler，1707—1783）發展了用三角級數表示函數的理論，函數的思想成了三角學和分析的組成部分. 正弦不再是線段，而是變成了數值或比值，是單位圓上點的縱坐標. 在《無窮小分析引論》一書中，歐拉給出了與現代形式非常相似的三角函數名稱，引入了任意角和弧度制，弄清楚了三角函數的周期性. 從此，三角學從靜態地研究三角形解法的狹隘天地中解放出來，去反映現實世界中一切可用三角函數來反映的運動或變化過程，使三角學成為具有現代特征的一門學科.

三角函數的發展歷史表明人類認識數學概念具有“漸進性”. 以數學發生、發展的視角分析教材編寫的邏輯，能深入理解教材編寫意圖.

2. 三角函數教材編寫意圖

《標準》延續了《普通高中數學課程標準（實驗）》的要求，三角函數占據了初等函數的主導地位，但是在具體內容的編排上發生了變化. 為了全面理解三角函數概念的本質，對比人教A版《普通高中課程標準實驗教科書·數學》（以下統稱“舊教材”）與新教材中的“章引言”，以及作為預備知識的“任意角與弧度制”“三角函數的概念”等內容，以便領會新教材的編寫意圖.

（1）章引言.

新教材延續了舊教材的編排風格，在每章的起始安排有章引言. 兩版教材的章引言都以現實世界的許多運動變化都具有“周期性”引入，在素材選取上涉及天文、物理等與生活息息相關的例子，點明本章的研究對象. 在方法的引導上，新、舊教材有明顯差異，主要體現在新教材更注重體現從一般函數到特殊函數研究方法的沿襲，體現出研究一個數學對象的基本套路，根據研究對象的特點確定合適的類比對象，構建研究路徑.

（2）任意角與弧度制.

新教材在這一小節的引言部分通過常見的周期性變化現象——圓周運動，自然引出要刻畫圓周上點的運動，要先擴大角的范圍，表明引入任意角概念的目的. 舊教材直接定義任意角，沒有體現出引入任意角的必要性.

兩版教材在處理角的運算意義上也有明顯不同. 與舊教材相比，新教材將角的運算賦予明顯的幾何意義，為后續兩角差的余弦公式的推導做好了鋪墊.

兩版教材都引入了象限角的概念. 象限角便于看出角的“周而復始”的變化規律，進而利用任意角、直角坐標系刻畫周期變化現象.

為了定義三角函數，還需要引入“用長度量角”的弧度制. 從弧度制產生的歷史來看，弧度制的思想萌芽出現在阿耶波多統一弧長與半徑單位的工作中. 托勒密意識到度量弧長與弦長應采用相同的長度單位，他將圓周分為360等份，每一份是一個單位，然后取[π]的近似值為3，得到半徑是60個單位. 1 000多年后，現代的弧度制才由歐拉提出，1748年他主張以半徑為單位來度量弧長. 這一時間跨度之久，足以說明歷史上弧度制思想產生的困難性. 舊教材直接給出弧度制定義的方式會影響學生對弧度制的認知，使得學生對弧度制產生的必要性與合理性不甚了解.

從歷史發生、發展的角度來看，角度制與弧度制的共同點都是要等分圓周，只不過把圓周分成360等份是歷史形成的一種規定，而用弧度制把整個圓周分成[2π]等份，這是一種客觀規律，更科學、合理. 為體現這種客觀規律，新教材從學生初中學過的弧長公式出發，探索圓心角、弧長和半徑之間的關系，發現圓心角由圓心角所對弧長和半徑的比值唯一確定，由此體會引入弧度制的合理性，理解弧度制的本質是用線段長度度量角的大小.

（3）三角函數的概念.

現代三角函數的定義在18世紀才由歐拉提出，使得三角函數不再只是關注三角形中的計算問題，而是將關注的焦點更多地放在函數關系上. 舊教材在平面直角坐標系中用終邊上的點的坐標表示銳角三角函數，引出用單位圓定義任意角的三角函數. 本意是想反映韋達、歐拉等人的觀點，強調函數的思想. 但從銳角三角函數引入，容易把任意角的三角函數理解成銳角三角函數的推廣，破壞三角函數概念發生、發展過程的完整性. 教師如果對三角函數的歷史不夠了解，教學時就無法揭露三角函數是反映周期性現象的函數模型這一本質，在后續三角函數的性質和三角公式的運算等內容的教學時，容易忽視單位圓這一工具的作用.

從三角學的發生、發展可見，銳角三角函數和任意角三角函數研究的現象不同，表現的性質也不同，我們既不能把任意角三角函數看成銳角三角函數的推廣（或一般化），也不能把銳角三角函數看成任意角三角函數在銳角范圍內的“限定”.

為了突出三角函數的本質，與舊教材相比，新教材在順序上有所調整. 調整后的順序為：特殊角終邊與單位圓的交點坐標—任意角終邊與單位圓交點坐標唯一確定—單位圓上的點的坐標表示任意角的三角函數—銳角三角函數與任意角三角函數的關系. 這樣編排更能體現三角函數的本質，同時考慮到了學生的心理邏輯. 三角函數作為一類特殊的函數，與學生已有認知結構中的其他函數不同，以往所學指數函數、對數函數和冪函數是代數運算規律的反映，但三角函數是幾何量之間的直接對應. 新教材引導學生去認識給定一個角，終邊與單位圓交點的坐標是唯一確定的，由此破除以往對“對應關系”的思維定勢.

綜合以上分析，新教材更加注重三角函數概念的形成過程，注重概念教學從“事實”到“概念”的路徑，讓學生經歷“背景—研究對象—對應關系的本質—定義”的過程，有效構建刻畫周期性現象的三角函數模型.

二、基于數學發生、發展視角的數學“四基”與數學學科核心素養

數學“四基”是學生形成和發展數學學科核心素養的有效載體. 每一種素養，都是學生在一堂堂數學課的學習中逐步積累形成的，由某些知識、技能、思想和數學活動經驗構成. 分析三角函數概念的“四基”構成，及與數學學科核心素養的關系，是將數學學科核心素養培養落到實處的有效方式.

1. 三角函數概念的“四基”構成

張奠宙教授認為，“四基”的基本形式應該是一個三維模塊：數學基礎知識的積累過程、數學基本技能的演練過程、數學基本思想的形成過程，數學基本活動經驗是填充在這個三維模塊中間的“黏合劑”. 三角函數的概念這一內容屬于概念性綜合模塊，是包含“四基”的綜合模塊.

（1）基礎知識.

數學基礎知識主要指數學中的概念、法則、性質、公式、公理、定理，以及由其內容所反映出來的一些具體方法. 學生在學習三角函數概念時應具備以下基礎知識：作為認知基礎的知識有函數的一般概念、表示和性質，平面幾何中圓的知識和基本性質;作為預備知識的知識有任意角和弧度制;作為三角函數本質特征與內在聯系的知識有三角函數的概念、表示和性質，以及銳角三角函數的概念. 三角函數概念的基礎知識結構如圖1所示.

（2）基本技能、基本思想和基本活動經驗.

數學基本技能主要是指能夠按照一定的程序與步驟進行熟練操作的數學行為和本領;數學基本思想是指對數學及其對象、數學概念和數學結構及數學方法的本質性認識;數學基本活動經驗是指學生通過親身經歷數學活動過程，所獲得的具有個體特征的經驗.

數學家斯托里亞爾認為，數學教學應該是數學活動的教學. 教師在教學中要注意精心安排數學活動，使學生在探究三角函數概念的活動中，逐漸領會三角函數出現的必然性、合理性和重要意義. 三角函數的發生、發展啟發我們，在三角函數概念的教學中，要讓學生經歷“觀察豐富的周期性現象—抽象出三角函數的研究對象—理解三角函數的對應關系—獲得三角函數的定義”的過程.

學生經歷上述過程，可以形成觀察、聯想和抽象的能力. 通過類比一般函數的研究過程，以及如何用某類函數刻畫現實事物的變化規律，形成提出問題、分析問題的能力.

在平面直角坐標系中研究單位圓上點的運動，探索其中涉及的幾何量，并分析這些幾何量的相互關系，獲得對應關系并抽象出三角函數概念. 學生只有親身經歷這一數學化的活動過程，才能從根本上理解三角函數的對應關系，加深對函數概念本質的理解，獲得抽象現實世界的變化規律和構建刻畫規律的函數模型的經驗，感悟抽象和建模等基本思想.

2. 三角函數概念的“四基”與數學學科核心素養的關系

數學學科核心素養是數學“四基”的繼承和發展，“四基”是形成和發展數學學科核心素養的有效載體. 也就是說，“四基”中蘊含著形成和發展數學學科核心素養的“密碼”，而如何解構“四基”中蘊含的這些“密碼”是落實數學學科核心素養的關鍵.

數學概念的獲得依賴人的抽象思維，通過三角函數概念的教學能培養學生的數學抽象素養.

三角函數是刻畫周期現象的函數模型，教學中應以豐富的現實情境引入，然后引導學生將周期性現象簡化為圓周運動. 學生在觀察和聯想的過程中提出問題、探究規律，并用數學語言描述，構建三角函數模型，形成并發展學生的數學建模素養.

在平面直角坐標系中分析涉及的幾何元素及它們之間的關系，從而領會三角函數的對應關系是幾何元素的直接對應. 在動手操作和抽象思維的共同作用下，學生發現單位圓上點的坐標由圓心角唯一確定，形成三角函數的定義. 因此，三角函數概念的形成過程發展了學生的直觀想象素養.

三角函數概念中蘊涵豐富的數學思想. 首先，三角函數作為一類函數，自然蘊涵有對應思想、符號表示思想和函數思想等. 其次，三角函數概念的形成過程，涉及類比、轉化等思想. 從三角函數的發生、發展來看，三角函數概念的形成經歷了幾千年的時間，飽含著很多數學家的智慧，教學中應該讓學生得到數學文化的浸潤.

以上分析，突出了三角函數概念的“四基”模塊與數學學科核心素養的結合點. 從豐富的周期性現象中，通過直觀想象、數學抽象獲得三角函數的研究對象;根據研究對象的特點構建研究路徑，通過一系列推理活動發現和提出數學問題;借助直觀想象，構建刻畫周期性現象的數學模型，獲得三角函數概念.

3. 數學史與數學“四基”的關系

數學“四基”是“雙基”內涵豐富、發展和分化的結果. 在2014年首屆華人數學教育會議上，蘇明強在其論文《數學“四基”的內涵、關系與應用》中表明，數學“四基”是一個不可分割的整體，它們是相輔相成、和諧統一、螺旋遞進的關系. 他用如圖2所示的關系表示數學“四基”的內部關系.

本文在以上模型和張奠宙教授所給出的數學“四基”三維模型的基礎上，以數學的發生、發展為線索，重新整合數學“四基”的關系，并挖掘出數學史在探求“四基”內涵和關系中的作用.

以數學的發生、發展為線索，更能理清數學“四基”的內涵與關系.“四基”中的數學基礎知識可以從以下三個方面來理解：一是學生的認知基礎，這是考慮學生的心理邏輯，將學習建立在學生的認知基礎之上;二是預備知識，即學習這一內容要做哪些準備;三是知識的本質特征與內在聯系.

通過研究數學的發生、發展過程可以為以上三個方面提供依據. 以三角函數概念為例，從歷史發展來看，早期三角學主要關注計算，而現代的三角函數更注重函數關系，其本質是刻畫周期性現象的函數模型. 根據歷史相似性原理，可從前人的學習和研究經驗中，體察學生的學習困難，理解學生的認知基礎，進而指導教師設計符合學生認知規律的數學活動. 為研究圓周運動而引入任意角和弧度制，這是三角函數概念的預備知識.

數學史是聯系數學“四基”的橋梁. 以三角函數概念為例，對數學史的挖掘可以讓我們理解三角函數的本質，幫助構建學習“四基”的路徑. 要學習三角函數，先要引入作為預備知識的任意角和弧度制. 在函數觀點的引領下，類比一般函數的學習，全面認識三角函數的本質特征. 同時，發展學生用圖形進行表征的能力，使學生能從符號、代數表達式和圖象等多方面深刻理解三角函數的概念.

從以上對三角函數概念“四基”的分析可以發現，教師在設計數學活動時，應遵循數學發生、發展的規律，思考如何構建數學活動才能讓學生領會相應內容出現的必然性與合理性，理解數學內容的本質. 數學史與數學“四基”的關系如圖3所示.

三、總結

本文以三角函數的概念為抓手，基于數學發生、發展的視角，理解數學內容的本質，從而理解教材的編寫意圖. 以數學的發生、發展為線索，理清數學“四基”的內涵與關系，依靠數學“四基”模塊的建構，分析其中所蘊涵的數學學科核心素養，挖掘數學內容與數學學科核心素養的結合點.

學生通過經歷數學活動，在獲得知識和技能的同時，積累數學活動經驗，感悟數學思想，從而達到形成和發展數學學科核心素養的目標. 這為分析具體數學內容與數學學科核心素養的關系提供了一般模式. 數學內容與數學學科核心素養的關系分析示意圖如圖4所示.

在教學中，充分利用數學發生、發展的觀點，有助于教師找到分析數學內容的切入點，理解數學內容的本質和學生的學習心理，進而創設更適合學生學習的教學情境，將學術形態的數學知識轉化為教學形態的數學知識.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數學課程標準（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]教育部基礎教育課程教材專家工作委員會.《普通高中數學課程標準（2017年版）》解讀[M]. 北京：高等教育出版社，2018.

[3]徐章韜. 面向教學的數學知識：基于數學發生發展的視角[M]. 北京：科學出版社，2013.

[4]汪曉勤. HPM：數學史與數學教育[M]. 北京：科學出版社，2017.

[5]章建躍. 為什么用單位圓上點的坐標定義任意角的三角函數[J]. 數學通報，2007，46（1）：15-18.

[6]伊萊·馬奧爾. 三角之美：邊邊角角的趣事[M]. 曹雪林，邊曉娜，譯. 北京：人民郵電出版社，2010.

[7]汪曉勤，韓祥臨. 中學數學中的數學史[M]. 北京：科學出版社，2002.

[8]章建躍，程海奎. 高中必修課程中概率的教材設計和教學思考：兼談“數學學科核心素養如何落地”[J]. 課程·教材·教法，2017，37（5）：27-33.

[9]項武義. 基礎幾何學[M]. 北京：人民教育出版社，2004.

[10]章建躍. 數學抽象：從背景到概念再到結構：兼談人教A版教材的數學問題創新設計[J]. 中國數學教育（高中版），2019（12）：8-15.

[11]程靖，鮑建生.“四基”：中國特色數學教育體系的核心理念[J]. 數學教育學報，2019，28（3）：2-6.

[12]張奠宙，鄭振初.“四基”數學模塊教學的構建：兼談數學思想方法的教學[J]. 數學教育學報，2011，20（5）：16-19.

[13]娜仁格日樂，史寧中. 數學學科核心素養與初中數學內容之間的關系[J]. 東北師大學報（哲學社會科學版），2019（6）：118-124.

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