四自由度機械臂目標抓取軌跡規(guī)劃的研究

劉馳，田成軍，史俊，楊捷

（長春理工大學 電子信息工程學院，長春 130022）

目前機械臂在制造業(yè)中得到廣泛應用，而制造業(yè)自動化的要求越來越高，因此對機械臂自主抓取的工作精度和運動平穩(wěn)度的要求也越來越高［1］。目前對抓取作業(yè)機器人的研究主要在怎么使它基于目標位置，準確地規(guī)劃出空間路徑，并且連續(xù)且穩(wěn)定地沿著路徑運動。其中利用拋物線、多項式以及不同曲線相結合的算法是主流的機械臂軌跡規(guī)劃算法［2］。趙智勇等人［3］對Dobot機器人進行了正運動學和逆運動學分析建模，并采用五階樣條曲線進行軌跡規(guī)劃，為機器人的實際應用提供了相應的理論依據(jù)。李楊等人［4］采用五次多項式插值方法在機械臂的關節(jié)空間進行軌跡規(guī)劃，并給出了機械臂的工作空間范圍。由于五次樣條算法相對簡單，運算量小，因此在實際工程中比較常用，但是關節(jié)位移比較大，容易造成機械臂的振動和沖擊，影響機械臂工作的平穩(wěn)性，是該算法應用的局限性［5］。張蕾［6］提出采用七次樣條曲線插值方法在關節(jié)空間進行軌跡規(guī)劃，結果表明穩(wěn)定性優(yōu)于五次樣條曲線插值方法。

本文以四自由度機器人Open-Manipulator為對象，利用Matlab中的Robotics Toolbox工具箱建立了機械臂模型，并根據(jù)抓取功能需求進行運動學分析；采用七次樣條曲線方法在關節(jié)空間對目標抓取過程進行軌跡規(guī)劃，并在Matlab中進行建模仿真，結果表明，機器人軌跡規(guī)劃滿足應用需求，能夠對目標準確地抓取，且機械臂運動能保持平穩(wěn)，該研究為Open-Manipulator機器人進一步研究提供了相應的理論依據(jù)。

1 Open-Manipulator機器人的運動學分析

1.1 Open-Manipulator機器人結構模型

一個串聯(lián)的機械臂通常被看作由一系列被稱為連桿的剛體組合而成，這些連桿由關節(jié)進行有機地連接。Open-Manipulator機械臂共有五個關節(jié)，都是旋轉關節(jié)，但是關節(jié)5只能控制夾爪開合，并不改變末端執(zhí)行器的位姿，因此Open-Manipulator為4R模型。Open-Manipulator機械臂的本體結構如圖1所示。

圖1 open-manipulator機械臂本體結構

根據(jù)圖1中機械臂的本體結構，采用改進的D-H表示法［7］，可建立坐標系的簡化圖，如圖2所示。

圖2 open-manipulator機械臂的連桿坐標系

根據(jù)圖2中的機械臂連桿坐標系，可得出機械臂的各個關節(jié)角、連桿偏移、連桿長度和連桿轉角參數(shù)，如表1所示。表1中，各個連桿參數(shù)分別為d1=77 mm，a2=135 mm，a3=124 mm，α1=pi/2。抓取動作是橫向抓取，可使夾爪始終與水平面平行，來提高運動學求解的效率和準確度，因此可得：

表1 四自由度機械臂D-H參數(shù)表

表1中，i表示機器人的各個關節(jié)；θi表示以Zi軸方向看，Xi-1和Xi之間的夾角（也稱關節(jié)角）；di表示沿著Zi方向看，Xi-1和Xi之間的距離（也稱連桿偏移）；ai-1表示沿著Xi-1方向看，Zi-1和Zi之間的距離（也稱連桿長度）；αi-1表示以Xi-1方向看，Zi-1和Zi之間的夾角（也稱連桿轉角）。

1.2 Open-Manipulator正運動學求解

根據(jù)改進的D-H參數(shù)轉換法則，由表1中的數(shù)據(jù)可得各坐標系齊次變換矩陣分別為：

將式（2）中的矩陣相乘，得機器人末端執(zhí)行器坐標系和基座坐標系之間的轉換關系為：

1.3 Open-Manipulator逆運動學求解

機械臂的逆運動學求解表示給定機器人末端執(zhí)行器相對于參考坐標系的期望位姿，求解所需的機械臂各個關節(jié)角［9］。將Open-Manipulator機械臂各連桿之間的齊次變換矩陣相乘，可得到末端執(zhí)行器相對于基座的位姿方程為：

由式（3）和式（4）相等，可得：

令式（6）兩邊矩陣元素（2，4）分別對應相等，得pycosθ1-pxsinθ1=0，從而可求得：

令式（6）兩邊矩陣元素（1，4）和（3，4）分別對應相等，得：

令式（8）方程兩邊平方之后相加，整理得：

由式（9）和反三角函數(shù)可求出θ3。

將式（8）展開，并整理得：

由式（10）進一步求得：

因此，根據(jù)期望點的位姿可由式（7）、式（9）、式（11）和式（12）求出各個關節(jié)角θ1～θ4。

2 Open-Manipulator機械臂軌跡規(guī)劃

軌跡規(guī)劃分為笛卡爾空間軌跡規(guī)劃和關節(jié)空間軌跡規(guī)劃［10］。關節(jié)空間軌跡規(guī)劃計算量比較小，實時性更強，常用的為基于多項式插值和基于線性插值，基于多項式插值的運動軌跡、速度、加速度時間相關變化曲線更為光滑連續(xù)，即軌跡精度較好［11］。其中七次多項式插值比三次、五次運動性能平穩(wěn)，因而本文采用七次多項式插值方法［12］進行關節(jié)空間中的軌跡規(guī)劃，設計一個由機械臂個關節(jié)角度、速度、加速度的時間序列構成的位姿軌跡，在作業(yè)任務和精度的保證下，使機械臂末端執(zhí)行器能盡可能沿著既定的位姿軌跡去抓取一個物體，設七次多項式：

對式（13）分別求一階、二階、三階導數(shù)，得：

各關節(jié)在起點和終點的角度、角速度、角加速度和角加加速度的約束條件為：

由式（13）和式（14）可求得約束條件為：

令式（15）和式（16）等式右邊分別相等，得到含有8個未知量的8個方程，聯(lián)立成矩陣方程為：

式（17）是形式為Θi=T8×8(tf)?A的矩陣方程，其中A是待定系數(shù)a0～a7組成的向量，Θi為約束條件組成的向量，是已知向量，T8×8(tf)為系數(shù)矩陣，只與tf有關，又tf≠ 0，則det(T8×8(tf)) ≠ 0，因此方程有唯一解，A=T8×8(tf)-1?Θi，即求得待定系數(shù)a0～a7，進而可求得七次多項式的表達式。

3 Matlab運動學建模與仿真

首先，構建機械臂模型。以表1中的D-H參數(shù)為依據(jù)，利用 Matlab 中的 Robotics Toolbox［13］中工具箱中的Link分別進行各個關節(jié)構建，利用SerialLink函數(shù)將各個關節(jié)進行有機整合實現(xiàn)整個機械臂模型的構建。建立的四自由度機械臂模型，如圖3所示。其中紅色代表機械臂的關節(jié)，藍色代表連桿。

圖3 機器人初始狀態(tài)

完成機械臂模型構建之后，要使機械臂完成從起始點到目標點的運動，需要進行運動學軌跡規(guī)劃，本文采用七次樣條插值方法進行點到點的軌跡規(guī)劃。已知在操作空間的笛卡爾坐標系［14］中的一點，先用逆運動學求解方法，求出各關節(jié)對應的角度，然后對其進行七次多項式插值，得到角度、加速度、角加速度的時間相關變化曲線。

本文四自由度機械臂主要實現(xiàn)的是對目標物體的抓取。設機器人初始狀態(tài)為A，抓取時設定一個過渡位姿B，在B處各個關節(jié)的角度為：qb=[0 1.570 8-0.7854-0.7854]，現(xiàn)設定C=( )208,0,176為目標物體在基座坐標系中的空間位置。依據(jù)1.3節(jié)中逆向運動學求解方法可得姿態(tài)C時各個關節(jié)的角度為qc=[0-0.5236 0.9512 0.4451]，則得到初始位姿A、過渡位姿B、目標位姿C時機械臂各關節(jié)的關節(jié)角度，采用七次多項式插值算法進行軌跡規(guī)劃，設定四自由度機械臂抓取運動的仿真時間是2 s，時間間隔為0.02 s，各個關節(jié)角速度、角加速度、角加加速度的邊界約束條件設置為0，機械臂末端的運動軌跡如圖4所示。B到C過程中，各個關節(jié)的角度、角速度、角加速度隨時間的變化曲線分別如圖5、圖6和圖7所示。

圖4 機械臂末端運動軌跡

圖5 各關節(jié)角度隨時間變化曲線

圖6 各關節(jié)角速度隨時間變化曲線

圖7 各關節(jié)角加速度隨時間變化曲線

圖4為四自由度機械臂末端在BC段運動的軌跡曲線，從中可看出整個運動過程均變化連續(xù)，沒有突變，各連桿均未出現(xiàn)錯位情況，符合機械臂對目標物體平穩(wěn)抓取的要求。圖5—圖7為各個關節(jié)的角度、速度和加速度隨時間的變化曲線，均平滑，沒有突變，故實現(xiàn)了機械臂平穩(wěn)的抓取軌跡規(guī)劃。

4 結論

本文采用改進的D-H參數(shù)建模方法對四自由度機械臂Open-Manipulator進行了運動學建模，實現(xiàn)了運動學正解和逆解計算；根據(jù)機器人工作特點，采用七次多項式插值的方法在關節(jié)空間對Open-Manipulator機械臂進行軌跡規(guī)劃，在Matlab平臺下仿真實現(xiàn)了機械臂目標抓取的運動控制，得到了運動過程中各關節(jié)角度、角速度、角加速度隨時間變化的曲線。結果表明，在抓取運動目標過程中，機械臂末端的運動曲線連續(xù)，沒有抖動，各關節(jié)角度、速度及角加速度隨時間變化曲線也連續(xù)，沒有突變，實現(xiàn)了機械臂平穩(wěn)且連續(xù)的運行，該軌跡規(guī)劃方法是一種準確且穩(wěn)定的方法，為以后Open-Manipulator機械臂的研究和應用提供了理論依據(jù)。