面向時變回診患者需求的急診周排班研究

王子翔， 吳澤銳， 劉 冉

(上海交通大學 工業工程與管理系，上海 200240)

急診服務主要是對突發疾病、意外損傷等急診患者提供醫療服務[1]，一般由醫院急診科承擔，為急診患者提供7×24 h持續服務.近年來急診醫療需求的大量增加，急診科室的嚴重擁堵引起的急診服務質量下降是普遍面臨的問題.

急診科室擁堵的原因是多方面的，一個重要原因是患者無法預約且到達率高度時變.以武漢市某醫院為例，一天中急診患者到達率在夜間較低，在上午5點左右劇增，7點到達第1個高峰，隨后患者到達率下降并于11點再次劇增，并在約下午2點到達第2個高峰.面對需求的時變、隨機特性，急診科常規采用的僅區分日間、夜間的排班往往難以在高峰時段提供充足的人員，繼而造成擁堵.同時，患者回診是導致擁堵的重要原因.由于醫生一般需要檢查結果(如血檢、B超、X光等)作為醫療決策的依據，所以大量患者必須經過一項或幾項檢查后回到醫生處再次問診，才能完成診療.患者甚至需要經歷多次檢查、問診.時變、隨機到達的回診患者與初次到達患者相疊加，成為加劇急診科室擁堵的重要因素.

為了緩解急診科室擁擠，靈活的柔性排班方案被提出并已被部分醫院采納.不同于傳統的排班方案(如8:00—16:00、16:00—24:00、24:00—8:00固定三班制)，柔性排班的可用班次更多，相比于傳統的排班方案，每個醫生可被安置的上班班次更加多樣靈活，通過在高峰時段安排更多的醫生，能夠緩解擁堵問題.雖然柔性排班具有顯著優點，但是如何針對患者的到達規律、考慮大量回診現象而設計出科學合理的醫生柔性排班方案卻較為困難.首先，其備選班次多，比傳統方式更加復雜.同時，急診非常關注患者是否能夠及時得到治療，即患者的候診時間等指標，如何采用柔性排班準確有效地減少患者的等待時間需要深入探討.

本研究與多個研究領域相關.首先是醫護人員的排班問題，對該問題建立數學規劃模型是常用方法[2-4]，求解方法包括精確和啟發式算法.精確算法包括使用求解器如CPLEX[5]、Branch-and-Cut[6]和Branch-and-Price[7]等.啟發式算法包括模擬退火算法[8]、遺傳算法[9]、禁忌搜索算法[10]、基于列生成的啟發式算法[11]等.精確求解算法的優點在于能夠求解問題的最優解，缺點在于其求解規模受限，而啟發式算法則可以在較短時間獲得大規模問題的可行解.

醫護人員的排班問題中患者等待隊長、等待時間等常作為目標函數或模型約束，因此需要對其進行解析計算評估.由于對此類時變排隊系統建模具有挑戰，常用的方法是基于穩態排隊論的近似建模方法.文獻[12]使用SIPP(Stationary Independent Period-by-Period)方法研究了時變服務系統的建模問題，通過將長時間段劃分為若干時段，將每個時段的系統近似為穩態系統，完成長時段服務系統建模.文獻[13]同樣將長時間段分割，將每個分割時段的系統近似為穩態系統，給出了時變排隊系統中顧客等待時間的評估方法，并在此基礎上研究了以最小化患者總等待時間為目標的醫生排班問題.文獻[14]使用逐點穩態(PSA)法研究了時變服務系統的建模問題，該方法假設在任何時間點排隊系統幾乎都能立即到達穩態，對每個時間點的系統使用穩態排隊系統加以近似以完成長時間服務系統建模.其他常使用的時變排隊系統建模方法是仿真方法[15-16]和樣本均值近似方法.文獻[17]考慮了時變、存在回流客流的急診患者需求，使用樣本均值對急診患者的等待時間進行近似評估，進而建立了混合整數規劃模型求解醫護人員的排班方案.文獻[18]同樣使用樣本均值近似方法對考慮時變、帶回流客流的門診預約和非預約患者的等待時間進行解析建模.其他方法如數值方法[19]、無限服務臺近似[20]、流模型近似[21]等方法也都曾被用于時變排隊系統的建模研究.

盡管已有許多醫生排班和醫院排隊系統建模的相關研究，由于時變的回流患者與初次到達患者的疊加效應和不同醫療服務流程的相互影響，考慮醫院時變、帶回流客流的排隊服務系統的醫生排班優化非常具有挑戰性.僅有文獻[22]研究了類似的時變、帶回流系統，并結合簡單的平方根規則給出了醫生配置方法.

針對時變、帶回流患者需求的急診醫療服務系統，提出新的準確患者隊長的解析計算方法，在給定醫生排班的情況下，迅速且準確地評估每個時段患者等待隊長.在此基礎上，建立醫生排班的混合整數數學規劃模型，提出模型的線性化方法，并設計禁忌搜索算法對模型進行求解.所得模型方法不僅可以應用于急診醫療服務系統，也可以應用于其他類似的存在回流客流的時變排隊系統.

1 時變、帶回流客流的排隊服務系統隊長計算

急診服務系統是一個涉及到多個科室、人員、設備、床位的復雜排隊網絡，其基本服務流程如下.首先，患者到達時按照危重級別分診，危急患者需立即送至搶救室搶救治療；普通急癥患者需至急診科各科室等待區域候診.由于實際運營中，普通急癥患者占絕對多數，針對該部分患者，其就診流程如圖1所示.患者按照先到先服務的等待規則，等待醫生的第1次問診.經第1次問診后，少數患者無需檢查直接離開急診科或被安排住院，多數患者需至檢查科排隊檢查，檢查后返回急診科，與初次到達急診患者形成混合隊列等待.醫生再次診斷后，患者經過治療離開急診科或被安排住院.急診科的醫生排班將直接影響患者等待隊長等服務質量的關鍵性能指標，因此首先研究在給定醫生排班的情況下，如何近似計算每個時段結束時醫生處和檢查臺處的患者隊長.其中，醫生處的患者隊長為初次到達患者與回診患者數量之和.

圖1 急診科室患者排隊系統示意圖Fig.1 Schematic diagram of queuing system of emergency patients

根據醫院實際調研，做出以下設定：

(1) 研究聚焦一周的服務時間，其劃分為若干等長時段，每個時段時長為δ，假設患者的平均到達率、醫生數目在每個時段內均保持不變；

(2) 患者泊松到達，且不考慮未接受服務即離開的患者，第t個時段內患者到達率為λt；

(3) 醫生及檢查臺服務對患者服務時間隨機，均服從指數分布，設醫生及檢查臺的服務速率不隨時段變化，分別為μ1和μ2；

(4) 回診患者排隊時是否具有更高優先級并不影響醫生處的隊長結果，因此不妨設回診患者在排隊中無優先級.

1.1 不帶回流的時變非穩態排隊系統隊長計算

由于帶回流的時變非穩態排隊系統的復雜性，首先探討不帶回流的時變排隊系統隊長計算方法，記該方法為“APP1”.基于以上設定，該系統為Mt/M/ct(時變泊松到達、指數分布服務時間、時變服務臺數)的排隊系統.對于第t個時段，排隊系統時段初，系統中的顧客數加上時段內到達的顧客數應等于時段末系統中的顧客數加上時段內離開的顧客數.假設第t個時段內完成服務離開的顧客數為ut，時段初和時段末的系統隊長分別為lt-1和lt，有如下流平衡方程成立：

lt+ut=lt-1+λtδ

(1)

Mt/M/ct排隊系統流平衡模型如圖2所示.

圖2 Mt/M/ct排隊系統流平衡模型Fig.2 Fluid balance model of Mt/M/ct queuing system

假設第t個時段的平均服務強度為ρt，單位服務臺的服務速率為μ，則式(1)可改寫為

lt+ctμρtδ=lt-1+λtδ

(2)

根據排隊論，當系統中服務臺數c>1，且服務強度ρ<1時，穩態M/M/c(泊松到達、指數分布服務時間、服務臺數恒為c)排隊系統中，顧客期望隊長l的計算方法為[23]

(3)

(4)

需要指出的是，嚴格來說式(3)和(4)僅適用于穩態的排隊系統，其中服務強度ρ是穩態M/M/c排隊系統的服務強度.但是考慮到排隊系統由于時變到達率無法達到穩態，所以采用一個時段內的短期平均服務強度ρt加以替代，即假設該時段排隊系統處于穩態，且該短期平均服務強度的值為(ut/δ)/(ctμ).在該假設下，時段末系統隊長lt可通過l(ρt,ct)近似計算.

由以上假設，lt為關于ρt和ct的函數，且當ct固定時，lt隨ρt單調遞增.將l(ρt,ct)作為lt代入式(2)，則式(2)僅有一個未知數ρt，且式(2)左側關于ρt單調遞增，右側為固定值，顯然滿足式(2)的ρt存在且唯一，因此可以使用二分法快速迭代出ρt的近似值[24].經實驗，一般經過20次迭代后即可使式(2)左右側的絕對誤差小于0.001.在獲得ρt的近似值后，代入式(3)即可計算該時段結束時的系統隊長lt.由于一個時段結束時的系統隊長即是下一個時段開始時的系統隊長，根據式(2)可求得每個時段結束時的系統隊長.

本文考慮的排隊系統在部分時段可能面臨超負荷情況，即系統的服務能力小于顧客需求，盡管排隊論中的服務強度λt/(ctμ)>1，但時段內的短期平均服務強度ρt的取值范圍仍然在0～1，因此該方法仍然可用.當系統過負荷，即系統的服務能力遠小于顧客需求(λt/(ctμ)>2)時，可以近似認為服務系統一直在以cμ的速率服務顧客，此時可將短期平均服務強度ρt近似取1，代入式(2)進行計算，即lt可通過下式計算(第t個時段的結束時隊長不小于0)：

lt=max{lt-1+λtδ-ctμδ,0}

(5)

記式(5)所示的隊長計算方法為“平穩流”方法.

1.2 帶回流的時變非穩態排隊系統隊長計算

本節隊長計算方法記為“APP2”.記醫生和檢查臺分別為系統1和系統2，l1,t和l2,t分別為醫生和檢查臺處在第t個時段結束時的隊長.該時段的醫生數和檢查臺數分別用c1和c2表示，醫生處和檢查臺處的平均服務強度分別用ρ1和ρ2表示，假設顧客去往檢查的概率為P.類似于Mt/M/ct排隊系統，帶回流客流的排隊系統有流平衡等式如下：

l1,t+μ1c1ρ1δ=l1,t-1+λtδ+μ2c2ρ2δ

(6)

l2,t+μ2c2ρ2δ=l2,t-1+Pμ1c1ρ1δ

(7)

醫生及檢查臺處流平衡模型如圖3所示.對于l1,t和l2,t的計算同理，在c1和c2已知的情況下，式(6)和(7)僅有兩個未知數ρ1和ρ2.對于一個給定的ρ2，代入式(6)使用二分法迭代可計算ρ1，再將迭代得出的ρ1作為給定值代入式(7)使用二分法迭代計算ρ2，重復以上求解過程直至式(6)和(7)左右側絕對誤差均足夠小，再將ρ1和ρ2代入式(3)即可得到醫生和檢查臺處的隊長.

圖3 醫生及檢查臺處流平衡模型Fig.3 Fluid balance model of physicians and examination servers

同樣地，當系統過負荷時，可將系統強度假設為1，代入式(6)和(7)計算醫生和檢查臺處的隊長.現實中一般醫生處易處于過負荷狀態(λt/(c1μ1)>2)，而檢查臺處往往不處于過負荷狀態，在此種情況下可將ρ1假設為1，式(7)中僅有的未知數ρ2仍使用二分法迭代獲得，ρ2代入式(3)獲得檢查臺處的隊長.醫生處隊長由下式計算：

l1,t=max{l1,t-1+λtδ+μ2c2ρ2δ-μ1c1ρ1δ,0}

(8)

2 醫生周排班數學模型

基于以上隊長計算方法，對急診科室醫生周排班問題建立數學模型.數學模型以最小化患者醫生處總等待隊長及醫生人力成本為目標，確定每個醫生一周的排班.在模型中，醫生用集合K={1,2,…,O}表示，醫生總數為O.排班周期為7 d，用集合A={1,2,…,7}表示，一周時間共168 h，分為168/δ個時段，用集合T={1,2，…,168/δ}表示.每天有N個相同的可用排班，假設N個排班中最后一個排班為夜班，所有排班用集合S={1,2，…, 7N}表示，第n個排班覆蓋的時間范圍用二元參數rn,t表示，該變量僅當第n個排班覆蓋第t個時間段時取1，否則取0.c1,t為第t個時間段的醫生數，檢查臺數c2設為常數.xi,n為二元決策變量，該變量僅在第i個醫生被安排至第n個排班時取1，否則取0.由于系統隊長的計算表達式非常復雜且非線性，無法直接使用求解軟件如Gurobi直接求解，所以引入二元決策變量aj,t、bk,t、yl,t和dj,k,l,t對隊長的計算線性化.假設U和V分別為l1,t和l2,t可能的最大取值，L1和L2分別為APP2近似中l1,t和l2,t的計算方法.醫生周排班數學模型如下：

MIP1：

(9)

s.t.

(30)

式中：α為平衡系統隊長和醫生人力成本的系數；F為醫生一周最大工作時長；G為醫生兩班最大時間間隔.目標函數式(9)為最小化患者的醫生處總隊長及人力成本；式(10)保證每個醫生每天最多只在1個排班工作；式(11)保證醫生上夜班后至少休息24 h；式(12)～(13)保證每個醫生一周最多上夜班Cmax次，最少Cmin次；式(14)保證醫生一周工作最多不超過Fh；式(15)給出每時段醫生數；式(16)～(17)保證每時段醫生數不超過最大醫生數且不少于1；式(18)保證每個醫生兩班間隔不少于G；式(19)～(20)使只有在l1,t=j時，aj,t才取為1；式(21)～(22)使只有在l2,t=k時，bk,t才取為1；式(23)～(24)使只有在c1,t=l時，yl,t才取為1；式(25)～(26)使只有在l1,t=j、l2,t=k且c1,t=l時，dj,k,l,t才取為1；式(27)～(28)給出每時段結束時醫生和檢查臺處隊長；式(29)～(30)為初始化條件.盡管以上模型可以被離散線性化[1]，但由于以上問題規模很大且約束復雜，使用求解軟件求解得到的解質量不高，具體見數值實驗4.3節.

3 算法設計

由于使用求解軟件(如CPLEX、Gurobi等)對以上模型求解非常困難，本文設計了一種禁忌搜索(TS)算法，基本流程如圖4所示.其中：s為每輪迭代的當前解；s0為初始解；s′為領域中最好的可行解.

圖4 禁忌搜索算法流程圖Fig.4 Flowchart of TS algorithm

3.1 產生初始解

算法通過簡單的原則產生初始可行解s0.首先，安排第i個醫生(當醫生數O≥7)值第md 的夜班(i=m, 1≤m≤7)，接著通過“First-accept”策略安排醫生使每個時段都有醫生上班，即當某時段醫生數為0時，找到覆蓋該時段的排班中序號最小的，將能夠滿足所有排班約束的最小序號的醫生安排至該排班，重復這一過程直到每個時段醫生數均大于0.通過以上過程能夠得到醫生上班總時長最小的初始解，在此解的基礎上，將醫生按貪婪法安排排班，即選擇能最小化目標函數值的位置加入排班，直到每個醫生均無法再加入更多排班.

3.2 鄰域結構及禁忌操作

獲得解s0后，記該解為第1個當前解s，構造當前解的鄰域集合，鄰域解通過以下兩個操作產生：① 為1名醫生增加1個工作班次；② 去除1名醫生的1個已有排班.若解集合中所有解均為不可行解，則隨機選擇兩個醫生的兩個排班交換，直到產生新的可行解作為新的當前解(實驗中未出現由以上鄰域操作產生的鄰域集合全部為不可行解的情況).獲得鄰域集合后，選擇集合中最好的一個鄰域可行解s′，令其為新的當前解.為了防止算法在迭代過程中陷入局部最優，反復搜索已經搜索過的解或解空間，算法需要規定禁忌操作.算法的禁忌規則設計如下：若一輪迭代中當前解為s，產生新的當前解為s′，定義使解s變化至解s′操作的逆操作為該輪迭代的禁忌操作，并在此后θ輪迭代中禁止該禁忌操作.

3.3 解評估

算法需要對當前解的所有可行鄰域解進行評估，即計算該解對應醫生排班下的目標函數值，所提算法對患者等待隊長的近似評估使用1.2節中“APP2”系統評估方法.

3.4 赦免規則

若當前解的一個鄰域可行解通過被禁忌的操作產生，但其目標函數值較當前最好解的目標函數值更好，則算法對該解實行赦免，即取消對該解的禁忌限制.

3.5 停止條件

所設定算法的迭代次數為停止條件，當算法迭代給定次數(如500次)后停止并輸出當前最好解.

4 數值實驗

設計數值實驗驗證所提出的隊長近似方法和TS算法.首先，針對醫院實際的患者到達數據和醫生排班方案，通過對比仿真結果驗證所提出的隊長近似方法的有效性，然后使用設計的TS算法對醫院的醫生排班進行優化，并將TS算法解分別與實際排班、基于仿真模型的遺傳算法(GA)解和MIP1模型求解結果進行對比，以驗證TS算法的有效性.數值實驗所使用的硬件為3.1 GHz CPU，512 GB內存，運行Win10操作系統.

實驗數據來自武漢市某醫院急診科5周的實際數據，該醫院急診科目前實際采用固定的四班制排班：8:00—16:00為第1班，9:00—17:00為第2班，17:00—1:00為第3班，1:00—9:00為第4班，每班分別安排1、2、1、2個醫生.數值實驗使用的柔性排班如表1所示，其他參數如表2所示.所有數值實驗的系統初始隊長均假設為0，流平衡允許誤差設為10-4.

表1 柔性排班的班次時間Tab.1 Schedule time of flexible scheduling plan

表2 數值實驗參數表Tab.2 Parameters of numerical experiments

4.1 隊長計算方法精度實驗

表3 仿真與APP1、APP2近似方法的醫生處總隊長比較

從表3可以看出，在5個算例下APP2近似方法得到的總隊長結果與仿真結果均非常接近，而由于未考慮患者的回流現象，APP1近似方法得到的總隊長結果與仿真結果相差較大.APP1近似方法所得結果與仿真結果的相對誤差均高于80%;APP2近似方法所得結果與仿真結果的相對誤差均低于5%，5個算例使用APP2近似方法得到的平均總隊長為 1 586.24，而仿真結果為 1 627.96，平均誤差為2.44%.由圖5和6可以看出，APP1近似方法與仿真結果在每時段結束時的醫生處隊長上有明顯差別，而APP2近似方法與仿真方法得到的結果不僅趨勢一致，在數值上也十分接近.因此，所提隊長近似方法能夠作為TS算法中的解評估方法.

圖5 W2每時段結束時APP1、APP2醫生處隊長與仿真結果比較Fig.5 Hourly patient queue lengths by APP1, APP2, and simulation in the physicians’ queue of W2

圖6 W3每時段結束時APP1、APP2醫生處隊長與仿真結果比較Fig.6 Hourly patient queue lengths by APP1, APP2, and simulation in the physicians’ queue of W3

4.2 TS算法求解結果與實際排班方案的對比

使用所設計的TS算法對5個算例分別進行求解，設定算法迭代500次后停止并輸出結果.每個算例的TS算法解與實際排班的目標函數值和患者醫生處總等待時間如表4所示.其中：γTS為算法解；γREAL為實際排班值；tCT為算法求解時間；ω3為算法解與實際排班目標函數值的相對誤差；ω4為算法解與實際排班患者在醫生處的總等待時間的相對誤差；tWT為患者在醫生處的總等待時間，通過仿真得到.以W1為例，算法解與實際排班下的每時段結束時醫生處仿真隊長對比如圖7所示，算法解與實際排班的對比如圖8所示.

表4 TS算法解與實際排班對比Tab.4 Comparison of TS scheduling solutions and real scheduling plan

圖7 W1時的TS算法解與實際排班下醫生處仿真患者隊長對比Fig.7 Comparison of patient queue lengths of TS scheduling solutions and real scheduling plan in the physicians’ queue of W1

圖8 W1時的TS算法解與實際排班各時段醫生數對比Fig.8 Comparison of physician staffing plan of TS scheduling solutions and real scheduling plan of W1

由表4可以看出，每個算例的TS算法解對應的目標函數值較實際排班小21.8%～42.6%.同時，患者總等待時間的仿真結果顯示，相比于實際排班，TS算法排班能夠平均減少患者醫生處的總等待時間70%以上.所有算例中，W2的算法運行時間最長，為1.38 h，5個算例的平均運行時間小于1.3 h.

由圖7可以看出，TS算法排班能有效地降低患者的等待隊長.相較于實際排班，算法排班下除了少量時段(如時段9～14、57～59、81～85)結束時的醫生處隊長較大，多數時段算法排班下的醫生處隊長更優，同時在算法排班下，醫生處的峰值隊長由27降至12，排隊超過10人的“峰”的數量明顯減少.對比W1患者的到達率變化和圖8可以看出，使用表1所示的柔性排班方案，TS算法排班在患者到達的高峰時段(如15～18、39～40、63～64等時段)增加了醫生數量以降低患者隊長，而在患者到達率相對降低的時段(如9、34～35、57等時段)適當減少醫生數量，從而在整體上減少患者在醫生處的等待隊長及等待時間.值得注意的是，表1所示的柔性排班方案并不適用于所有醫院，醫院可根據自身實際運營情況，設計并應用適合自身的柔性排班方案，降低患者的等待隊長，提高醫生的整體利用率.

4.3 與GA算法及大型優化軟件結果對比

比較TS算法解與GA算法和MIP1模型的求解結果，以評估TS算法的有效性.首先設計GA算法，采用二進制編碼方法，當第i個醫生被安排至第n個排班時，第7iN+n位編碼取1，否則取0.算法基本流程如下：首先對醫生上班總時長最小的初始解編碼，在此解的基礎上隨機改變1個基因位，生成50個個體組成初始種群，對編碼解碼后計算每個個體的適應度；在每一輪迭代中基于適應度采用輪盤賭方法對群體進行選擇，對被選擇的兩個個體進行交叉，交叉方式為隨機生成一個基因位，交換該基因位后的所有編碼，交叉完成后對個體進行變異操作；隨機選取1個基因位變異，交叉概率為0.8，變異概率為0.15；迭代500次后終止計算，將算法迭代中得到的具有最優適應度的個體作為算法的最好解輸出.

與TS算法不同，GA算法對于待評估的個體采用基于仿真的方法計算其適應度(即目標函數值).首先，根據編碼與醫生排班的對應關系解碼得到該個體對應的醫生排班方案，再對該排班方案進行仿真，計算每時段結束時醫生處的排隊隊長，進而得到該個體的適應度.仿真模型采用基于事件的仿真方法，使用C++實現仿真程序，對每周的算例運行5×104次取平均得到隊長仿真結果.為了進一步對比TS算法，同時使用軟件Gurobi 9.0.2對MIP1模型進行求解，設定求解時間為 8 h.

GA、MIP1以及TS算法的求解結果對比，如表5所示.其中：ω5為GA與TS算法解目標函數值的相對誤差；ω6為MIP1模型求解結果與TS算法解目標函數值的相對誤差.

表5 TS、GA算法解與MIP1模型求解結果Tab.5 TS solutions, GA solutions, and solutions of MIP1 models

通過表5可以發現，TS算法解與GA算法解和MIP1結果的差異較為明顯.TS算法解目標函數值較GA算法解平均小24.9%，較MIP1結果平均小66.9%，而TS算法的平均求解時間僅為GA算法和MIP1模型的1/5.同時，以計算時間為終止條件輸出MIP1模型求解結果得到的解質量可能很差.通過以上對比可以發現，使用所提TS算法能夠在合理時間范圍內得到更好的醫生排班方案.

4.4 算法參數分析和靈敏度分析

首先對TS算法的迭代次數進行分析，確定算法迭代次數的合理性，然后在W1數值實驗的基礎上，分別增加和減少醫生數、醫生最大工作時長、醫生服務效率和檢查臺數，以對TS算法的表現進行靈敏度分析.以W1和W2為例，TS算法每輪迭代后最好解的更新如圖9所示，其中：η為算法迭代次數.

圖9 TS算法收斂速度Fig.9 Convergence rate of TS algorithm

由圖9可以看出，在TS算法迭代過程中，最好解的目標函數值在前期迅速下降，并在迭代100次左右時基本達到收斂.嘗試將迭代次數增加至 1 000，未發現更大的迭代次數能帶來解的改進.考慮到算法的解質量和求解時間，500次迭代次數是一個合理的終止條件.

在實際的患者到達及醫生配置下，所提數學模型和TS算法可以給出合理的醫生排班，降低患者的等待隊長.在W1數值實驗的基礎上，每次只改變一個參數生成不同的場景，研究TS算法的表現.在第1、2個場景中，可用醫生數由原先的9分別增加至10和減少至8；在第3、4個場景中，每個醫生的周最大工作時長分別增加和減少10%；在第5、6個場景中，醫生的服務速率分別增加和減少10%；在第7、8個場景中，檢查臺數由原先的10分別增加至11和減少至9.由于醫院實際排班無法更改醫生數或醫生工作時長，場景1～4使用如下方法產生新排班方案：在場景1、2中分別增加和減少1個醫生，假設該醫生每天在同一個班次工作；在場景3、4中分別給每個醫生增加和減少1個工作班次，對每個場景均選擇目標函數值最小的新排班方案.由仿真得到的8個新場景下TS算法排班和實際排班的目標函數值如表6所示.

表6 不同場景下TS算法解與實際排班的目標函數值對比

從表6可以看出，在場景1～8下TS算法排班的目標函數值較實際排班小7.5%～58.3%.對比表4和6可以發現，即使可用醫生數減少1或醫生的周最大工作時長減少10%，TS算法排班的目標函數值仍優于醫院實際排班的目標函數值(2 645.66).以上實驗表明，所提 TS算法對不同場景均能給出合理的排班方案.

4.5 非負指數分布服務時間拓展實驗

本文所提出的“APP2”隊長近似計算方法建立在患者到達時間間隔和服務時間均服從指數分布假設基礎上.醫院實際運營數據顯示，指數分布的患者到達時間間隔可作為實際情況的一種合理近似，而實際服務時間與指數分布則常偏離很大.因此，本文對比了TS算法排班與醫生實際排班在非指數分布服務時間下的患者醫生處總等待隊長和總等待時間.醫生和檢查臺的服務時間均服從退化分布和Erlang分布時患者醫生處總等待隊長和總等待時間分別如表7和8所示.其中：ω7為“算法解”與“實際排班”醫生處總等待隊長的相對誤差；退化分布和Erlang分布的參數均經過調整，使醫生和檢查臺的服務時間均值與表2所示的指數分布下的服務時間均值大小一致；Erlang分布的階數取為3；患者醫生處總等待隊長和總等待時間結果均通過仿真得到.由表7和8可以看出，當服務時間不滿足指數分布的情況下，TS算法排班仍能夠有效降低患者的總等待隊長和總等待時間.當醫生和服務臺的服務時間服從退化分布時，算法解相比實際排班，患者的總等待隊長和總等待時間平均分別減少了63.7%和78.2%，當醫生和服務臺的服務時間服從3階Erlang分布時，算法解相比實際排班，患者的總等待隊長和總等待時間平均分別減少了63.0%和76.2%.

表7 退化分布服務時間下的TS算法解與實際排班對比

表8 Erlang分布服務時間下TS算法解與實際排班對比

5 結語

醫院急診科往往面臨時變、回流的患者流，由于醫院服務能力有限，急診科常常面臨擁擠，解決方法之一是將醫生排班的傳統排班方案改為柔性排班方案.為了得到較優的醫生周排班方案，本文首先提出了一個時變、帶回流客流排隊服務系統的隊長近似方法，該方法將排班周期分割為若干等長的時段，對每個時段建立流平衡方程并近似將每個時段內的系統視為穩態，應用穩態下的排隊論公式和二分法，給出了每個時段結束時系統隊長的近似值.基于該系統評估方法，針對急診醫療排隊服務系統建立了一個混合整數規劃模型，并設計TS算法求解醫生的周排班方案.基于武漢市某醫院急診科實際數據的數值實驗顯示，本文所提出的隊長近似方法能夠很好地近似時段結束時的系統隊長，TS算法得到的優化排班能夠有效地降低患者的等待隊長，進而緩解急診科的擁堵現象.

將所提出的模型擴展至更一般的排隊網絡，可以將其應用于更實際的場景.后續的研究可以從以下幾個方面進行擴展：① 由于不同醫療檢查所需時間不同，考慮在檢查臺處根據患者的檢查類型分流，研究不同患者不同檢查的排隊網絡；② 由于部分患者經醫生檢查后需要進入觀察區，接受一段時間觀察方能判斷是否需要再次返回醫生處問診，考慮引入觀察區，研究患者經觀察后返回醫生處再次問診的排隊網絡.