聯系廣義Kaup-Newell譜問題的一類方程的解

翟子璇，李 琪*，段求員，林清芳

(1.東華理工大學理學院，330013，南昌；2.撫州職業技術學院基礎教學部，344000，江西，撫州)

0 引言

非線性科學是繼相對論、量子力學之后自然科學界又一次新的大革命。而孤子理論作為應用數學和數學物理的重要組成部分，已然成為非線性科學中的一個重大研究課題。其中，尋求孤子方程的精確解是孤子理論中的一個重要專題，并已發展出諸多可行的方法，如齊次平衡原則[1]、反散射法[2-3]、Darboux變換[4]、Wronskian技巧[5-7]等。

本文將考慮耦合Gerdjikov-Ivanov(GI)方程

(1a)

(1b)

其所對應的譜問題：

聯系廣義Kaup-Newell譜問題[8]

(2a)

時間發展式：

(2b)

其中，q=q(t,x),r=r(t,x)是位勢函數，λ是x與無關的譜參數。

1 方程(1)的雙Wronskian解

首先，對方程(1)作分式變換

(3)

則有方程(1)的雙線性導數方程

(4a)

(4b)

(4c)

(4d)

定理1：雙線性導數方程(4)有雙Wronskian解

(5)

其中φj,ψj滿足

(6a)

φj,t=2φj,xx,ψj,t=-2ψj,xx

(6b)

證明：

1)考慮譜問題(2a)與時間發展式(2b)。

令式(2a)中q=r=0，則

(7a)

即

φ1,x=-iλ2φ1,φ2,x=iλ2φ2

(7b)

再令(2b)中q=r=0，則

(8a)

也即

φ1,t=-2λ4φ1,φ2,t=2λ4φ2

(8b)

取k=-2iλ2,φ1=φ,φ2=ψ，則由式(7)與式(8)可知

(9a)

(9b)

2)計算雙Wronskian行列式f,g,s與h對x的導數，得

又由式(9b)得f,g,s與h對t的導數，

將f,g及其關于x,t的各階導數代入(4a)左端，根據恒等式：

以及行列式的性質：

① 設M為N×(N-2)矩陣，a,b,c與d都是N維列向量，則

|M,a,b||M,c,d|-|M,a,c||M,b,d|+

|M,a,d||M,b,c|=0

(10)

② 設aj,(j=1,2,…,N)是N維列向量，γj≠0,(j=1,2,…,N)是N個實常數，則

(11)

其中，γaj=(γ1a1j,γ2a2j,…,γNaNj)T。

可得：

=0。

故雙Wronskian行列式(5)滿足方程(4a)。同理可證，行列式(5)也滿足式(4b)。

類似地，將f,g,s與h對x的各階導數代入式(4c)，根據恒等式：

以及行列式的性質(10)與(11)。

得到：

=0。

故雙Wronskian行列式(5)滿足方程(4c)。同理可證，行列式(5)也滿足式(4d)。

因此，方程(1)存在雙Wronskian解

(12)

推論：雙線性導數方程(4)有廣義雙Wronskian解

(13)

其中，φj,ψj滿足

φj,x=Aφj,ψj,x=-Aψj

(14a)

φj,t=2φj,xx,ψj,t=-2ψj,xx

(14b)

其中，A=(aij)(N+M)×(N+M)是與t,x無關的任意實矩陣。而方程(1)的廣義雙Wronskian解為

(15)

2 孤子解與有理解

方程(14)有通解

φ=e2A2t+AxC,ψ=e-2A2t-AxD

(16)

其中，C=(c1,c2,…,cN+M)T,D=(d1,d2,…,dN+M)T是與t,x無關的任意常向量。

將式(16)展開成級數形式得

(17a)

(17b)

若A為對角陣，

(18)

將式(18)代入式(17)得

(19)

當N=M時，由式(19)構成的雙Wronskian行列式f,g,s與h所確定的式(3)為方程(1)的N-孤子解。

若A為簡單的Jordan陣，

(20)

且AN+M=0，故式(17)截斷為

(21a)

(21b)

此時，φ與ψ的分量表達式分別為

(22a)

(22b)

由式(22)所確定的式(13)即為雙線性導數方程(4)的有理解。

特別地，令c1=d1=1,ck=dk=0,(k=2,3,…,N+M)，由式(22)有

(23)

取j=1,2,3,4，得

當N=M=1;N=2,M=1;N=1,M=2;N=M=2時，雙線性導數方程(4)的多項式解分別為

f=-1,g=1,s=-2x,h=4i;

f=2x,g=1,s=2(x2-2t),h=8i(x2+2t);

f=-1,g=2x,s=-2(x2+2t),h=4i;

因此，方程(1)的有理解分別為

3 結束語

本文由廣義Kaup-Newell譜問題得到耦合GI方程，并給出對應的雙線性導數方程，進而利用Wronskian技巧求得耦合GI方程的廣義雙Wronskian解，包括孤子解及有理解，在后續的研究工作中，將繼續探討雙Wronskian解的約化與Matveev解、Complexiton解以及混合解等更多精確解的導出。