基于數(shù)學(xué)建模思想和數(shù)學(xué)文化的高數(shù)教學(xué)設(shè)計
——以導(dǎo)數(shù)概念為例

陳金雄，張 敏

武夷學(xué)院，福建 武夷山 354300

隨著中國經(jīng)濟(jì)社會的高速發(fā)展，作為基礎(chǔ)學(xué)科的數(shù)學(xué)也越來越重要。大學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)載體之一是數(shù)學(xué)建模，數(shù)學(xué)建模是針對某個實際問題，或出于某個特殊的目的，按照其內(nèi)在規(guī)律性，通過適當(dāng)?shù)募僭O(shè)，并使用相應(yīng)的數(shù)理工具，從而得出一些數(shù)學(xué)模型，經(jīng)過求解模型問題并得出結(jié)果以及檢驗結(jié)論是不是真實、合理的全過程[1]。高等數(shù)學(xué)是我國理工科、經(jīng)管等各類專業(yè)的最主要的學(xué)科基礎(chǔ)課之一。如果能把數(shù)學(xué)建模融入高數(shù)的教學(xué)中，不僅有利于讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模的過程，而且能讓學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決生活實際問題和提高學(xué)生學(xué)習(xí)高數(shù)的興趣，進(jìn)而促進(jìn)專業(yè)課的學(xué)習(xí)。同時，在高數(shù)課堂中，合理的穿插高等數(shù)學(xué)的歷史文化，既便于學(xué)生受到高等數(shù)學(xué)的歷史文化的陶冶，也培養(yǎng)了學(xué)生對學(xué)習(xí)高數(shù)的興趣，有利于發(fā)揮課程思政的育人功能。因此，在日常高等數(shù)學(xué)的教學(xué)設(shè)計中，融入建模思想和數(shù)學(xué)文化是非常有必要。

1 教學(xué)目標(biāo)分析

利用實際案例，讓學(xué)生再復(fù)習(xí)高中學(xué)過的平均變化率、瞬時變化率，從而深入學(xué)習(xí)平均變化率如何求解瞬時變化率的過程，進(jìn)而掌握對于瞬時變化率的表達(dá)式，也就是導(dǎo)數(shù)，體會無窮小思想，掌握數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象的能力。教學(xué)重點主要是導(dǎo)數(shù)定義和利用定義求解簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法；教學(xué)難點是理解導(dǎo)數(shù)定義。然后，結(jié)合生活實例、數(shù)學(xué)建模和高等數(shù)學(xué)歷史文化，選擇了導(dǎo)致微積分誕生的變速直線運(yùn)動和曲線過定點切線的兩個實際問題，讓學(xué)生充分體會利用無窮小的思想，進(jìn)而更好地理解了由平均變化率求得到瞬時變化率，最后概括總結(jié)出導(dǎo)數(shù)的概念。

2 學(xué)情分析

學(xué)生在高中時代就已掌握了平均變動率、瞬時變化率、曲線切線等知識，并且已經(jīng)初步學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)概念、實際意義和簡單導(dǎo)數(shù)的公式。但由于導(dǎo)數(shù)定義本身的高度概括，教師要適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)。先介紹學(xué)生比較熟悉的奧運(yùn)英雄蘇炳添和全紅嬋，并將兩人在比賽中所做的變速直線運(yùn)動和曲線的切線問題作為背景引入，發(fā)揮課程思政的作用，學(xué)習(xí)奧運(yùn)英雄堅持不懈、永不言棄的良好品質(zhì)，進(jìn)而調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。引導(dǎo)學(xué)生對瞬時速度和曲線的切線斜率進(jìn)行建模，并通過實例檢驗?zāi)Ｐ偷臏?zhǔn)確性和有效性，然后抽象概括得到導(dǎo)數(shù)的定義，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)建模解決實際問題的過程。

3 教學(xué)過程

教學(xué)的主要過程設(shè)計如下：（1）提出問題：求解變速直線運(yùn)動的瞬時速度、過曲線定點的切線斜率。（2）分析問題：利用無窮小思想，平均速度趨于瞬時速度或割線的斜率逼近切線斜率。（3）建立模型：瞬時速度等于平均速度的極限值、切線斜率等于割線斜率的極限。（4）求解模型、檢驗?zāi)Ｐ停翰捎锰厥饫忧蠼饽Ｐ停罁?jù)高中的導(dǎo)數(shù)公式驗證模型的正確、合理性。（5）推廣模型：由以上兩個模型推廣到函數(shù)瞬時變化率，并由此得出導(dǎo)數(shù)的定義。（6）運(yùn)用模型：理解導(dǎo)數(shù)概念，掌握求導(dǎo)步驟，應(yīng)用計算結(jié)果解釋瞬時變化率的意義。

3.1 引例

3.1.1 變速直線運(yùn)動的瞬時速度的求解

（1）提出問題

從“東京奧運(yùn)英雄”的事跡導(dǎo)入:據(jù)報道，在日本東京奧運(yùn)會百米半決賽賽中，蘇炳添跑出了9秒83的驚天成就并突破了亞洲記錄，同時他也作為中國國內(nèi)第一個進(jìn)入奧運(yùn)會男子一百米淘汰賽的選手，也是時隔89年后亞洲人又一次進(jìn)入奧運(yùn)會百米飛人的半決賽;東京奧運(yùn)會之后，他參加了他的第四屆全運(yùn)會并首次奪得全運(yùn)會的男子百米冠軍。東京奧運(yùn)會中國奧運(yùn)代表團(tuán)最年輕的14歲小將全紅嬋，在東京奧運(yùn)會跳水女子10m臺中，以三跳滿分的超大優(yōu)勢拿到金牌，并打破陳若琳保持的決賽總分紀(jì)錄。他們的成功都是通過日積月累的努力拼搏，憑著永不言敗的堅韌品質(zhì)獲得的，是通過每天進(jìn)步一點點的量變變?yōu)槿〉脷v史性突破的質(zhì)變的必然結(jié)果，這些例子也很好的詮釋了前面所學(xué)的無窮小思想。而百米起步到?jīng)_刺終點，10m跳臺起跳到剛?cè)胨€都會一個共同的現(xiàn)象：運(yùn)動員都做了變速直線運(yùn)動，且都可以測量在某時刻運(yùn)動員距離起點的位移。對此可以做出以下假設(shè):做變速直線運(yùn)動的質(zhì)點的位移函數(shù)，那么該如何求質(zhì)點在某時刻的瞬時速度呢？

（2）分析問題

學(xué)生對求解平均速度比較熟悉，但是對瞬時速度的求解比較陌生甚至是不會，所以要先從平均速度開始著手。變速直線運(yùn)動的質(zhì)點的平均速度在一般情況下不等于某時刻的瞬時速度。但是由牛頓的慣性定律可知：當(dāng)時間間隔（自變量的改變量）趨于零，質(zhì)點由于慣性導(dǎo)致它的運(yùn)動狀態(tài)來不及發(fā)生變化，所以該質(zhì)點在這個時間間隔內(nèi)做勻速直線運(yùn)動，也就是說質(zhì)點在這個過程中瞬時速度等于整個過程的平均速度。所以，某個時刻的瞬時速度就等于當(dāng)時間間隔（自變量的改變量）趨于零時這段時間的平均速度的極限值。

（3）建立模型

已知質(zhì)點從t0運(yùn)動到t時刻，在這段時間內(nèi)它的平均速度

當(dāng)t無限趨近于t0時，人們易知質(zhì)點作勻速直線運(yùn)動，所以t0時刻的瞬時速度模型為

（4）求解模型與檢驗?zāi)Ｐ?/p>

同學(xué)們在高中已經(jīng)學(xué)過位移函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的物理意義、簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，易知該質(zhì)點在1s時的瞬時速度為v（1）=S'（1）=g*1=10m/s與采用模型(2)求解出來的結(jié)果一致，因此可知模型（2）的正確、合理性。

3.1.2 過曲線定點的切線斜率的求解

（1）提出問題

17世紀(jì)就出現(xiàn)了微積分，微積分是古代人類思想的巨大成果之一，是人們經(jīng)過了二千余年的智慧結(jié)晶，開啟了古代數(shù)學(xué)向近代數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變的嶄新時代。其中萊布尼茨、牛頓功不可沒，他們分別獨(dú)立創(chuàng)造了微積分，單憑這一個成果，就可以確定二人在科技史上的崇高地位。但是導(dǎo)數(shù)的來源卻可追朔至更早的希臘時代，它的主要來源還是三個非常不同的問題:在光學(xué)傳感問題中，一般曲線的入射光是如何反射的?怎樣得知曲線運(yùn)動的速度方向?以及怎樣求得兩條曲線相交時兩線構(gòu)成的夾角?

但要解決三個完全不同的問題，歸根到底卻都是先要解決一個問題，那便是曲線的切線問題。如果知道了曲線C:y=f（x）上的定點M（x0，y0），求y=f（x）在點M（x0，y0）處的切線斜率。

（2）分析問題

要求解過曲線C上定點M的切線的斜率，可以先過M點做曲線的割線MN。M點固定不動，由動點N，x，y繞曲線運(yùn)動，當(dāng)N點沿曲線無限逼近M點時，割線MN無限接近于切線MT，也就是割線MN斜率的極限值是切線MT的斜率[3]。（如圖1所示）

圖1 曲線過定點的割線和切線

（3）建立模型

已知，割線MN的斜率為

當(dāng)N點無限趨于M點時，等價于x無限趨近于x0時，由上分析可知所求切線的斜率為

（4）求解模型與檢驗?zāi)Ｐ?/p>

舉特殊例子：設(shè)曲線C的方程為y=x2，過曲線C上的定點M（0，0）做切線，求該切線的斜率。

由模型（4）可知:

而學(xué)生在高中時曾經(jīng)知道過曲線定點的切線的斜率，等于曲線方程在定點處的導(dǎo)值所以k切線=f'（1）=0。所以檢驗了模型（4）的合理性與可行性。

盡管這二種模式的歷史背景有所不同，但是從數(shù)學(xué)角度來說結(jié)構(gòu)上是完全一樣的，都是函數(shù)值改變量與自變量改變量比值的極限，因此稱這種極限為差商的極限。

現(xiàn)實中，很多概念都是可以歸結(jié)為這種差商的極限，例如邊際成本等。這樣，人們就將對這類極限進(jìn)行數(shù)學(xué)加工，經(jīng)過抽象、總結(jié)得到了所要學(xué)習(xí)的導(dǎo)數(shù)定義。

3.2 導(dǎo)數(shù)概念

定義[3]設(shè)函數(shù)f（x）在點x0的某鄰域內(nèi)有定義，若

存在時，則稱函數(shù)f（x）在一點x0處可導(dǎo)，則稱此極限為f（x）在該點x0處的導(dǎo)數(shù)，記為

由定義可得，導(dǎo)數(shù)值是一個差商函數(shù)的極限值。f（x）在點x0處的導(dǎo)數(shù)表示該極限值為給定的函數(shù)f和點x0經(jīng)過差商的極限運(yùn)算而誘導(dǎo)得到的數(shù)值，故簡稱導(dǎo)數(shù)。

引例1的瞬時速度可表示為S'（t0），其實際意義為物體在時刻t0的瞬時速度。

引例2的切線斜率可表示為f'（x0），其實際意義為曲線C:y=f（x）過點M（x0，y0）處的切線的斜率。

假設(shè)該極限的差商的分母為△x=x-x0（△x稱為自變量的增量），移項得x=x0+△x。又假設(shè)差商的分子是函數(shù)的增量△y=f（x）-f（x0）=f（x0+△x）-f（x0）。已知，當(dāng)x→x0時，△x→0，則

這三種極限式實質(zhì)上都是等差商的極限，因此都可用作導(dǎo)數(shù)的定義式。

由導(dǎo)數(shù)定義可知，可以通過公式（5）、（6）、（7）或者（8）的極限計算，如果極限存在則f（x）在點x0處可導(dǎo)，若極限不存在，則f（x）在點x0處不可導(dǎo)。

從上可以看出，求導(dǎo)本質(zhì)上還是去極限，而且還是求差商的極限，這樣可運(yùn)用前面講過的求0/0型的極限的各種技巧和方法。通過無窮小思想和極限工具，人們可以由平均速度求得瞬時速度，也由割線的斜率取極限得到切線的斜率，從而抽象詮釋為由平均變化率取極限得到變化率，最終概括總結(jié)得到了微積分的核心概念之一的導(dǎo)數(shù)。

4 教學(xué)總結(jié)

把數(shù)學(xué)建模的思維方式與數(shù)學(xué)文化教育方法融合于導(dǎo)數(shù)概念的課堂，可以使學(xué)校把傳統(tǒng)的接受式教學(xué)與自主學(xué)習(xí)、問題驅(qū)動和啟迪誘導(dǎo)相結(jié)合，調(diào)動學(xué)生積極探求新認(rèn)識的愿望，學(xué)生親自感受導(dǎo)數(shù)概念的形成發(fā)展、抽象歸納的過程，教師指導(dǎo)學(xué)生正確運(yùn)用數(shù)學(xué)模型剖析和解決現(xiàn)實問題，從而促進(jìn)了學(xué)生把數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)文化教育方法和現(xiàn)實問題聯(lián)系一起，可以更高效地在課堂中訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素質(zhì)。