45°特殊角的存在性處理策略

吳瓊

觀看了龔平老師的《圖形與坐標》這節課，收益頗多.45°角在平面直角坐標系中可構建等腰直角三角形，依托這個等腰直角三角形，可再造出“一線三等角”模型.

基本模型

由45°角聯想等腰直角三角形，作“橫平豎直”的輔助線，構造“一線三直角”，模型即“K型”.此方法為數學中的“改邪歸正，扶正取直”思想，常用于平面直角坐標系中.

真題呈現

例1 如圖2，一次函數y = 2x - 1的圖象分別交x軸、y軸于點A，B，將直線AB繞點B按順時針方向旋轉45°，交x軸于點C，則直線BC的函數表達式是 ? ? .

解析：∵一次函數y = 2x - 1的圖象分別交x軸、y軸于點A，B，

∴令x = 0，得y = - 1，令y = 0，則x = [12]，

∴A [12，0]，B （0， - 1），∴OA = [12]，OB = 1.

過A作AF⊥AB交BC于F，過F作FE⊥x軸于E，如圖3.

∵∠ABC = 45°，

∴△ABF是等腰直角三角形，且AB = AF.

∵∠OAB + ∠ABO = ∠OAB + ∠EAF = 90°，

∴∠ABO = ∠EAF，∴△ABO ≌ △FAE，

∴AE = OB = 1，EF = OA = [12]，∴F [32，-12].

設直線BC的函數表達式為y = kx + b，

∴[32k+b=-12 ，b=-1，]∴[k=13 ，b=-1，]

∴直線BC的函數表達式為y = [13]x - 1.

故應填y = [13]x - 1.

變式延伸

例2 如圖4，一次函數y =? - 2x? -? 2的圖象分別交x軸、y軸于點A，B，將直線AB繞點B按順時針方向旋轉45°，交x軸于點C，則直線BC的函數表達式是 ? ? .

解析：由題意可得A（ - 1，0），B（0， - 2），

∴OA = 1，OB = 2.

過A作AF⊥AB交BC于F，過F作FE⊥x軸于E，如圖5.

∵∠ABC = 45°，∴△ABF是等腰直角三角形，且AB = AF.

∵∠OAB + ∠ABO = ∠OAB + ∠EAF = 90°，

∴∠ABO = ∠EAF.

∵∠AOB = ∠AEF，∴△ABO ≌ △FAE（AAS），

∴AE = OB = 2，EF = OA = 1，∴F（1，1）.

設直線BC的函數表達式為y = kx + b，

∴[k+b=1，b=-2，]解得[k=3，b=-2，]

∴直線BC的函數表達式為y = 3x - 2. 故填y = 3x - 2.

分層作業

難度系數：★★★? 答題時間：10分鐘

如圖6，一次函數y = 2x + b經過M（1，3），它的圖象與x軸、y軸分別交于A，B兩點. 將該直線繞點A順時針旋轉45°至直線l，過點B作BC⊥AB交直線l于點C，求點C的坐標及直線l的函數表達式.

（答案見第33頁）

（作者單位：遼寧省大連市第三十七中學）