優教真學：一節“自得”數學課的反思與重構

摘 要 在“雙減”大背景下，學校教育主陣地作用得到進一步強化，課堂育人目標明確指向立德樹人，以生為本，在此背景下，提出的“自得”數學課堂有兩重含義：一是指學生獲取數學知識是“自然而然的”過程，就是學生學習數學知識與學生的身心發展規律相匹配;二是指學生“自主地”獲取數學知識，也就是說學生具有主觀能動性，能自覺學習數學知識，完成對數學知識的建構。針對當下存在的數學本色缺失化、“自主學習”自流化、合作學習形式化三大誤區，在“自得”理念下進行數學課堂的反思和重構。教師要正確發揮教師的主導作用，從學習的氛圍營造、目標定位、內容抉擇、活動籌劃、進程調控、效果評價等各個方面尋求課程和教學的改進，實現優教真學。

關鍵詞 “自得”數學課堂 誤區 反思與重構

在“雙減”大背景下，學校教育主陣地的作用得到進一步強化，課堂育人目標明確指向立德樹人，以學生的發展為本，為學生的終身發展服務。為了提高數學課堂教學育人質量，數學教師需要不斷更新觀念，調動教與學積極性，尤其是解決好學生學習數學的積極性和主動性問題。為了實現優教真學，我們提出的自得數學課堂，就是學生通過自主習得獲取數學知識的課堂。這里的“自”有兩重含義：一重含義是指學生獲取數學知識是“自然而然的”。換句話說，就是學生學習數學知識與學生的身心發展規律相匹配，潤物細無聲，水到自然渠成;一重含義是指學生“自主地”獲取數學知識，也就是說學生具有主觀能動性，是學習數學知識的主人，能自覺學習數學知識，完成對數學知識的建構。這種課堂旨在改變教師主講，學生被動聽的學習局面，讓學生自主學習，合作探究，從而提高學習力，發展學生的終生學習能力。不過，教師在數學課堂落實“自得”理念的時候，教學行為和認識出現了一些偏差，陷入了一些誤區，沒有實現真正意義上的優教真學。為此，我們必須將課堂推倒重構，“就像建筑工人說的，把一棟房子拆到地基的時候，就要重新審視、重新構想和重建一切。”[1]下面以蘇科版《反比例函數圖像及性質》第一課時為例，針對三個誤區對一節自得數學課教學進行反思及重構。

一、情境導入數學本色缺失化，反思及重構

誤區一：情境導入熱鬧，數學本色缺失化。

“教師演唱《悲傷的雙曲線》：如果我是雙曲線，你就是那漸近線，如果我是反比例函數，你就是那坐標軸，雖然我們有緣，能夠生在同一個平面，然而我們又無緣……引入本節課學習課題。”

意圖：受“輕教學”[2]思想影響，以歌曲引入新課，本意是吸引學生的注意力，讓學生快速參與學習，非數學活動占了4分鐘。

出示問題：（1）函數[y=kx]（[k]≠0）的圖像是一條____，當k>0時，圖像經過___象限，y隨增大而____;當k<0時，圖像經過____象限，y隨增大而___。

（2）類比正比例函數圖像及性質，你能猜出反比例函數的圖像及性質嗎？

意圖：問題以填空的形式出現，考查正比例函數的圖像和性質，要求學生大膽猜測反比例函數圖像及性質，通過本節課學習驗證猜測結果，引導學生通過回顧以往知識的結論，自己猜想并驗證結論。

反思一：溯源本色缺失，把脈癥在何處。

課堂熱熱鬧鬧，學生興致勃勃，只是因為沒聽過教師唱歌好奇高興而已，學生對于反比例函數屬性的認識一無所知，對于歌曲所表達的知識學生一片茫然。數學課堂活動，可以不拘一格，但無論哪種形式，都必須以啟發學生數學層面的思考為目標，蘊含數學本色。這首歌形象刻畫了反比例函數圖像與坐標軸的位置關系，如果放在本節內容研究完以后，以總結形式可以促進學生形象理解反比例函數的圖像和性質。作為新課的情境引入，先入為主，無異于暗示了本節課的研究結論，無意間讓結論來得太直接，缺乏思考的張力，有灌輸之嫌。同時，課堂教學的導入過渡到新課時間偏長，壓縮了后續探索學習的時間和學生思維成長的空間。學生對正比例函數的復習，僅僅是讓學生識記已經學過的內容，把已經貯存在腦海中的知識搬出來而已。學生幾乎異口同聲地回答出來，正確率很高，但沒有對問題的辨識，沒有把學習正比例函數的圖像和性質的方法延伸到反比例函數的圖像和性質的學習，數學本色缺失。對正比例函數圖像及性質的回顧，切入時間在反比例函數圖像和性質探討之后較為適宜，這樣可以采用類比學習體會反比例函數與正比例函數的圖像和性質之間的聯系和區別。“讓學生們在有指導的練習前進行獨立練習，可能會導致他們學習了一種錯誤的程序。”[3]學生學習函數的基礎，目前僅局限于函數的概念、一次函數圖像和性質以及反比例函數的一般形式，尚未涉及計算、畫圖，沒有數學體驗，沒有思維源頭的活水，對于反比例函數圖像和性質猜測，容易讓學生產生正比例函數圖像和性質的負遷移，對學生學習產生人為誤導。

重構一：呈現數學本色，活躍學生思維。

一堂課讓學生快速進入學習狀態，必須要抓住學生的注意力，讓學生思維快速進入活躍狀態。新課引入可以豐富多彩，但一定要快捷有效。“自得”數學課堂要求學生在新舊知識之間建立起聯系，把已學的知識不斷進行深入地、多層次地學習加工，抓出本質的東西，提煉出數學知識、數學方法、數學思想、數學思維用以解決新的問題。復習舊知作為引入新課的情境，教師應該有一個明確的認識，復習僅是一種手段，對新課學習應有啟示，具有承上啟下的作用。反比例函數是繼一次函數學習之后，對學習函數的規律和方法的又一次強化，學生對函數學習的方法有了初步了解。學習一次函數圖像及性質經歷了列表→描點→連線→形成圖像→研究圖像及性質等學習歷程，為學習反比例函數提供了經驗范式。從學生已有的生活經驗和數學知識的實際出發設計問題情境，使學生能基于情境進行思考，發現解決問題的思路和方法。為此，在創設情景時，可以這樣引入：我們學習正比例函數經歷了哪些步驟？我們能否經歷這樣的過程學習反比例函數的圖像和性質呢？這樣設計，既促使學生復習了正比例函數圖像和性質，又能啟發學生將探索正比例函數圖像和性質的方法遷移至反比例函數的圖像及性質，從而快速切入新課。

二、學生的自主學習自流化，反思及重構

誤區二：忽視學情，自主學習自流化。

“請大家用5分鐘時間獨立學習課本P127—128，在課本已畫反比例函數[y=6x]圖像的坐標系中畫出[y=-6x]，思考它們的圖像各自具有的特征，并將所得與同學交流。”

意圖：教學過程問題包含了學生學習的內容，學習時間，讓學生將獨學所得與同學交流，目的是減少教師的干預，讓學生通過自學、自思、自悟、自主交流獲取知識。

反思二：任務驅動缺失，自主學習乏方向。

有的教師認為，在學習的過程中由學生自己提出問題，然后學生在不斷地思考和交流過程中獲取知識，教師不需要干預學生的學習過程。教師的想法雖然美好，但是實際很難達到理想的效果。本節課在獨學時采用什么樣的學習方法達到什么樣的學習目標并不清楚，學生學習的任務驅動力不足。5分鐘將內容自學，還要將所得與同學交流，時間安排上并不合理。真實的學情是總分150分的數學試卷，該班八年級學生的期中、期末成績均分只不過60多分，學生僅依賴課本進行自學、自思、自悟、自主交流，無異于對學生放任自流。教師要求學生觀察書上圖形得出反比例函數性質，部分學生很可能不畫圖就貿然說出課本現成的結論，對反比例函數圖像及性質理解流于表象，忽視了反比例函數知識發生發展的脈絡，甚至是蘊含在知識內的思想方法。教與學的本質屬性是教師價值引導和學生自主建構的辯證統一，學生的自主學習，自思、自悟、自學都離不開教師必要的引導與點撥，教師須發揮組織者、引導者、合作者的作用。在本節課中，學生已經系統學習了一次函數的圖像和性質，對研究函數的一些基本方法有了一定了解，而反比例函數圖像和性質的研究方法更具有一般性和代表性，教師要悉心引導學生而不是放任學生學習自流化。學生只有在教師引導下深度學習反比例函數，才能感受到在繼一次函數的學習后在知識的學習上得到了進一步拓展，在對反比函數的理解與認識上又一次得到升華。

重構二：以問題為引擎，引導學生自主學習。

章建躍教授提出“數學教師必須在理解數學、理解學生、理解教學上狠下功夫。”[4]教師應深知數形結合是學習反比例函數圖像和性質的重要手段，學生必須經歷畫圖感受反比例函數的圖像的形成過程，據此用數學的眼光觀察、用數學的語言表達其函數圖像及性質，有關知識方能自然生成。在課堂環境中，問題會產生溫和的壓力，幫助激發學生的專注力。學生學習力的形成決不是“客觀”知識強加于個體的被灌輸的過程，而是一種充滿生命活力意義的生成探究的過程[5]。在數學教學中，教師首先應有創造性提出問題的意識和能力。教學不能照本宣科，要整合教材，精心設計問題，學生自主學習才能明確方向，提高效率。結合教材，問題可以重新設計為：請大家畫出反比例函數[y=6x]和[y=-6x]的圖像，試回答下列問題：

（1）[x]、[y]的值可以為0嗎？這個函數的圖像與[x]軸、[y]軸有交點嗎？

（2）[x]、[y]所取值的符號有什么關系？這個函數的圖像在哪幾個象限？圖像的位置與[k]有何關系？

（3）當[x]>0時，隨著[x]的增大（減小），[y]怎樣變化？當[x]<0時，隨著[x]的增大而（減小），[y]怎樣變化？這個函數的圖像與[x]軸、[y]軸的位置關系有什么特征？

（4）已知點A（-2，[y1]），B（-1，[y2]），C（2，[y3]）都在此反比例函數[y=-6x]的圖象上，比較[y1]、[y2]、[y3]的大小關系。

（5）已知[x1]<[x2]<0<[x3]，點A（[x1]，[y1]），B（[x2]，[y2]），C（[x3]，[y3]）都在函數[y=-6x]的圖象上，試比較[y1]、[y2]、[y3]的大小關系。

問題是思維的引擎。此問題鏈涵蓋了本節課的核心知識，讓學生帶著具體問題去操作、思考，主動獲取和運用知識，頻繁檢查學生理解程度，不斷發展學生學習主動性和自主學習能力。當學生在列表→描點→連線→讀圖的過程中，教師要在以下關鍵點處引導學生思考：

（1）列表時自變量和函數值左端和右端都有省略號，表明自變量和函數值的取值范圍是什么？畫圖應該如何處理？

（2）一次函數圖象是一條直線，不能因此產生認識負遷移，把反比例函數的曲線連成折線，要求學生多描幾個點，盡可能畫圖精確。

（3）一次函數圖像與反比例函數圖像相比變化有哪些？（一條變兩支，直線變為曲線，連續變間斷，與坐標軸相交變為漸近）

（4）反比例函數的增減性該如何表述？

問題是思維的源泉，有了問題學生就有思維源頭的活水。學生經歷觀察、猜想、思考等數學活動，初步認識具體的反比例函數圖象的特征，逐步明確反比例函數的整體直觀形象，借助雙曲線解決問題（1）→（3）。問題（4）數字具體，學生一般滿足于代入計算比較大小，忽略解決問題的方法多元化，教師要趁此契機，點撥學生歸納解決問題（4）的方法有以下三種：

（1）代入求值，算出具體數值比較大小。

（2）利用函數的增減性比較大小，由于[x1]<[x2]<0，函數圖像在二四象限，在每個象限隨增大而增大，從而推斷出[y2]>[y1]>0，由于[y3]<0，就可以得出[y2]>[y1]>[y3]。

（3）在平面直角坐標系中描出點A、B、C，[y1]、[y2]、[y3]在[y]軸上大小就直觀體現出來了。

多種解題方法的滲透能夠拓寬學生的思維。學習有法，學無定法，貴在得法。“在大多數情況下，數學的結果是‘看’出來的，而不是‘證’出來的，所謂的‘看’是一種直接判斷，這種判斷是建立在長期有效的觀察和思考的基礎之上。”[6]教師要特別強調第三種方法，即“數形結合”法，發展學生的數學思維能力，要求學生形中覓數，數中思形，從函數圖像中讀出背后的函數思維，看到結論背后的邏輯關系。此法遷移解決問題（5），學生再一次體會“圖形可以幫助刻畫和描述問題，一旦圖形把一個問題描述清楚，就可能使問題變得直觀、簡單”。

三、“生生”合作探究的誤區，反思及重構

誤區三：合作探究重形輕質形式化。

“在學完反比例函數圖像和性質之后，請同學們合作探究正比例函數與反比例函數的圖像和性質的區別和聯系？”教師指令一下，學生三五成群，說得熱火朝天。教師在講臺觀察學情，5分鐘后，下令“活動停止！”學生的討論立即結束，接下來，教師陸續聽取學生代表匯報。展示合作成果的主要是優秀學生。

意圖：合作探究過程中教師不插手，通過“生生”合作比較兩種函數的區別和聯系。

反思三：診斷合作過程，剖析低效緣由。

合作學習是提高學生參與度的重要手段，是群策群力解疑釋難的重要路徑，但從具體操作的情況看，存在以下三點問題：首先，合作學習時間太倉促。學生探究兩種函數圖像和性質的區別和聯系時，只用5分鐘時間，討論尚未充分。教師忽視了學生的類比能力、抽象概括的能力處于待提高狀態。在合作過程中，新問題不斷產生，學生時而“山重水復”，時而“柳暗花明。”合作活動并非完全按照教師預先設計按部就班進行，為此學生對正比例和反比例函數進行比較活動的時間長短應該由學情動態而有序轉換，不能以固定時間，甚至精確到分秒作為課堂節奏的鼓點。其次，合作學習內容難點不明確。“認知模型不僅是一種強大的教學工具，還向學生展示了帶著學習動機去完成一項任務意味著什么。”[7]換句話說，當學生面臨挑戰時，他們會更加投入，更有可能把所學的東西視為重要的，從而求知欲上升，思考動力增強。學生初學反比例函數的圖像和性質，對反比例函數增減性的辨識常與正比例函數混淆，這是難點，應該在合作問題中予以明確，使合作活動挑戰的方向清晰。第三，合作學習程序過于簡化。出示問題→直接討論→優生展示→教師展示，活動中缺失了個人獨立思考的環節，造成學生獨立思考不夠，合作參與度偏低，這與面向學生全體的教學要求相左，與不同的人數學上得到不同的發展背道而馳。不論什么活動，最終是為了促進每個學生個體機會均等，每個個體得到發展。為此，合作學習程序一般設計為：給出問題→獨立思考→分享成果→組內總結→代表發言→教師或學生評價。

重構三：重構合作問題，提升合作效率。

在學生自學而不得或考慮問題不夠全面時，合作學習是幫助學生理解、深化認知數學知識的必要手段，有其形無其神就會成為噱頭，只有將其正確應用才有真正價值。為了讓學生形成將零散的知識轉化為相互聯系、相互促進的思維模式，教師將活動流程設計如下：先獨立歸納正比例函數與反比例函數的聯系和區別，然后將自己的成果與同學交流，特別要留意它們的性質異同該如何理解和表述。

在學生自學、交流過程中，教師不是在講臺觀察學情，而是深入學生中間，洞悉學情。當學生的思維有阻塞、遺漏時擇機引導，為學生提供有啟發的指導，把學生的學習從表象思考引入深度思考，把學習活動從低效引向高效。待學生組內充分交流，再派代表全班展示交流成果，最后教師再展示圖1。優化學習成果，把相對零散、獨立的知識條理化和系統化，讓學生對分類指標有更加明晰的認識，對函數之間的辨識更加清楚，從而改進自己的總結，潛移默化地培養學生獨立歸納、類比的能力和整理復習的能力，促使學生的自我效能感螺旋上升，為后續學習二次函數積累方法。

“雙減”既是對傳統教學課堂的嚴峻挑戰，也是重構數學課堂的契機，必將推動數學教師開啟課堂尋變之旅。課堂是提質增效的主陣地，數學教學靠題海戰術提高學習效益的途徑已漸漸遠去，通過實施“自得”教學課堂，解決教師高效“教”和學生高效“學”。鐘啟泉教授指出，作為理想的教師形象，從“教的專家”走向“學的專家”乃是理所當然的[8]。“自得”數學課堂一定要正確發揮教師的主導作用，在促進學生數學學科核心素養發展上加強思考，從學習的氛圍營造、目標定位、內容抉擇、活動籌劃、進程調控、效果評價等各個方面尋求課程和教學的改進，不斷實現優教。教師的教學設計要立足學情、教情以及教材編寫情況，把課堂學習過程設計成指向問題解決的一連串活動，要挑選合理的學習路徑、知識生長路徑、思維路徑，時時給學生自得學習創造機會，引領學生真學。課堂還給學生，讓學生在學習中思考、領悟;教師變教授為啟發、引導，讓課堂成為學生的“學堂”。總之，數學課堂是立德樹人的主陣地之一，數學教師要在數學課堂真正落實“雙減”政策，必須在教學中反思，在反思后重構，追求優教真學，將自得數學課堂的理念在課堂實踐中變為現實，從而促進學生的學習力自然生長。

[參 考 文 獻]

[1]皮普斯.深度教學：運用蘇格拉底式提問法有效開展備課設計和課堂教學[M].張春依，田春芳，譯.北京：中國青年出版社，2021：49.

[2]朗.如何設計教學細節：好課堂是設計出來的[M].黃程雅淑，譯.北京：中國青年出版社，2020：14.

[3]蘇澤.人腦如何學數學[M].趙暉，等譯.上海：上海教育出版社，2019：35.

[4]章建躍.理解數學是教好數學的前提[J].數學通報，2015，54（01）：61-63.

[5]鐘啟泉.讀懂課堂[M].上海：華東師范大學出版社，2017：41.

[6]史寧中.數學思想概論·圖形與圖形關系的抽象[M].長春：東北師范大學出版社，2009：222-225

[7]馬扎諾，皮克林，赫夫爾鮑爾.高度參與的課堂：提高學生專注力的沉浸式教學[M].白潔，譯.北京：中國青年出版社，2020：27.

[8]鐘啟泉.讀懂課堂[M].上海：華東師范大學出版社，2017：168.

（責任編輯：楊紅波）

作者簡介：徐超凡（1972—），男，江蘇灌云人，灌云縣伊西九年制實驗學校高級教師，教育碩士，市數學學科帶頭人，灌云名師，研究方向：中學數學教學。

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