隨動系統的新型非奇異快速終端滑模控制

史蒂芬 侯潤民 顧曉輝 侯遠龍

南京理工大學機械工程學院，南京，210094

0 引言

永磁交流伺服電機(permanent magnet synchronous motor，PMSM)具有響應快、效率高等優良性能，廣泛應用于航天、船舶等工程應用領域[1-2]。某艦載武器位置控制伺服系統采用PMSM作為驅動電機，該控制系統中包含兩個交流伺服電機，分別控制俯仰角和方位角。位置伺服系統在工作中存在齒輪間隙、摩擦力矩、海況擾動等干擾因素。這些擾動因素對該武器目標的跟蹤精度及響應速度產生了較大影響，需要對擾動項進行估計并及時補償[3]，以達到較為理想的控制效果。

在目標跟蹤中存在脫靶量滯后等問題，為此呂明明等[4]設計了一種基于非線性跟蹤微分器和統計模型的滯后補償方法。針對跟蹤微分過程中相位延遲問題，FENG等[5]應用泰勒公式進行補償，抑制微分過程中的噪聲。滑模控制具有較優良的魯棒性，得到廣泛研究及應用[6-7]。為了提升系統響應速度，XU等[8]提出了一種非奇異快速終端滑模(non-singular fast terminal sliding mode，NFTSM)控制方法，能在有限時間內快速收斂。SHAO 等[9]提出了一種自適應回歸終端滑模控制方法，在遞歸結構中設計了非奇異快速終端滑模面和遞歸積分終端函數，能快速到達滑模面，使跟蹤誤差在有限時間內收斂到零，有效提高控制精度。非奇異快速終端滑模控制具有較強魯棒性的前提是提高切換增益，然而較大的切換增益會引起系統抖振和穩態變化，因此，需要對擾動進行實時估計并補償，避免切換增益過高。常用的方法有卡爾曼濾波補償[10]、模型參考自適應法[11]、超螺旋擴張觀測器法[12]等。

前饋人工神經網絡(artificial neural network，ANN)能夠有效逼近控制器，極大程度地簡化計算過程，通過加載非線性負載驗證動靜態性能[13]。CHAOUI等[14]提出了一種自適應神經網絡速度控制策略，該控制器的核心是徑向基函數(RBF)網絡，具有簡單的模糊型結構以及較高的學習速率。滑模控制中的抖振現象會給機械元件帶來磨損，降低控制精度，將滑模控制與自適應模糊、自適應神經網絡相結合[15-16]，能夠有效減小抖振。

本文基于泰勒公式，結合非線性函數fhan構造跟蹤微分器，并對收斂時間進行分析計算，仿真結果證明基于泰勒公式的跟蹤微分器(Taylor’s formula based tracking differentiator，TTD)能夠有效抑制噪聲，提升跟蹤精度。將ARBF+TTD與RBF分別對擾動項估計，仿真結果證明ARBF與TTD結合的方法能夠有效抑制微分峰值，精確度更高。運用MATLAB及半實物仿真平臺進行正弦跟蹤實驗，驗證了與NFTSM相比，NFTSM+ARBF控制算法動態跟蹤性能得以提升，適用于該隨動系統。

1 交流伺服電機數學模型

隨動系統的總體結構如圖1所示。首先應用旋轉變壓器測量電機軸的角位置，再應用軸角/數字轉換模塊得到相應的數字信號。通過計算機和數據采集卡完成系統的數據采集工作。控制計算機通過C++編程并傳送控制律信號。得到的控制仿真量運用伺服放大器進行伺服放大及變換，將處理好的數據輸入變頻器，應用變頻器控制交流伺服電機。

圖1 艦載隨動系統結構Fig.1 Structure of ship-borne servo system

該艦載隨動系統的控制系統性能要求如下：①方向角范圍為±101°；②俯仰角范圍為-20°～55°；③動態跟蹤誤差為0.216°(均方根誤差(RMSE)不得超過0.12°)。

系統負載較電機本身所引起的非線性更大，故可忽略電機本身產生的非線性。本文采用表貼式PMSM，在兩相靜止坐標系d-q軸上可求得數學模型：

(1)

其中，ud、uq分別為定子d-q軸的電壓分量；id、iq為定子d-q軸的電流分量；Ld、Lq分別為定子d-q軸的電感分量；ψf為轉子永磁體產生的磁鏈；R為定子電阻；p為電機極對數；J為轉動慣量；B為摩擦因數；ω為轉子角速度；Te為電磁轉矩；Ke為轉矩常數；TL為負載轉矩。采用id=0控制方法，PMSM控制系統結構如圖2所示。

圖2 PMSM控制系統結構Fig.2 Structure of PMSM servo system

電機運行過程中存在參數攝動等擾動因素，式(1)中第3式可以表示成

(2)

定義

(3)

將式(3)代入(2)，可以得到

(4)

其中，d表示擾動項，包括電機摩擦擾動、海況擾動等外部擾動。

2 基于泰勒公式的微分跟蹤器

韓京清等[17]提出的微分跟蹤器的本質是通過構造跟蹤速度的時間最優控制的動態系統來實現的，存在跟蹤速度或快或慢。也就是說，相位延遲是不可避免的。在微分過程中存在噪聲，由此有必要抑制噪聲，并對相位延遲進行補償，以提高跟蹤精度。采用離散最速控制綜合函數fhan構成的跟蹤微分器為[18]

(5)

d=hr2a0=hω(k)y=θ(k)+a0

a2=a0+sgn(a1-d)/2

sy=(sgn(y+d)-sgn(y-d))/2

a=(a0+y-a2)sy+a2

sa=(sgn(a+d)-sgn(a-d))/2

(6)

式中，h為采樣周期；r為待調整參數。

泰勒公式能夠有效補償相位延遲，提升微分跟蹤器性能，泰勒公式為

(7)

假設跟蹤信號為θ*，時間間隔為Δt，二階跟蹤微分器為

(8)

(9)

t∈[a，+∞)

證明：對式(9)求i階導，可以得到

(10)

應用泰勒公式展開θ(i)(t)，可以得到

(11)

ξ∈(t，t+Δt)

式(12)減去式(11)的絕對值為

(12)

對式(13)進行拉普拉斯變換，可以得到

(13)

式(13)可簡化為

(14)

式(14)的解為

(15)

(16)

(17)

(18)

3 非奇異快速終端滑模控制

合并為整體擾動項f后，交流伺服電機的數學模型可以表示為

(19)

(20)

終端滑模(terminal sliding mode，TSM)與非奇異終端滑模(nonsingular terminal sliding mode，NTSM)表達式分別為

(21)

根據文獻[20]，可計算出TSM和NTSM的收斂時間分別為

s=x1+α|x1|γ1sgn(x1)+β|x2|γ2sgn(x2)

(22)

α>0β>0 1<γ2<2γ1>γ2

收斂時間為

(23)

(24)

由上文證明，與FTSM相比，NFTSM具有更快的收斂速度。

4 基于ARBF的非奇異快速滑模控制

(25)

α>0β>0 1<γ2<2γ1>γ2

為了使式(20)能夠快速到達滑模面，設計控制律如下：

(26)

ieq=1+αγ1|e|γ1-1sgn(e)

(27)

ib=K1sgn(s)+K2s

(28)

對式(25)求導，得

(29)

(30)

由上可得

(31)

則有

(32)

(33)

對式(33)求導，可以得到

(34)

圖3 PMSM控制系統結構Fig.3 Structure of PMSM servo system

5 仿真驗證

5.1 MATLAB仿真

根據所設計的控制器搭建PMSM仿真模型，運用MATLAB/Simulink中的S_function模塊對自適應RBF非奇異滑模控制進行仿真。首先，應用式(6)所設計的微分跟蹤器進行微分跟蹤，參考信號為y=6sin(0.8t)，如圖4、圖5所示。

圖4 跟蹤微分器跟蹤曲線Fig.4 Tracking curve of tracking differentiator

圖5 基于泰勒公式的微分跟蹤器跟蹤曲線Fig.5 Tracking curve of TTD

由圖4可知，跟蹤微分器能夠有效抑制微分過程中的噪聲，但是存在相位延遲問題。由圖5可知，TTD能夠有效提高跟蹤精度。

應用NFTSM控制器跟蹤正弦曲線，設定該正弦曲線周期為3.768 s，幅值為±30°。分別應用NFTSM和NFTSM+ARBF+TTD兩種控制方法進行目標跟蹤實驗。跟蹤曲線以及跟蹤誤差如圖6所示。

(a)跟蹤曲線

(b)誤差曲線圖6 NFTSM正弦跟蹤曲線Fig.6 Sinusoidal tracking by NFTSM

從圖6可以看出，NFTSM在曲線頂端存在明顯抖振。將ARBF和基于泰勒公式的TTD與NFTSM相結合，跟蹤曲線如圖7a所示，抖振得到極大改善。根據誤差曲線，NFTSM最大誤差為0.4885°，而NFTSM+ARBF+TTD跟蹤曲線的最大誤差為0.1219°，跟蹤精度提升了3.98倍，魯棒性更強。根據圖7b，NFTSM+ARBF+TTD誤差曲線較為光滑，抖振問題得到有效解決。

分別應用神經網絡、ARBF對電機工作中的擾動f逼近，擾動估計如圖8所示。紅色曲線表示RBF對擾動項進行估計，可以看到在前0.2 s存在微分峰值現象。這說明應用ARBF+TTD能夠有效抑制微分峰值問題，從而提高觀測精度。

5.2 半實物仿真

(a)跟蹤曲線

(b)誤差曲線圖7 NFTSM+ARBF+TTD正弦跟蹤曲線Fig.7 Sinusoidal tracking by NFTSM+ARBF+TTD

圖8 ARBF+TTD擾動估計Fig.8 Disturbance estimation by ARBF+TTD

應用實驗室半實物仿真平臺進行仿真驗證。半實物仿真平臺結構圖及照片見圖9。首先由控制計算機將控制目標傳輸給伺服控制系統，由控制系統驅動電機運轉，應用可變轉速比減速箱實現在負載前提下的調轉。傳感器采集角度數據，并傳輸給控制計算機，從而形成閉環結構。包括摩擦力矩、轉動慣量等外部擾動，應用磁粉制動器模擬加載。將傳感器得到的參數傳遞給控制計算機，從而實現較高精度的位置環控制。

圖9 半實物仿真平臺結構Fig.9 The semi-physical simulation platform structure

半實物仿真平臺中的轉動慣量盤和磁粉制動器為加載模塊，模擬轉動慣量和摩擦力矩。實際工程實踐中的阻力力矩應用磁粉制動器進行模擬。交流伺服電機參數見表1。

減速箱采用模數為0.75的齒輪構成，需要確保減速器在工作時傳動間隙不超過0.03°。最大負載力矩約為11 N·m。 轉動慣量盤為可變模擬轉動慣量裝置，最大值為30 kg·m·s2。磁粉制動器模擬摩擦力矩為20 N·m。

圖9中的可變轉速比減速箱的結構如圖10所示。它通過在各級齒輪的轉動來達到降速的傳動目的。電機傳動作為輸入軸，帶動齒數少的齒輪轉動，依次帶動齒數多的齒輪運動，通過嚙合傳動達到減速的效果。同一個軸上安裝有不同大小的齒輪，調整相鄰不同齒輪嚙合，即可得到不同減速比的傳動。本文采用810∶1的傳動比。動力減速箱依靠一對齒輪嚙合運動，完成減速任務，其傳動比為3∶1。

表1 交流伺服電機參數Tab.1 Parameters of the PMSM

圖10 可變轉速比減速箱Fig.10 Variable speed ratio gearbox

分別應用NFTSM和NFTSM+ARBF+TTD兩種控制器跟蹤幅值為±30°、周期為4.2 s的正弦信號。跟蹤曲線如圖11所示，在前3.5 s內跟蹤誤差較大，藍色曲線更接近參考信號。跟蹤誤差如圖12所示，前 3.5 s之后趨于穩定，NFTSM跟蹤誤差最大值約為0.2373°，RMSE值為0.0975，平均誤差為0.0623°。NFTSM+ARBF+TTD控制策略的跟蹤誤差最大值為0.1404°，RMSE值為0.0735，平均誤差為0.0318°。與NFTSM相比，誤差相對較小，滿足動態跟蹤精度要求。因此，應進一步對半實物仿真平臺及控制策略進行優化。

圖11 半實物仿真正弦跟蹤曲線Fig.11 Sinusoidal tracking curve by semi-physical simulation

圖12 半實物仿真正弦跟蹤誤差Fig.12 Sinusoidal tracking error by semi-physical simulation

6 結語

(1)本文設計了基于泰勒公式的跟蹤微分器，仿真結果證明跟蹤微分器能夠有效抑制微分過程中產生的噪聲。基于泰勒公式的跟蹤微分器與傳統跟蹤微分器相比，相位延遲問題得到有效解決。

(2)應用MATLAB實現正弦跟蹤仿真實驗。實驗結果表明，對于擾動估計后的NFTSM，應用ARBF+TTD能夠有效抑制NFTSM控制中的抖振現象，跟蹤精度得到提升。同時，與RBF相比，應用ARBF+TTD使擾動項估計和微分峰值問題得以有效抑制。

(3)應用半實物仿真平臺進行正弦跟蹤實驗，實驗結果表明，NFTSM+ARBF+TTD的跟蹤性能優于NFTSM控制，這證明基于ARBF+TTD的非奇異滑模控制策略可有效提升系統動態跟蹤性能，適用于艦載位置控制伺服系統。