局域共振型平板結(jié)構(gòu)的低頻振動與聲輻射特性分析

郭 彭，周奇鄭，朱擁勇，駱子寅

（海軍工程大學(xué) 兵器工程學(xué)院，武漢 430033）

水下航行器在航行過程中不可避免地會產(chǎn)生振動與噪聲，強(qiáng)烈的振動與噪聲會影響航行器的聲隱身性能，進(jìn)而降低其生存能力，結(jié)構(gòu)輻射噪聲是航行器噪聲研究領(lǐng)域的重要分支，而其中低頻噪聲具有傳播距離遠(yuǎn)，穿透力強(qiáng)等特點(diǎn)，因而成為航行器被探測的主要聲學(xué)特征。平板結(jié)構(gòu)是航行器中最常用的基礎(chǔ)構(gòu)件之一，抑制平板結(jié)構(gòu)的低頻振動與低頻輻射噪聲對提升航行器聲隱身性能具有重要意義。

近年來，局域共振機(jī)理[1]的提出為水下航行器低頻減振降噪設(shè)計(jì)提供了新的思路。2005 年開始，聲物理學(xué)界有關(guān)局域共振結(jié)構(gòu)的前沿成果逐漸引起了國內(nèi)外減振降噪工作者的廣泛重視。王剛等[2–3]率先通過理論和實(shí)驗(yàn)研究證實(shí)了局域共振機(jī)理應(yīng)用于工程結(jié)構(gòu)低頻減振降噪的可行性，分別建立了無限周期結(jié)構(gòu)下的局域共振桿結(jié)構(gòu)、局域共振梁結(jié)構(gòu)以及局域共振板結(jié)構(gòu)，相關(guān)研究結(jié)果均表示通過在基體表面周期性附加局域共振單元形成的局域共振結(jié)構(gòu)具有帶隙特性，能夠有效抑制結(jié)構(gòu)的低頻振動。Oudich 等[4–5]通過有限元和實(shí)驗(yàn)的方法分別對局域共振型平板結(jié)構(gòu)的帶隙特性進(jìn)行了進(jìn)一步研究，并指出局域共振機(jī)理在低頻減振降噪方面的應(yīng)用前景，有限元計(jì)算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果均表明該結(jié)構(gòu)中存在著低頻帶隙。Ma等[6]通過在平板表面附加圓柱型共振單元形成了局域共振型平板結(jié)構(gòu)，并分析了其帶隙形成機(jī)理，提出了該結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)寬帶完全帶隙的設(shè)計(jì)方案。Xiao等[7]將均質(zhì)薄板作為基體并在其表面周期附加“彈簧-質(zhì)量”振子局域共振單元構(gòu)成局域共振平板結(jié)構(gòu)，利用平面波展開法計(jì)算了無限周期結(jié)構(gòu)下的局域共振平板的低頻帶隙，并得到了帶隙調(diào)控規(guī)律及其形成機(jī)理。吳健等[8]利用多頻“雙懸臂梁式”結(jié)構(gòu)代替單一類型的諧振子單元，研究了多頻局域共振型平板結(jié)構(gòu)的低頻帶隙特性及其減振性能，研究發(fā)現(xiàn)多頻局域共振平板結(jié)構(gòu)可以產(chǎn)生多個低頻帶隙，通過改變雙懸臂梁式的結(jié)構(gòu)參數(shù)可以對帶隙進(jìn)行調(diào)控。文獻(xiàn)[9]針對考慮聲振耦合下的局域共振型平板結(jié)構(gòu)的聲振特性進(jìn)行了分析，并研究了吸振器結(jié)構(gòu)參數(shù)與位置參數(shù)對該結(jié)構(gòu)低頻振動與聲輻射特性的調(diào)控規(guī)律，研究表明通過對吸振器各參數(shù)的適當(dāng)調(diào)節(jié)，可有效控制平板結(jié)構(gòu)的低頻振動與低頻輻射噪聲。

綜上所述，分析局域共振平板結(jié)構(gòu)的聲振特性對于水下航行器的低頻減振降噪設(shè)計(jì)具有重要意義，而國內(nèi)外對局域共振型平板結(jié)構(gòu)聲振特性的研究主要是針對無限大結(jié)構(gòu)，而水下航行器中的實(shí)際工程平板結(jié)構(gòu)均是有限大邊界。為此，本文通過改變邊界條件重新構(gòu)建出四邊簡支邊界條件下局域共振型平板結(jié)構(gòu)的理論計(jì)算模型，并推導(dǎo)出耦合振動方程進(jìn)而分析平板的低頻振動與聲輻射特性，然后分析元胞中吸振器固有頻率比、阻尼比、元胞種類對平板聲振特性的影響規(guī)律，最后利用粒子群算法[10]對其進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，研究結(jié)果有望為水下航行器的低頻減振降噪設(shè)計(jì)提供理論指導(dǎo)。

1 聲振特性理論計(jì)算模型

1.1 理論模型建立

為研究局域共振型平板結(jié)構(gòu)的低頻聲振特性，建立如圖1所示的理論計(jì)算模型。平板結(jié)構(gòu)為四邊簡支板，假設(shè)平板周圍為空氣介質(zhì)。在該平板上沿x和y 方向周期布置Qx和Qy個局域共振元胞，每個局域共振元胞中包含若干動力吸振器，且在平板x和y方向上的吸振器總數(shù)可分別記為M和N。該平板結(jié)構(gòu)在坐標(biāo)(x0,y0)處受到簡諧激振力F(t)=F0sinωt的作用下發(fā)生振動，分析其低頻聲振特性。

圖1 局域共振平板結(jié)構(gòu)聲振模型

圖1中平板上局域共振元胞之間的距離沿著x和y方向分別記為aj和bj，元胞中動力吸振器之間的距離沿著x和y方向分別記為ar和br，每個吸振器的坐標(biāo)可表示為(xij,yij)。

1.2 聲振特性計(jì)算方法

基于薄板Kirchhoff 假設(shè)，平板表面(x,y)處在t時刻的橫向振動位移可以用w(x,y,t)表示，簡記為w，記平板的長度為Lx、寬度為Ly、厚度為h、彈性模量為E、密度為ρ，泊松比為υ，力激勵下的局域共振型平板結(jié)構(gòu)的耦合振動方程可以表述為：

根據(jù)模態(tài)疊加法，平板的橫向振動位移可以表示為：

其中：Wmn(x,y)和pmn(t)分別為平板在四邊簡支邊界條件下的固有振型函數(shù)和相應(yīng)的模態(tài)位移。

式中：Amn和Bmn分別為平板模態(tài)位移的正弦分量和余弦分量，w為激振角頻率。

以單個動力吸振器作為研究對象，對其進(jìn)行受力分析可知吸振器對平板的反作用力同時由彈簧的反作用力Fk和阻尼的反作用力Fc組成，因此可以表示為：

式中：

其中：w(xij,yij,t)表示坐標(biāo)(xij,yij)處平板在t時刻的橫向振動位移，kij、cij和uij分別表示坐標(biāo)(xij,yij)處振子的彈簧剛度、阻尼和橫向振動位移。

其中：usij和ucij分別表示坐標(biāo)()xij,yij處吸振器橫向振動位移的正弦分量和余弦分量。

分析各吸振器與平板的耦合振動，可得到局部振動耦合方程：

其中：

將式(2)、式(5)、式(11)、式(12)代入方程式(10)，整理化簡后與方程(9)聯(lián)立，取平板結(jié)構(gòu)的前Q?Q階模態(tài)參與計(jì)算，將方程組寫成矩陣形式：

其中向量q為矩陣方程的待求未知向量：

為能夠準(zhǔn)確的對矩陣方程式(13)中的各元素進(jìn)行描述，定義如下表達(dá)式：

式中：ψrs,ij和Wmn,ij分別代表平板r′s階模態(tài)以及m′n階模態(tài)坐標(biāo)(xij,yij)處的振型函數(shù)。

矩陣Q11可以表示為一個對角矩陣和另一個普通矩陣之和的形式：

其中：

對角矩陣Λ為QQ?QQ階矩陣，對角線上元素可以表示為，該矩陣代表的是平板結(jié)構(gòu)的固有振動特性；矩陣C同樣為QQ?QQ階矩陣，該矩陣代表的是吸振器的剛度成分對平板振動特性的影響。

矩陣Q12中的元素及含義與矩陣C類似，可以表示為：

矩陣Q12為QQ?QQ階矩陣，該矩陣代表的是吸振器中的阻尼成分對平板振動特性的影響。

矩陣Q13可以表示為：

矩陣Q13為QQ?MN階矩陣，該矩陣代表的是吸振器的剛度成分對吸振器固有振動特性的影響。

矩陣Q14可以表示為：

矩陣Q14為QQ?MN階矩陣，該矩陣代表的是吸振器的阻尼成分對吸振器固有振動特性的影響。

矩陣Q33為對角矩陣，可以表示為：

對角矩陣Q33為MN?MN階矩陣，對角線上元素可以表示為KMN=mMNω2-kMN，代表的是單個吸振器的剛度成分對吸振器振動特性的影響。

矩陣Q34為與Q33類似，為對角矩陣，可以表示為：

對角矩陣Q34為MN?MN階矩陣，該矩陣代表的是單個吸振器的阻尼成分對吸振器振動特性的影響。

矩陣方程式(13)等號左側(cè)系數(shù)矩陣中其他未知矩陣與上述已知矩陣有如下對應(yīng)關(guān)系：Q21=-Q12，Q22=Q11，Q23=-Q14，Q24=Q13，Q31=QT13，Q32=QT14，Q41=-QT14，Q42=QT13，Q43=-Q34，Q44=Q33。

矩陣方程式(13)右側(cè)力向量代表的是作用在平板表面坐標(biāo)()x0,y0處簡諧激振力對平板振動特性的影響，可以表示為：

該向量為2(QQ+MN)?1 維列向量，向量中的元素為

將式(14)至式(25)代入矩陣方程式(13)，通過對矩陣方程的求解，便可以得到局域共振型平板結(jié)構(gòu)表面平均振速與激振頻率的關(guān)系函數(shù)V(ω)，進(jìn)而計(jì)算出局域共振型平板結(jié)構(gòu)表面平均振速級：

式中：V0為計(jì)算參考振速，取值為V0=5×10-8m/s。

得到局域共振型平板結(jié)構(gòu)耦合方程之后就可以利用平板的表面聲壓求得平板的輻射聲功率，即采用對結(jié)構(gòu)輻射表面聲壓與其表面振速的乘積在整個輻射表面內(nèi)進(jìn)行積分的方式進(jìn)行求解。

根據(jù)Rayleigh 積分公式，平板輻射表面在平板上方介質(zhì)中(x′,y′,z′)處的聲壓可以由如下積分形式表示：

則可以得到平板結(jié)構(gòu)的輻射聲功率積分表達(dá)式：

其中*和?分別表示復(fù)數(shù)的共軛和實(shí)部

結(jié)合式(2)可以得到平板結(jié)構(gòu)輻射聲功率的余弦和正弦分量如下：

式中：Zmn=ζmn+iχmn為聲輻射阻抗，各元素可以表示為：

其中：ζmn和χmn分別表示結(jié)構(gòu)的自輻射阻和自輻射抗。

進(jìn)一步分析可得到平板結(jié)構(gòu)的表面輻射聲功率計(jì)算表達(dá)式為：

則有聲輻射功率級：

其中取參考聲功率W0=1×10-12W。

2 理論模型求解及分析

本節(jié)針對局域共振型平板結(jié)構(gòu)的聲振模型展開研究，并給出一個理論計(jì)算的簡單算例，分別通過解析法和有限元軟件COMSOL進(jìn)行對比理論計(jì)算。

考慮算例中局域共振型平板結(jié)構(gòu)為空氣介質(zhì)中四邊簡支平板，在平板中點(diǎn)位置施加激振力，激振力的幅值為1 N，激振頻率范圍為5 Hz～300 Hz，結(jié)構(gòu)的幾何及材料參數(shù)如表1所示。其中E、ρ、υ 分別表示平板的彈性模量、密度、泊松比，Lx、Ly、h分別表示平板的長度、寬度、厚度，計(jì)算出該簡支平板結(jié)構(gòu)的前5×5階固有頻率如表2所示。

表1 平板的參數(shù)

表2 平板的前5階固有頻率/Hz

在該平板結(jié)構(gòu)表面均勻布置8×10 的吸振器陣列，假定每個吸振器的參數(shù)均相同，取吸振器的初始計(jì)算參數(shù)：質(zhì)量m=0.022 5 kg、固有頻率比λ=4.2、阻尼比ζ=0.02。分別通過解析法與有限元法計(jì)算得到平板結(jié)構(gòu)表面平均振速級曲線，并對比如圖2所示。

圖2 解析解與有限元解對比

由圖2可知，在目標(biāo)頻段解析法和有限元法得到的振速曲線均出現(xiàn)了若干共振峰和減振頻帶，且頻帶的頻率位置對應(yīng)著吸振器的固有頻率（62.87 Hz）。為有效說明解析結(jié)果和有限元結(jié)果的一致性，現(xiàn)定義兩者之間的平均誤差度為各個計(jì)算頻率位置處誤差度的數(shù)學(xué)平均值，誤差度可表述為兩者數(shù)據(jù)的差值占解析解數(shù)據(jù)的百分比，計(jì)算可得在5 Hz～300 Hz 范圍內(nèi)解析解與有限元解之間的平均誤差度僅為0.58%，具有較高的吻合度，同時各個共振峰對應(yīng)的頻率也基本相同，進(jìn)一步說明了解析計(jì)算方法的有效性。

3 低頻聲振特性研究

本節(jié)針對局域共振型平板結(jié)構(gòu)附加吸振器的固有頻率比、阻尼比及元胞種類對平板聲振特性的影響規(guī)律展開研究，假定該平板結(jié)構(gòu)的邊界條件為四邊簡支，在其表面均勻布置8×10 的吸振器陣列，吸振器的總質(zhì)量為平板質(zhì)量的1/5，考慮平板的幾何和材料參數(shù)與第2節(jié)算例相同。

將平板上附加吸振器陣列劃分為單振子元胞，分析元胞中吸振器固有頻率比λ對平板聲振特性的影響規(guī)律，取各吸振器的阻尼比ζ=0.02，此時吸振器固有頻率比指的是吸振器的固有頻率和平板(1，1)階固有頻率的比值，分別取值λ=1、λ=5.8、λ=7.4、λ=15.4，對應(yīng)的頻率分別為14.97 Hz、86.83 Hz、110.78 Hz、230.54 Hz。分別計(jì)算出吸振器不同固有頻率比下5 Hz～300 Hz范圍內(nèi)局域共振型平板結(jié)構(gòu)表面平均振速級和輻射聲功率級曲線，如圖3和圖4所示。

圖3 振子固有頻率比對平板振動特性的影響

圖4 振子固有頻率比對平板聲輻射特性的影響

由圖3和圖4可以看出平板表面附加單振子元胞后，在目標(biāo)頻段存在明顯的減振頻帶，且每個頻帶的頻率位置均對應(yīng)吸振器的固有頻率，隨吸振器固有頻率比的增大，頻帶向高頻移動且始終保持在吸振器固有頻率附近。在頻帶左側(cè)和右側(cè)的共振峰分別呈現(xiàn)出向高頻和低頻移動的規(guī)律，且峰值均有所降低，說明在平板表面布置局域共振元胞不僅僅能夠產(chǎn)生減振頻帶，還會對其他頻率位置處平板結(jié)構(gòu)共振峰的大小以及頻率位置產(chǎn)生影響。針對水下航行器的低頻減振降噪設(shè)計(jì)，可以根據(jù)振動與噪聲的頻率范圍來選擇具有相應(yīng)固有頻率的動力吸振器。

將平板上附加吸振器陣列劃分為單振子元胞，分析元胞中吸振器阻尼比ζ對平板聲振特性的影響規(guī)律，假定各吸振器的固有頻率比均為λ=5.8，吸振器阻尼比分別取值ζ=0.02、0.1、0.2。分別計(jì)算出吸振器不同阻尼比下5 Hz～300 Hz范圍內(nèi)局域共振型平板結(jié)構(gòu)表面平均振速級和輻射聲功率級曲線如圖5和圖6所示。

圖5 振子阻尼比對平板振動特性的影響

圖6 振子阻尼比對平板聲輻射特性的影響

由圖5和圖6可知，平板表面布置若干單振子元胞后，在目標(biāo)頻段出現(xiàn)了明顯的減振頻帶且對應(yīng)著吸振器的固有頻率(86.83 Hz)，隨著吸振器的阻尼比由0.02逐漸提高至0.2，吸振器對平板的反共振作用減弱，頻帶位置處的減振性能下降，頻帶被拓寬，而在整個目標(biāo)頻段曲線逐漸變得光滑，各共振峰幅值變小。因此，吸振器阻尼的大小不會改變頻帶以及各共振峰的位置，只會對頻帶處減振降噪性能以及頻帶寬度產(chǎn)生影響，并且吸振器阻尼的增大會使得整個目標(biāo)頻段平板結(jié)構(gòu)的振動均有所降低。針對水下航行器的低頻減振降噪設(shè)計(jì)，可在吸振器中適當(dāng)引入阻尼成分，保證減振降噪性能的同時，有效拓展頻帶寬度。

前文中分析了平板上附加吸振器的固有頻率比、阻尼比對平板聲振特性的影響規(guī)律，均針對單振子元胞。為進(jìn)一步研究元胞種類對平板聲振特性的影響規(guī)律，將平板上附加的吸振器陣列分別劃分為單振子、雙振子、四振子元胞，首先假定各吸振器的阻尼比均為z=0.02，并取單振子元胞中吸振器固有頻率比l=4.2，對應(yīng)的頻率為62.87 Hz；雙振子元胞中吸振器固有頻率比為：l1=4.2、l2=5.8，對應(yīng)的頻率為：62.87 Hz、86.83 Hz；四振子元胞中吸振器固有頻率比為：l1=4.2、l2=5.8、l3=7.4、l4=9.2，對應(yīng)的頻率為：62.87 Hz、86.83 Hz、110.78 Hz、137.68 Hz。分別計(jì)算出不同元胞種類下5 Hz～300 Hz范圍內(nèi)局域共振型平板結(jié)構(gòu)表面平均振速級和輻射聲功率級曲線如圖7和圖8所示。

圖7 元胞種類對平板振動特性的影響

圖8 元胞種類對平板聲輻射特性的影響

由圖7和圖8可知，在目標(biāo)頻段單振子、雙振子、四振子元胞下的平板結(jié)構(gòu)聲振曲線分別出現(xiàn)了1個、2個、4個減振頻帶，且每個頻帶的頻率位置分別對應(yīng)著元胞中各吸振器的固有頻率，在吸振器總數(shù)一定的情況下，同一個頻帶處單振子元胞的低頻減振降噪性能要高于多振子元胞。另外，由圖中可以看出減振頻帶的頻率位置只由元胞中吸振器的固有頻率決定，頻帶的數(shù)量只與元胞中吸振器的種類相關(guān)，與激振頻率的大小及共振峰的位置無關(guān)。水下航行器所產(chǎn)生的振動與噪聲可能包含著多個頻率范圍，多振子元胞的設(shè)計(jì)方式可針對不同頻率下的振動與噪聲進(jìn)行有效控制。

4 聲振特性優(yōu)化

前文分析得到了5 Hz～300 Hz范圍內(nèi)吸振器固有頻率比、阻尼比以及元胞種類對平板聲振特性的影響規(guī)律，本節(jié)將利用粒子群算法分別對單振子、雙振子、四振子元胞下的局域共振型平板結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

假設(shè)空氣介質(zhì)中的四邊簡支平板受到中點(diǎn)位置施加的激振力發(fā)生振動，激振力的幅值大小為1 N，激勵頻率范圍為5 Hz～300 Hz，空氣密度為ρ0=1.293kg/m3，聲速為c0=344 m/s。假定平板的幾何及材料參數(shù)與第2 節(jié)算例一致，在其表面均勻布置8′10 的吸振器陣列，并將吸振器陣列分別劃分為單振子、雙振子、四振子元胞，在保證吸振器總數(shù)不變的情況下，平板表面附加的吸振器總質(zhì)量為平板質(zhì)量的1/5，以此為約束條件取優(yōu)化變量分別為元胞中吸振器的固有頻率比l和阻尼比z，取目標(biāo)函數(shù)為5 Hz～300 Hz范圍內(nèi)平板表面平均振速級Lv(ω)和輻射聲功率級Lp(ω)的關(guān)系表達(dá)式J，表示如下：

其中：S為目標(biāo)頻段參與計(jì)算的頻率總數(shù)，a和b分別為分配給平板表面平均振速級和輻射聲功率級的平均值和最大值的權(quán)重系數(shù)，這里可以取a=0.4、b=0.6，并確定優(yōu)化變量的取值范圍為：

經(jīng)粒子群算法優(yōu)化后，各元胞中吸振器的固有頻率比l和阻尼比ζ優(yōu)化參數(shù)結(jié)果如表3所示。

表3 動力吸振器參數(shù)優(yōu)化結(jié)果

將優(yōu)化后各元胞中吸振器的參數(shù)代入耦合振動方程，計(jì)算出目標(biāo)頻段平板表面平均振速級和輻射聲功率級曲線如圖9和圖10所示。

圖9 優(yōu)化前后空氣中平板表面平均振速級

圖10 優(yōu)化前后空氣中平板輻射聲功率級

由圖9和圖10 可知，優(yōu)化后的局域共振型平板結(jié)構(gòu)表面平均振速級和輻射聲功率級都有所改善，尤其是對各共振峰的控制尤為明顯。基板、單振子、雙振子、四振子元胞下的目標(biāo)函數(shù)數(shù)值分別為414.49 dB、305.49 dB、291.08 dB、293.71 dB，進(jìn)而可得到單振子、雙振子、四振子元胞在目標(biāo)頻段的減振效率分別為26.3%、29.8%、29.1%，優(yōu)化后的雙振子元胞的減振效率要高于單振子、四振子元胞，但是四振子元胞存在更明顯的減振頻帶，對某些頻率下低頻振動與噪聲具有更好的控制效果。為了簡化該局域共振型平板結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)，采用雙振子元胞設(shè)計(jì)即可。

5 結(jié)語

本文嘗試將局域共振機(jī)理應(yīng)用于水下航行器的低頻減振降噪設(shè)計(jì)，以四邊簡支平板結(jié)構(gòu)為研究對象，提出在其表面均勻布置局域共振元胞的低頻減振降噪方法，構(gòu)建了動力學(xué)模型并推導(dǎo)出其耦合振動方程，采用模態(tài)疊加法和諧波平衡法導(dǎo)出了耦合振動方程的解析解；分析了元胞中吸振器固有頻率比、阻尼比、元胞種類對平板聲振特性的影響規(guī)律；采用粒子群算法對5 Hz～300 Hz范圍內(nèi)局域共振型平板結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，得到以下主要結(jié)論：

（1）局域共振型平板結(jié)構(gòu)在目標(biāo)頻段能夠產(chǎn)生抑制其低頻振動與噪聲的頻帶，且頻帶的頻率位置與元胞中吸振器的固有頻率對應(yīng)。

（2）隨著吸振器阻尼的增大削弱了吸振器對平板的反振動作用，拓寬了減振頻帶的同時使頻帶處減振降噪性能減弱。

（3）多振子元胞較單振子元胞具有多個減振頻帶，頻帶的疊加作用使得多振子元胞具有更優(yōu)越的低頻減振降噪性能。

（4）經(jīng)粒子群算法優(yōu)化后，在目標(biāo)頻段單振子、雙振子、四振子元胞的減振降噪效率分別可達(dá)到26.3%、29.8%、29.1%。

通過改變元胞中吸振器的各結(jié)構(gòu)參數(shù)可調(diào)控局域共振型簡支平板結(jié)構(gòu)的低頻減振降噪性能，研究結(jié)果可為水下航行器的低頻減振降噪設(shè)計(jì)提供參考。