數學“轉化思想”的教學

摘 要：在當前的課程改革中，基于培養學生的核心素養，對學生的學習能力要求越來越高. 授之以魚，不如授之以漁.讓學生認識、理解數學思想方法是新課程的任務，讓學生學會使用這些思想方法是我們教學的一項重要目標.本文從以下三個方面論述了轉化思想的教學：（1）正確理解轉化思想的內涵是有效使用轉化思想的基礎;（2）明晰轉化思想的使用原則是有效使用轉化思想進行解題的有效保證;（3）明晰轉化思想的形式內容是準確運用轉化思想的重要條件.

關鍵詞：轉化思想;新課程改革;數學思想方法

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2022）02-0002-03

作者簡介：張麗敏（1983.9-），女，福建省建寧縣人，本科，中學一級教師，從事中學數學教學研究.

在當前的課程改革中，基于培養學生的核心素養，對學生的學習能力要求越來越高. 授之以魚，不如授之以漁.讓學生認識、理解數學思想方法是新課程的任務，讓學生學會使用這些思想方法是我們教學的一項重要目標.

數學轉化思想是初中階段學生需要學習的最重要、最基本、同時也是應用最普遍的數學思想之一.那么，在初中階段，應當怎樣實施“轉化思想”的教學任務呢？

1 準確理解轉化思想的內涵是有效運用轉化思想的根本

轉化思想源于普通的數學知識，但是又凌駕于普通的數學知識之上，所以，在教學時應該注意滲透知識蘊含的思想方法，并且在掌握了必要知識的前提下，對相應的思想方法做出恰當的歸納.包括：（1）由繁雜到簡單;（2）由困難到容易;（3）由未知到已知.即把一個陌生的、不熟悉的、相對繁雜的、需要處理的新問題，經過恰當的轉換，化歸為一個熟諳的、簡單的或已經處理了的舊問題，這就是轉化思想. 所以，我們也稱轉化思想為化歸思想.

2 明晰轉化思想的使用原則是有效使用轉化思想進行解題的保證

2.1 將隱蔽性的條件轉化成數學語言并清楚地表述出來

例如：在分析應用題中的銷售問題時，往往要用到這樣的等量關系：利潤=收入-成本、收入=銷售量×售價、單件利潤=售價-進價等等，而這些等量關系一般不會在題中直接體現，這時候就需要自己明晰這些隱藏的關系.在幾何題中也時常會碰到必須轉化隱藏條件的情況，如：已知等腰△ABC兩條邊分別為4cm和9厘米，求△ABC的周長.本來按分類討論的思想第三邊為4cm或9cm，但圖形為三角形，應考慮隱藏條件：任意兩邊之和大于第三邊，若第三邊長為4cm，則不滿足三邊關系，所以第三邊只能為9cm，周長22cm.又如對頂角、公共角、公共邊，均屬于隱藏條件，通過觀察圖像，推出角相等或邊相等，用符號表述.

2.2 盡可能地直觀、形象

把信息盡可能轉化成圖形、示意圖，并用醒目的符號進行標記，使已知、未知及其之間的關系一目了然，從而使思維更加簡捷、直觀.

比如求證：等腰三角形兩條腰上的高相等. 結合已知條件“一個三角形是等腰三角形，兩條腰上各有一條高”，畫出一個等腰△ ABC及腰AB、AC上的高CD、BE，并結合圖形寫出已知： 在等腰 △ABC中，CD⊥AB交AB于點D、BE⊥AC交AC于點E.求證： CD=BE.又如線段或角的和差倍數求解，按要求畫出圖形，結合條件在相應圖形上做出長度或角度的標記，就便于觀察、進行直觀判斷.尤其涉及幾何綜合題，面對復雜多變的條件，將條件在圖形中進行標記就更有必要了.

2.3 善于聯想

根據題目所給的條件，首先想起（1）與題目有關聯的概念、定理、性質、規律等基礎知識和基本解法;（2）猜到或許要用的解題策略;（3）想到已經解過的題型;（4）想到與題目相似的、甚至是相反的信息，達到將新問題轉化為已經解決過的舊問題的目的.其次進行類比的手法，采用特殊化或者一般化等途徑分析新問題，從而得到處理新問題的要領，以解決新問題.

例如2019年福建省中考數學試題第24題：如圖1，四邊形ABCD內接于⊙O，AB=AC，點F在BD的延長線上，DF=DC，AC⊥BD，垂足為E，連接AF、CF，AF=10，BC=4.

（1）求證：∠BAC=2∠CAD;

（2）求tan∠BAD的值;

綜合2.1;2.2，使用思維導圖對本題涉及的基本知識、解法、解題方向、題型等展開聯想：

學生對題目理解困難的重要原因之一就在于不會整理信息并展開聯想，第（1）小題，以建立方程為解題方向，結合思維導圖，觀察角的隱藏條件，如同弧所對圓周角相等，三角形內角和180度并在圖形中標記，綜合聯想到的有關角互余和等弦等角或等腰三角形兩底角相等的結論，確定角之間的和差倍數關系，列出方程，進行化簡即得兩角的二倍關系;第（2）小題，根據條件及圖形判斷∠BAD沒有在直角三角形中出現，已知的直角三角形中也沒有和它相等的角，所以必須構造∠BAD所在的直角三角形，于是引出輔助線：過D點作DG⊥AB于點G，構造直角三角形AGD，運用相交弦得比例式或面積法列方程求解相關線段長度，最后根據正切函數的定義求值.

所以，聯想是突破思維瓶頸的有效方式，根據聯想的內容進行整合，綜合把握可以有效突破難題.

2.4 爭取化繁為簡

如果題目給的條件或結論中出現結構比較復雜的內容，就要先用簡便形式體現，再用簡潔的語言展示出來，使條件或結論簡化.

如銷售問題，由于涉及大量數據，如果不能簡化信息，閱讀時會存在一定的困難甚至出錯，用表格形式整理信息就很有必要.列舉出不同物品的進價、標價、售價、銷售量、利潤，使數據按類別排列，達到化繁為簡的目的，量與量之間的關系在表中也一目了然，再結合

2.1中提到的運用隱藏的等量關系，易得方程.又如運輸問題：某公司在甲、乙兩倉庫分別存放一種原料240噸和210噸.（1）如果運出甲倉庫所存原料的60%，乙倉庫所存原料的40%，求從甲乙兩倉庫共運出原料多少噸;（2）公司需要將甲、乙兩倉庫共300噸原料運往工廠，其中甲倉庫運出m噸，從甲、乙兩倉庫到工廠的運價分別為120元/噸和100元/噸.求總運費（用含m的代數式表示）.（1）相對簡單，（2）條件不進行簡化整理則不易理清條件關系，以（2）為例簡化如下表：

2.5 重視解后研究

歸納解答一道題目的經驗，思考該題是不是可以拓廣，解法是否可以推廣？能運用在其他題目上嗎？若能，拓廣出的新內容則又轉化成了新的結論，也加強了學生對轉化思想的了解、促進了使用轉化思想的能力提升，進一步達到解一題通一類的目的.例如在2.3善于聯想中提到2019福建省中考數學試題第24題，通過進一步思考，可以歸納出：圓或多邊形的問題通常通過添加輔助線，轉化為特殊四邊形或三角形，而求解線段或角度的問題就是構建方程，達到解決這一類問題的目的.也正是因為之前對相應類型題的解后研究，提供該題的思路.

3 明晰轉化思想的形式內容是準確運用轉化思想的重要條件

3.1 局部轉化

即將題目中的條件或結論進行逐步轉化，一般分為順推轉化和逆推轉化.

順推轉化即轉化已知條件，推出結論.例如求證：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.證明思路即是通過將“對角線互相垂直”的條件推導轉化為“一組鄰邊相等”，從而利用菱形的定義證出該命題成立.

逆推轉化即轉化結論為新問題，通過解新問題得出最終結論.例如已知x+y=7，xy=2，1x+1y的值是多少？從問題出發，將原式進行通分，化為分母是xy，分子是x+y的分式，再將對應值整體代入即得.如果題目比較復雜，也可以兩種方式結合使用.

3.2 整體轉化

將舊問題細化為若干個新的問題，只要將這些新問題解決了，原來的舊問題也就解決了.例如：在平面直角坐標系中，已知△ABC的三個頂點坐標A（3，6）、B（1，2）、C（6，5），求△ABC的面積.

條件是各個頂點的坐標，要求是三角形的面積.如果直接求解，容易使用勾股定理求出各條邊的具體長度，但是難以求出邊上的高，所以不易直接求出面積，這時候怎么辦呢？轉換思路：在△ABC的外部構造矩形DBEF，將條件中三個頂點坐標轉化成矩形的長、寬及Rt△ADB、Rt△BEC、Rt△AFC中直角邊的長度，將要求的問題△ABC的面積轉化成求矩形DBEF、Rt△ADB、Rt△BEC、Rt△AFC的面積，再用矩形DBEF的面積減去三個直角三角形的面積和即得△ABC的面積.

轉化的過程可以表現在不同的層次上，也可以表現在不同內容之間，比如代數與幾何之間，有的就出現在解決某個具體問題的過程中.

總之，轉化思想方法（也稱化歸思想方法）幾乎時時刻刻存在于每個問題當中.數學轉化思想的教學也不是一時半刻就能完成的，需要教師們結合教材的具體內容反復進行教學指導，需要學生不斷努力學習才能真正掌握.

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[責任編輯：李 璟]

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