能量空間裂紋轉子振動特性與診斷研究

劉軍， 張宇， 汪暢， 張冕

(1.天津市先進機電系統設計與智能控制重點實驗室， 天津 300384；2.機電工程國家級實驗教學示范中心(天津理工大學)， 天津 300384)

高速旋轉機械在工業生產中有著舉足輕重的地位，而轉子作為旋轉機械的重要組成部分，往往工作在惡劣的條件下，加之運行時所受到的周期性交變載荷及轉子本身的材料缺陷，容易伴隨著裂紋的萌生與擴展，若不及時發現，會造成轉子的斷裂或系統運行停止等損失，嚴重了甚至會危及生命。多年前，裂紋轉子動力學特性吸引了國內外研究者的廣泛關注，針對裂紋轉子數學模型的構建、裂紋轉子系統的振動特性分析和裂紋診斷等開展了大量的研究，形成了較為完善的裂紋轉子理論體系。

Arem等[1]采用簡化裂紋數學模型，將裂紋簡化成2個由集中質量非線性彎曲彈簧連接的無裂紋剛性桿模型，并進行了理論分析。Shudeifat等[2]以裂紋轉子系統為研究對象，基于單位時變剛度矩陣等特征，對時變剛度裂紋轉子的動力學特性進行分析。Liu 等[3]利用開閉映射法研究了轉速、不均勻質量、扁平性等參數對裂紋開閉特性的影響。Xiang等[4]綜合考慮裂紋和碰摩等故障和油膜支撐的非線性，著重研究了耦合故障的轉子模型渦動軌跡特征及各故障之間的耦合效應。Hamid等[5]討論了2個裂紋同時存在時裂紋深度、位置和相對角位置等特征對系統振動特性的影響。Anuj等[6]建立了含有非對稱項的多轉子系統的動態數學模型，研究了非對稱剛度對多轉子系統參數不穩定性的影響。Shudeifat等[7]分析了連續加速和減速2種瞬態情況下裂紋對轉子系統前向進動與后向進動的影響。Cavalini等[8]以雙轉子為研究對象，通過理論分析，對含裂紋轉軸的非線性振動進行了研究。Hou等[9]以裂紋轉子系統為研究對象，研究了1/2和1/3亞諧波共振的局部分岔特性，討論了模態特性和裂紋呼吸對系統動態響應的影響。

在裂紋故障診斷及監測方面，主要有基于動力學模型和響應信號的2種方式[10]進行診斷。Chandra等[11]比較了短時傅立葉變換(STFT)、連續小波變換(CWT)和希爾伯特-黃變換(HHT)3種信號處理工具的檢測性能。Liu等[12]利用HHT能量譜分析在裂紋轉子的瞬態振動信號下研究了裂紋故障診斷，通過理論分析與實驗驗證發現該方法在早期裂紋信號檢測上優于小波分析方法。Liu等[13]基于非線性輸出頻率響應函數，提出了一種轉子裂紋檢測與量化準則，放大轉子振動特性對裂紋的敏感影響。Rodrigo等[14]采用近似熵算法，對模擬得到的裂紋信號，實現了轉軸的裂紋檢測。目前，鮮有文獻從能量觀點對裂紋轉子振動特性及裂紋診斷進行分析和研究。Liu等[15]引入能量軌道遷移、能量Poincare映射、能量軌跡穩定性和能量供給函數等概念，分析了雙轉子系統的非線性振動特性。但是，該研究并未對裂紋轉子進行系統分析。

針對研究中存在的上述問題，基于振動能量空間，本文提出了振動能量分析方法，并與相空間分析相結合，研究了不同臨界轉速區域在能量空間的轉子振動特性，轉子系統不同參數對非線性振動特性及振動能量軌道變化規律的影響；基于提出能量軌道、能量FFT和能量軌道畸變等概念，研究不同裂紋和非線性等參數對系統振動特性的影響，相關實驗驗證了裂紋轉子的能量FFT和軌道畸變。研究結果表明能量FFT和能量軌道畸變規律能夠更適合診斷轉子的裂紋故障，為分析裂紋轉子系統振動響應和故障診斷提供了一種方法。

1 裂紋轉子模型及動力學方程

為體現提出方法的可行性，選用Jeffcott模型，并取裂紋靠近圓盤附近，裂紋最大深度為a，圓盤質量偏心e。當轉軸一端支撐選用單列深溝球軸承時，轉子支撐恢復力會出現復雜的非線性項[16]，并引起系統非線性振動現象。

1.1 轉子系統的數學模型

轉子模型如圖1，并導入直角坐標系O-XYZ。由于轉子系統水平放置，在重力的作用下，x方向會產生一定程度的撓曲變形r。

圖1 裂紋轉子模型Fig.1 Cracked rotor model

轉子系統的動力學方程表示為：

(1)

式中：m為圓盤質量；c為阻尼系數；k為無裂紋彈性轉子系統的剛度系數；ω為旋轉速度；φ為不平衡方向初始相位角。

1.2 裂紋轉子的剛度模型

裂紋參數在轉子坐標系的關系如圖2所示，重力作用下轉子產生彎曲變形，會影響裂紋開閉。

圖2 裂紋參數在轉子坐標系的關系Fig.2 Relationship of crack parameters in coordinate system

設裂紋位置設定靠近圓盤，且裂紋張開角度充分，在旋轉坐標系中，隨著裂紋張開，裂紋方向的剛度值會大大降低，即剛度變化主要體現在ξ方向的剛度變化量Δk，η方向的剛度變化量影響較小可忽略不計。故裂紋的剛度矩陣方程可表示為：

(2)

式中f(θ)為裂紋開閉函數。

1.3 裂紋模型

裂紋模型要反映裂紋在轉子運行中全開、全閉及變化過程，并保持各過程中合理的持續時間。在此選用裂紋混合模型，其函數表達式[17]：

(3)

式中：θ=ωt+φ+β-φ,α為裂紋張開角度的一半。

1.4 非線性彈簧恢復力數學模型

當轉軸一端支撐使用單列深溝球軸承時，由于內環對滾珠運動限制，支撐恢復力會產生特性不同的非線性項，其恢復力引起的能量方程為：

β40x4+β31x3y1+β22x2y2+β13x1y3+β04y4

(4)

通過能量方程(4)對x與y方向的導數，得出轉子系統的非線性項表達式[16]表示為：

(5)

1.5 無量綱非線性裂紋轉子動力學方程

為了計算及研究方便，對轉子動力學方程(1)進行無量綱處理，變換參數為：

變量無量綱處理后，為簡化將各變量上標“-”省略，并將式(2)、(3)和(5)導入，裂紋轉子系統的動力學方程為：

(6)

2 相空間與能量空間中振動特性分析

2.1 轉子的振動特性理論解的誘導

設該系統的動力學方程解表示為：

(7)

基于諧波平衡法，利用Mathematics代入系統動力學方程(6)，經過三角函數簡化整理得到：

(8)

式中：f1、f2為常數項系數；f3、f4為ω成分系數，f5、f6為ω/2成分系數。

2.2 線性裂紋轉子的振動能量特性分析

將裂紋轉子在旋轉坐標系中的剛度矩陣式(2)代入勢量方程V=kx2/2，可得到其在旋轉坐標中的能量方程為：

(9)

將式(9)轉化到直角坐標系中，可得到裂紋轉子系統在直角坐標系下的能量方程：

(10)

基于式(10)，通過數值仿真，做出該系統振動能量變化的時間歷程圖、能量FFT圖、能量龐加萊圖以及能量軌道圖，分析振動能量隨時間的變化關系、分析能量成分、能量的變化周期以及闡述能量軌道的變化規律，以上稱作在振動能量空間中對系統的振動特性分析，即在振動能量空間中基于能量變化規律解釋裂紋轉子的振動特性。

圖3 裂紋轉子振動響應曲線(線性)Fig.3 Vibration response curve of the linear cracked rotor

在ω=0.49時能量空間中的時間歷程圖、頻譜圖、龐加萊映射圖及能量軌道，如圖4所示。圖4(a)和4(b)為超諧波共振時振動能量變化的時間歷程和龐加萊映射圖，表明了裂紋轉子的振動特性變化規律。圖4(a)能量變化值出現2種成分的周期振動，圖4(b)能量龐加萊映射中2點落在能量軌跡平面上，即此時轉子振動能量呈二倍周期規律變化。圖4(c)表示能量頻譜圖，結果可以分析出，轉子在振動過程中，能量變化的主要頻率為ω和2ω成分。圖4(d)為轉子能量在x-y方向的投影軌道變化。

圖4 能量空間特性分析(超諧波共振)Fig.4 Analyses of energy change characteristics in the vicinity of the secondary critical speed

在ω=0.99附近時能量變化的時間歷程圖、頻譜圖、龐加萊映射圖及能量軌跡圖，如圖5所示。圖5(a)和5(b) 表示主諧波共振附近振動能量的時間歷程和龐加萊映射圖。圖5(a)顯示能量變化為單周期變化，圖5(b)表示龐加萊映射一點落在能量軌跡平面上，即轉子在振動時能量呈單周期規律變化。圖5(c)為能量頻譜圖，分析得到振動能量頻率變化主要為ω成分，并且出現了很小的2ω成分。圖5(d)為轉子的振動能量軌道在x-y方向的投影軌跡變化。基于振動能量頻譜和軌道分析，在一定程度上能清晰的反映出裂紋的影響。

圖5 主諧波共振能量變化特性分析(線性)Fig.5 Analyses of energy change characteristics in the vicinity of the major critical speed (linear)

2.3 非線性裂紋轉子的能量特性分析

圖6 非線性裂紋轉子振動響應曲線Fig.6 Vibration response curves of the nonlinear cracked rotor

在ω=0.68超諧波共振附近，圖7(a) 和7(b)為振動能量變化的時間歷程和龐加萊映射圖。圖7(a)顯示能量變化出現2種不同頻率的周期振動，圖7(b)中龐加萊映射有2點落在能量軌跡平面上，即轉子的振動能量呈二倍周期規律變化。圖7(c)為能量頻譜圖，分析得到系統的振動能量頻率主要為ω和2ω成分，還有很小的3ω成分。圖7(d)為轉子能量軌道在x-y方向的投影軌跡，突顯非線性的影響。

圖7 超諧波共振能量變化特性分析Fig.7 Analyses of energy change characteristics in the vicinity of the secondary critical speed

在ω=1.26主諧波共振附近，圖8(a)和8(b)為振動能量變化的時間歷程和龐加萊映射圖。分析可知，圖8(a)振動能量的變化已經不再是簡單的單周期振動。圖8(b)中龐加萊映射為有2點落在能量軌跡平面上。圖8(c)顯示振動能量頻譜圖，振動能量的主要頻率是ω和2ω成分，3ω成分也十分明顯。圖8(d)表示轉子能量軌道在x-y方向的投影軌跡，顯不規則橢圓型。

在ω=2.83 1/2次亞諧波共振附近，圖9(a)和9(b) 為振動能量變化的時間歷程和龐加萊映射圖。分析可知，圖9(a)振動能量變化顯示為二倍周期變化，圖9(b)中龐加萊映射為兩點落在能量軌跡平面上，與圖9(a)相對應。圖9(c)顯示振動能量頻譜圖，出現了明顯的1/2ω、ω和3/2ω成分，很小的2ω成分。圖9(d)表示轉子振動能量軌道在x-y方向的投影軌跡，顯不規則軌跡。

圖9 1/2次亞諧波能量變化特性分析Fig.9 Analyses of energy change characteristics in the vicinity of the subharmonic of order 1/2 critical speed

通過振動能量空間分析結果分析可知，不同區域能量頻譜分析在一定程度上加強了超諧波成份，2ω成份更加顯著。

2.4 裂紋轉子的相頻譜與能量頻譜對比

由于裂紋檢測的一個重要標識在于振動特征的變化，如果能在高轉速區發現超諧波成份，有利于裂紋檢測。基于上述分析，無論是在主諧波共振附近或是1/2次亞諧波共振附近，能量頻譜中的超諧波成分都比相空間振動信號分析更加明顯。變化不同裂紋深度、相對位置及非線性系數等參數時，振動頻譜與振動能量頻譜對比及分析證明該觀點。

2.4.1 裂紋深度的變化

取不同Δk值表示裂紋深度的變化。裂紋深度變化時，非線性裂紋轉子系統的振動響應曲線，如圖10所示。隨著裂紋加深，無論是在1/2次亞諧波共振和主諧波共振附近，振幅值都相對增加，主諧波附近會出現解的分化和下沉，如同圖6所示的變化。1/2次亞諧波共振會向高速方向推移。在主諧波共振附近以轉速ω=1.26時得到的振動與振動能量頻譜圖，如圖11所示。隨著裂紋的加深，圖11(a)中ω成分略有升高,而2ω成分幾乎不可見。而圖11(b)中，隨著裂紋的加深，除ω成分略升高外，還可以看到明顯的2ω成分，并出現3ω成分。在1/2次亞諧波共振附近ω=2.83時得到的振動與振動能量頻譜圖，如圖12所示。隨著裂紋的加深，圖12(a)中ω成分略有升高，而圖12(b)與圖12(a)相比，同樣2ω成分更加明顯，并出現3ω成分。

圖10 不同裂紋深度振動響應曲線Fig.10 Vibration response curves under different crack depths

圖11 主諧波共振隨著裂紋加深的頻譜分析Fig.11 Frequency spectrum analyses with crack depths in the vicinity of the major critical speed

圖12 1/2次亞諧波隨著裂紋加深的頻譜分析Fig.12 Frequency spectrum analyses with crack depths in the vicinity of the subharmonic of order 1/2 critical speed

2.4.2 裂紋與偏心位置的變化

隨著裂紋與質量偏心的相對位置β角的增加，在主諧波共振ω=1.26附近的振動與振動能量頻譜圖，如圖13所示。隨著β角的增加，圖13(a)中ω成分略有降低，而2ω成分幾乎不可見。圖13(b) 中，除ω成分略有降低，還可以看到明顯的2ω成分，并出現3ω成分。在1/2次亞諧波共振附近ω=2.83時得到的振動與振動能量頻譜圖，如圖14所示。隨著β的增加，圖14(a)中1/2ω成分保持，ω成分略有降低。圖14(b)與圖14(a)相比，3/2ω和2ω成分明顯。

圖13 主諧波共振隨著相對角增加的頻譜分析Fig.13 Frequency analyses with the increase of relative angles in the vicinity of the major critical speed

圖14 1/2次亞諧波隨著相對角增加的頻譜分析Fig.14 Frequency analyses with the increase of relative angles in the vicinity of the subharmonic of order 1/2 critical speed

2.4.3 非線性參數的變化

圖15 主諧波共振不同非線性參數下的頻譜分析Fig.15 Spectrum analyses under different nonlinearities in the vicinity of the major critical speed

圖16 1/2次亞諧波不同非線性參數下的頻譜分析Fig.16 Spectrum analyses under different nonlinearities in the vicinity of the subharmonic of order 1/2 critical speed

綜上，隨著不同參數變化在主諧波共振及1/2次亞諧波共振附近的振動能量頻譜圖中可以明顯的發現超諧波共振成分。

3 基于能量軌道的裂紋診斷研究

基于系統的能量空間，研究裂紋轉子的能量軌道變化，找出裂紋參數影響下能量軌道的變化規律，可以完善對系統的振動特性分析及診斷。

研究能量方程(10)發現，能量V是由不同頻率成分的能量疊加的結果。為了更直觀的研究振動能量變化，將能量變化在三維能量空間V-X-Y中進行描點，稱為振動能量軌道，其中X和Y數值序列可通過V分別在X和Y軸投影獲得。

3.1 不同裂紋深度引發能量軌道變化(主諧波共振)

隨著Δk的變化，主諧波共振ω=1.26附近的振動能量軌道變化，如圖17所示。圖17(a)為三維能量軌道。從中可分析出，裂紋軌道為兩邊對折的封閉曲面。裂紋的加深使得能量對折處一邊升高，并向兩側傾斜膨脹，即裂紋越深，能量軌道幅值越大，振動越激烈。圖17(b)為振動能量軌道在x-y方向的投影。當Δk=0.05時，投影為一個帶有凹陷的橢圓；當Δk=0.1時，凹陷明顯變緩，但軌道旋轉并擴展；當Δk=0.15時，凹陷處軌跡更加向外擴展。

圖17 主諧波共振裂紋深度對能量軌道的影響Fig.17 The influence of energy tracks with crack depths in the vicinity of the major critical speed

3.2 不同裂紋參數引發能量軌道變化(亞諧波共振)

隨著Δk的變化，亞諧波共振ω=2.83附近的振動能量軌道變化，如圖18所示。圖18(a)為三維能量軌道。從中可分析出，裂紋軌道呈傾斜的封閉曲面。隨著裂紋深度Δk的增大，曲面越傾斜，幅值也相對增加，即裂紋越深，能量軌道幅值越大。圖18(b)為振動能量軌道在x-y方向的投影。當Δk=0.05時，投影為有一個凹陷的圓面；當Δk=0.1時，圓面凹陷處上方向內收縮；當Δk=0.15時凹陷處已經明顯收縮為“凸”字形，這一發現可以為裂紋的檢測提供新的軌道畸變依據。

圖18 1/2次亞諧波裂紋深度對能量軌道的影響Fig.18 The influence of energy tracks with crack depths in the vicinity of the subharmonic of order 1/2 critical speed

3.3 實驗驗證

構建了實驗裝置，如圖19所示。水平支撐且材料為不銹鋼的轉子系統，其長度和直徑分別為700 mm和12 mm。圓盤安裝在軸的中心位置，直徑和厚度分別為300 mm和15 mm。采用2個激光傳感器從2個正交方向測量圓盤的徑向位移，得到轉子系統的振動響應。轉子上裂紋的制作是利用激光切割轉軸1.5 mm深的細窄縫，其位置在圓盤附近。通過實驗，裂紋轉子系統的主諧波共振為800 r/min。

圖19 實驗裝置Fig.19 Experimental setup

在主諧波共振附近轉子系統振動能量的時間歷程、FFT和相應振動能量軌道變化，如圖20所示。

圖20 實驗結果(主諧波共振)Fig.20 Experimental results(the major critical speed)

圖20(a)表示此刻振動能量周期變化的時間歷程。圖20(b)顯示此時振動能量FFT中明顯觀察到2ω和ω成分。圖20(c)顯示3D振動能量軌跡呈對折形狀的閉合曲面。

4 結論

1)能量空間分析方法可實現系統振動特性分析。裂紋轉子在高轉速時，在振動能量空間分析中超諧波2ω成分保存更加明顯，特別有利于在高轉速條件下對裂紋進行檢測。

2)在各諧波共振附近，能量軌道呈對折曲面。在主諧波共振和1/2次亞諧波共振附近，呈傾斜曲面，其X-Y平面上投影中隨裂紋加深而呈現出“凹”和“凸”字形，且裂紋變化會引起振動能量軌道的旋轉，即利用能量軌道變化可以對裂紋轉子的參數變化進行定性分析。

3)實驗驗證了振動能量空間分析方法的正確。