基于雙層代理模型的概率-區間潮流計算及靈敏度分析

王晨旭 唐 飛 劉滌塵 高 鑫 周依希

基于雙層代理模型的概率-區間潮流計算及靈敏度分析

王晨旭1唐 飛1劉滌塵1高 鑫1周依希2

（1. 武漢大學電氣與自動化學院 武漢 430072 2. 國網浙江省電力有限公司杭州供電公司 杭州 310000）

隨著電力系統中不確定量日益復雜，同時存在的隨機與區間變量使得采用概率或區間潮流計算難以準確獲取系統的運行狀態。為此，提出一種基于雙層代理模型的概率-區間潮流計算方法。該方法僅需較少次數的確定性潮流計算便可實現上、下層代理模型的構建，進而通過代理模型求解概率-區間潮流常規求解方法中所需要的大量確定性潮流計算，可實現輸出變量的快速獲取。此外，該文還提出了用于描述輸出變量特征的靈敏度指標，并結合所提出的雙層代理模型開展靈敏度分析，以量化輸入區間變量對輸出變量的影響程度。在IEEE 118節點系統中進行算例分析，通過與已有方法對比驗證了所提方法的精確性和快速性，借助靈敏度分析可識別對輸出變量具有顯著影響的關鍵區間變量，有助于揭示系統運行狀態與區間變量之間的關系。

不確定潮流 隨機變量 區間變量 代理模型 靈敏度分析

0 引言

電力系統運行中存在諸多不確定性因素[1]，例如負荷需求、線路故障等。隨著以風電和光伏為代表的可再生能源大規模并網，系統運行的不確定性進一步增加[2]。因此，有必要采用適當的模型來表示各類不確定性因素，并利用不確定潮流計算對系統運行特性進行分析，從而更加準確地掌握系統的運行狀態。

根據不確定量建模方式的不同，常用不確定潮流計算方法包括兩種：概率潮流[3]和區間潮流[4]。概率潮流計算將輸入不確定量描述為隨機變量，進而采用模擬法[5]、點估計法[6]、解析法[7-8]和多項式混沌展開法[9]等獲取輸出變量的概率分布。區間潮流計算將輸入不確定量描述為區間變量，通過仿射法[10-11]和區間泰勒展開法[12]等方法獲得輸出變量的上、下邊界。然而，隨著系統的復雜性增加，隨機與區間變量往往同時存在。若采用概率潮流分析，則需假設區間變量的概率分布，導致所得結果不夠準確；若采用區間潮流分析，則需丟棄隨機變量的統計信息，造成對系統狀態的保守估計。因此，需要研究能夠同時考慮隨機和區間變量的不確定潮流計算方法，即概率-區間潮流。

當隨機與區間變量同時存在時，系統輸出變量的波動范圍為其最大、最小概率分布所圍成的區域，即概率盒[13]。目前僅有少量關于概率-區間潮流計算方法的研究。文獻[14]提出基于證據理論概率-區間潮流模型，并將其轉換為多個區間潮流進行求解。文獻[15]提出一種雙層抽樣法，該方法利用外層和內層抽樣分別處理隨機和區間變量，從而通過大量確定性潮流計算實現概率-區間潮流的求解。文獻[16]將配電網中分布式電源出力和負荷需求分別視作隨機和區間變量，并提出了一種基于仿射線性三相潮流的近似方法求取輸出變量。文獻[17]提出一種基于聚類的解析算法，該方法通過在統一最優場景下進行概率潮流計算，可快速且精確地求取單個輸出變量的概率盒。針對電-氣聯合系統中隨機與區間變量共存，文獻[18]提出一種基于多項式混沌展開的概率-區間能量流計算方法。

雖然當前概率-區間潮流研究取得了一定的成果，但仍存在以下不足：一方面，算法的計算效率仍有待提升。例如雙層抽樣法需要進行超過106次確定性潮流計算才能得到準確的結果；基于聚類的解析算法雖然在求取單個輸出變量時效率較高，但運行人員往往需要了解多個節點電壓或多條支路潮流的狀態。另一方面，現有研究側重于如何獲取輸出變量的概率盒。然而，當系統中包含多個區間變量時會引起輸出變量的波動范圍較大，導致運行人員難以對系統運行狀態作出準確判斷。因此，有必要開展靈敏度分析來量化系統中各區間變量的影響程度，從而識別出影響系統狀態的關鍵因素[19-20]。

針對上述不足，本文提出一種基于雙層代理模型的概率-區間潮流計算方法。在所提方法中，上層代理采用徑向基函數（Radial Basis Function, RBF）模型來近似系統非線性潮流方程，從而能夠快速獲得輸出變量的邊界值；基于上層代理所得結果，下層代理采用稀疏多項式混沌展開模型（sparse Polynomial Chaos Expansion, sPCE）構建輸入隨機變量與輸出變量邊界值的關系。本文所提出的雙層代理模型僅需要較少次數的確定性潮流計算便可構建，進而快速求取輸出變量的概率盒。此外，本文還提出了用于描述概率盒特征的靈敏度指標，并結合雙層代理模型開展靈敏度分析來量化輸入區間變量對輸出變量概率盒的影響程度。通過在IEEE 118節點系統中進行算例分析，驗證了所提方法的精確性和快速性。

4.2 產品研發投入不足 產品研發缺乏持續的資金支持，對不同土壤條件犁體適應性、關鍵部件耐用性、進一步提高整機作業性能等方面沒有持續深入的研究；農機企業已形成“行業興起—模仿抄襲—高速增長—產能過?！睈盒园l展模式，導致企業更不愿意進行研發投入，產品更新換代慢，跟不上市場發展需求。

1 不確定變量模型

在含大規模風電的電力系統中，風電出力與負荷的不確定性對系統的優化運行和穩定性產生顯著影響[2]。對于負荷，其波動范圍較小，預測誤差通?？梢圆捎谜龖B分布來表示。對于風電出力，由于受到風速、風向等天氣因素的影響，其波動范圍較負荷更大，且預測誤差的概率分布難以獲得?；谏鲜鲈?，本文將負荷需求和風電出力分別表示為隨機變量和區間變量。

通常有功負荷需求的波動性可采用正態分布描述，即

圖1 區間變量的相關性

對于風電出力Y和Y，若忽略二者相關性，則兩個風電場出力的聯合采樣區域為黑色實線所圍成矩形AECF。當二者相關時，所構成的區域為點畫線所圍成的平行四邊形ABCD，且相關性系數可表示為

平行四邊形ABCD所圍成的聯合采樣區域[22]可表示為

式中，直線的斜率1、2和常數1～4由區間變量Y和Y的寬度及其相關性系數決定。

2 概率-區間潮流模型

假設系統中輸入變量包含維隨機變量和維區間變量。在潮流計算中，輸出變量與輸入變量之間的非線性關系可以簡寫為

式中，R=[1XX]T為維隨機變量；I=[1YY]T為維區間變量；為節點電壓和支路功率，也稱為輸出響應；(·)為由潮流方程決定的輸出、輸入變量之間的函數關系。

由于式（4）中同時存在隨機變量與區間變量，難以直接通過概率潮流或區間潮流方法進行求解。當前，雙層抽樣法[15]是求解概率-區間潮流最直接的方法。該方法分別在外層和內層對隨機變量和區間變量進行抽樣，并將樣本代入到非線性潮流方程中進行求解。雙層抽樣法的計算步驟總結如下：

不是嗎，無限無知的宇宙，似乎天然就內在具有一種毫不猶豫的“生命指向”，在一切可能的極度艱辛中一旦有縫隙，就會“石上開花”、生命問世。沒有生命的宇宙無法證明其自身的“在”與“不在”，因此，從植物到微生物到昆蟲到動物等等，生命以它層層遞進的宏大與渺小，讓這不被思索的無限廣宇在知與不知的替換中，得到思索追溯。

式中，輸出響應采用標量表示，代表系統中任一節點電壓或支路功率。

（2）在內層對維區間變量I進行抽樣，得到樣本矩陣I，其中為內層抽樣次數；將隨機變量的樣本R與區間變量樣本I結合并代入（5）中可得

在實際應用中，對于式（14）中的PCE模型，通常需要設置其最高展開階數，將其表示為有限項截斷逼近模型，即

皮膚的微細結構就像磚墻，皮脂和結締組織就是灰泥，皮脂膜呢，就是石灰和乳膠漆。皮脂膜不足，就好像磚墻外露了。要保證這個“磚墻”外觀好看且功能良好，就要避免皮脂膜的減少。

（6）對于系統中每個輸入區間變量，重復步驟（3）～步驟（5），并結合式（22）得到各區間變量對輸入變量概率盒的貢獻度。

結晶巖孔壁安全度高，但鉆遇斷裂帶、裂隙帶、破碎帶或低強度帶等時，如有漏失，則漏失壓力低(密度上限一般低于1 g/cm3)，調節泥漿密度難以滿足壓力，一般需采用空氣鉆井或堵漏措施；同時其坍塌壓力高(密度下限一般高于2.5 g/cm3)，調節泥漿密度難以滿足應力平衡要求，一般會通過坍塌擴徑釋放局部壓力至應力重新平衡，為了維護孔壁安全，宜采用固壁或造壁技術護壁。

圖2 輸出變量Z的概率盒

3 基于雙層代理模型的概率-區間潮流

近年來，代理模型被廣泛應用于多類電力系統不確定性量化分析中。常用的代理模型包括RBF模型和sPCE模型。本文以上層代理模型近似非線性潮流方程，由于需要同時考慮輸入隨機與區間變量，可采用RBF模型來構建；以下層代理模型近似輸入隨機變量與輸出變量邊界值的關系，此時僅需要考慮輸入隨機變量，可采用sPCE模型構建。

3.1 上層代理模型

RBF代理模型也稱為RBF神經網絡，是一種基于多變量插值原理的前饋型神經網絡，具有以任意精度逼近任意連續函數的能力，可應用于負荷與新能源預測[23-24]和潮流計算[25]?？紤]輸入變量為維隨機變量和維區間變量，輸出變量為任一節點電壓或支路功率，則RBF代理模型的結構如圖3所示。輸入層包括+個神經元，對應于輸入變量的維數；隱含層包含個神經元，采用RBF作為激勵函數；輸出層對應于系統節點電壓或支路功率。

圖3 RBF代理模型

隱含層中RBF一般選擇高斯函數形式，即

6、特別注意抓好幼苗期蟲害防治（播種的當天，5厘地的苗床用50g敵百蟲加少量水溶解后，拌玉米粉2-2.5公斤撒于苗床上及四周防蟋蟀，施藥后遇雨要重新施藥，或用舊塑膜在苗床四周建1米高的圍欄防蟲，效果較用藥更好）。

基于圖3中RBF代理模型結構，可將輸出響應表示為

式中，w為輸出層權值，表示第個隱含層神經元對輸出響應的貢獻。

采用RBF代理模型來近似非線性潮流方程時，其精度取決于隱含層神經元的中心和擴展常數。為了提高構建代理模型的速度，本文以精確擬合法[25]來構建RBF模型。該方法將隱含層神經元的個數設置為輸入向量的個數，從而使RBF模型能夠以零誤差擬合輸入與輸出之間的關系。

式中，()為由第個輸入向量通過非線性潮流計算得到的輸出響應。進一步將式（9）寫為矩陣形式，即

(5)中國農村地區收入不平等顯現了一定的空間聚集性，收入不平等更多地聚集在城鎮化發展較快的城市集群區域，但城市群內部的要素分布并不均衡。從1986—2014年，城市群與非城市群的內部收入不平等解釋了總的地區收入不平等的97%以上，且非城市群與城市群農村地區收入不平等從36.7∶62.0上升到2014年24.5∶72.9，地區內部收入不平等進一步集中在城市群地區，側面說明當前形成的城市群并沒有有效緩解區域內部的收入不平等。因此，制定政策時要避免勞動力、資本等要素過度集中到城市群核心區域，應引導資本向城市群邊緣村莊流動，這是縮小農村居民收入不平等的關鍵。

根據式（7）～式（10）可知，當RBF模型中神經元的個數確定后，該模型輸出層權值受到擴展常數的影響，因此，其擬合精度也隨著選取的擴展常數不同而有所差別。擴展常數越大，RBF模型逼近曲線越光滑，但過大的擴展常數會導致模型欠缺選擇性；擴展常數過小時，模型的逼近效果較差。因此，本文采用交叉驗證誤差（Cross-Validation Error, CVE）[26]來確定合適的擴展常數。該方法每次使用輸入向量中-1個向量來構建RBF模型，并將剩余的1個輸入向量作為驗證計算所得模型的誤差，通過次計算得到誤差的期望值。CVE的定義為

在確定隱含層神經元的中心、擴展常數與輸出層權值后便可得到如式（8）所示的RBF模型，從而快速地估計輸出變量的邊界值。采用雙層抽樣生成輸入向量，外層對隨機變量R進行抽樣得到輸入向量中前個元素，內層對區間變量I進行抽樣得到剩余的個元素，則輸入向量可表示為

式中，RBF和RBF分別為外層、內層的抽樣次數。輸出變量的邊界值可以表示為

RS、GPS和GIS等現代技術的應用有助于提升土地利用現狀的調查質量與精度，借助這些高新技術與平臺所建立的土地利用變更分析與管理系統也可大大滿足我國土地資源日常管理的需要。本文借助3S技術，設計并實現了基于SuperMap Object的土地利用變更分析與管理系統，該系統的應用實例表明，其能夠有效滿足土地利用變更調查工作需求，值得廣泛應用推廣。

采用RBF模型進行RBF×RBF次計算得到輸出邊界值URBF=[U1…U…URBF]T和L RBF=[L1…L…LRBF]T。相較于確定性潮流計算，RBF模型僅需將輸入變量樣本代入其中即可得到輸出響應，可極大地提高計算效率。需要指出的是，雖然將RBF代理模型與雙層抽樣結合能夠得到輸出變量邊界值的樣本，倘若所需計算的樣本數量過多將會使總計算時間增加。因此，需要構建下層代理模型以進一步提升計算效率。

3.2 下層代理模型

多項式混沌展開（Polynomial Chaos Expansion, PCE）是將輸入隨機變量和輸出響應之間關系以一組正交多項式展開和的形式來近似表達。該模型被廣泛應用于概率潮流計算[9,27]和全局靈敏度分析[19-20]。在構建PCE模型時，要求輸入隨機變量之間相互獨立，因此首先需要通過Nataf變換[6]將具有相關性的輸入隨機變量R=[1…X…X]T轉換為獨立的標準正態分布隨機變量，即R=[1…ξ…ξ]T。同樣地，要將輸入隨機變量樣本矩陣RRBF轉換為樣本矩陣RRBF。在此情況下，可采用各輸入變量對應的正交多項式混沌展開來逼近輸出響應，即

式中，OC和OD分別為線段OC和OD的長度。

多變量多項式基函數Ψ()可以通過單變量多項式的張量積求取，即

式中，φ(ξ)為變量ξ的第i階正交多項式。通常，各輸入變量對應的正交多項式取決于該變量的分布類型，本文中服從正態分布的輸入變量對應的最優基函數為Hermite多項式。其他常見的連續型概率分布及其對應正交多項式體系可見文獻[19]。

基于邊界值U和L構建輸出變量的概率盒如圖2所示。輸出變量最大概率分布max()和最小概率分布min()分別代表其下邊界和上邊界的概率分布。由圖可知，輸出變量的波動范圍是由最大、最小概率分布所圍成的區域。在概率-區間潮流中，輸出變量越限事件＜limit發生的概率為區間[Prmin, Prmax]。因此，相較于概率潮流計算，概率-區間潮流的優勢在于當系統中某些節點注入功率的概率分布難以準確獲取時，可將其視作區間變量，從而能夠估計出輸出變量超過其限值的最大、最小概率。

截斷后逼近模型的展開項數為

一般地，最高展開階數取值越大，多項式展開逼近精度越高，但展開項數也會相應增加。在工程問題中，通常取2～3即可獲得較高的計算精度，在本文中取=2。將式（16）采用向量形式表示為

為求解PCE模型中待求展開系數，需要利用上層RBF模型所得結果，即隨機變量樣本RRBF及其所對應的輸出變量最大值樣本U RBF，進而采用最小二乘法求解待定系數為

式中，為獨立隨機變量R的第個樣本。為保證求解精度，通常取樣本數量為2～3。由樣本系數的計算表達式可知，當輸入隨機變量個數增大時，待定系數個數也隨之快速增大，導致上層代理模型的計算量較大。由于PCE模型具有稀疏性，為了提高構建模型的效率，文獻[27]提出在具有少量輸入樣本的情況下采用壓縮感知技術實現展開系數的快速計算，從而構建sPCE模型。該方法基本思想是忽略對輸出響應影響較小的展開項，僅考慮對于輸出響應具有較大影響的展開項?；谡归_系數向量的稀疏性，可以通過如下的優化問題進行展開系數的求解。

式中，||||0為待求系數向量中非零元素的數量。通過求解式（20），使得在給定較少的樣本下能夠得到一組含非零項最少的展開系數向量，從而構建sPCE模型。式（20）中優化問題可采用正交匹配追蹤算法來求解，文獻[20, 27]給出了該算法的詳細步驟，本文不再贅述。

問卷調查結果顯示，159例用藥患者中吸煙、飲酒者分別為60例(37.7%)和52例(32.7%)；女性為97例(61.0%)，男性為62例(39.0%)。

3.3 靈敏度分析

在概率-區間潮流中輸出變量以概率盒的形式表示，其波動范圍處于最大、最小值概率分布之間。然而，當最大、最小值概率分布所涵蓋的波動范圍較大，則會導致其難以為運行人員提供關于系統運行狀態有價值的信息。因此，需要通過開展靈敏度分析辨識出對特定輸出變量影響較大的輸入區間變量，以便采取措施減小其波動范圍。定義描述輸出變量概率盒的波動范圍的平均距離指標為

這也意味著，教材尤其是高校教材絕不是抄抄寫寫的簡單工作，而是一件復雜而有創造性的工作。甚至，編教材有時候比科研還難，因為寫論文只需要明確表達自己的觀點就夠了，編寫教材需要綜合考慮多方面的因素，如讀者的情趣與能力，教學的要求與師生的要求以及與相關學科的關系等。

式中，U和L為輸出變量的第組上、下邊界值。

本節采用IEEE 118節點系統驗證所提方法的有效性。將系統中各節點有功負荷視作隨機變量，且服從正態分布，期望值為原系統負荷值[28]，標準差為期望值的5%。將系統分為兩個區域，區域1包含節點1～60，區域2包含節點61～118。同一區域內負荷之間的相關性系數為0.6，不同區域內負荷之間相關性系數為0.4。系統中接入八個風電場，將其分為兩組，各組風電場接入節點及參數設置見表1。對于風電場的相關性，考慮以下兩個場景：①場景1中不同風電出力之間相互獨立；②場景2中同組風電出力之間的相關性系數為0.5，不同組風電出力之間相互獨立。

對于輸入區間變量相互獨立的情形，區間變量Y取其中間值時，其余區間變量的波動范圍未受影響，此時，ADIC僅包含變量Y對輸出變量概率盒的貢獻度。對于輸入區間變量具有相關性的情形，根據圖1所示平行四邊形模型，區間變量Y取其中間值時，與其相關的區間變量波動范圍需要滿足式（3），此時，ADIC包含變量Y及其相關性對輸出變量概率盒的貢獻度。

需要指出的是，本研究雖側重于分析輸入區間變量對輸出變量概率盒的影響，但所提出的雙層代理模型也可用于輸入隨機變量的靈敏度分析。這是因為在下層代理中利用sPCE模型建立了輸入隨機變量與輸出變量邊界值之間的關系。sPCE模型可結合用于輸入隨機變量靈敏度計算的Sobol分解[19]，準確且快速地得到各輸入隨機變量對輸出響應的貢獻度。利用sPCE模型開展輸入隨機變量靈敏度分析的具體步驟可參考文獻[19-20]。

4 算法流程

本文所提出的基于雙層代理模型的概率-區間潮流計算及其靈敏度分析的計算流程如下：

（1）數據輸入。包括電力系統潮流計算所需參數，輸入隨機變量R的分布參數及相關性系數，輸入區間變量I的邊界值參數及相關性系數。

以2016年膠東半島耕地總面積115.95萬hm2為準，依據面積比例進行平差，最終得出各耕地地力等級面積，見表3。其中，一、二級地為高產田，占耕地總面積的38.21%；三、四級地為中產田，占耕地總面積的34.61%；五、六級地為低產田，占耕地總面積的27.18%。

（2）構建RBF模型。根據輸入變量R和I生成個樣本向量=[1……]T，并將各向量代入非線性潮流方程(·)中得到相應的輸出響應()=[(1)…()…()]T，進而通過式（9）～式（11）求解RBF代理模型s(·)中輸出層的權值。

（3）基于RBF模型計算輸出變量的邊界值。采用拉丁超立方抽樣生成對應隨機變量R的維獨立標準正態分布變量R的樣本矩陣RRBF，并將其經逆Nataf變換為R的樣本矩陣。將RRBF與區間變量樣本矩陣IRBF通過式（12）進行組合，并代入式（13）中獲取輸出變量的邊界值向量URBF和LRBF。

通過對不同囤養階段下三種規格的雌性中華絨螯蟹體肉脂含量和脂肪酸的分析，發現中華絨螯蟹在囤養階段體肉脂含量和脂肪酸之間均存在顯著差異。這可能是由于囤養前選擇的蟹本身存在生長階段的差異，以及飼料品質、環境因素和蟹活動情況等因素密切關聯。三種規格的雌性中華絨螯蟹體肉在囤養第 4階段檢測出的脂肪酸種類最低，此時已不適合繼續囤養。以ω3/ω6和EPA+DHA值為評價指標，囤養第二階段對人體健康更有利，且一級蟹囤養效果更佳；以油酸含量為評價指標，囤養第2階段體肉營養品質較好。

（4）構建sPCE模型?；诰S獨立標準正態分布變量R的樣本矩陣RRBF以及輸出變量的邊界值向量U RBF和L RBF，采用正交匹配追蹤算法計算展開系數，得到sPCE模型U s(·)和L s(·)。

5 算例分析

5.1 算例設置

式中，ADI為區間變量Y的取中間值時輸出變量的平均距離。

表1 風電場參數設置

Tab.1 Parameters of wind farms

為了驗證本文所提方法的有效性，對如下三種算法進行對比測試：①雙層抽樣法（Double Layer Monte Carlo Simulation, DLMCS）[15]。以該方法所得結果作為對比依據，將其外層、內層抽樣次數均設置為2 000次，因此需要4×106次非線性潮流計算。②基于聚類的解析法（Clustering-based Analytical Method, CAM）[17]。將CAM中聚類個數設置為4個，該方法能夠快速且精確地獲取單個輸出變量的概率盒。③本文方法，即雙層代理模型法（Double Layer Surrogate Method, DLSM）。算例分析利用Matlab R2020a平臺進行編程實現，程序運行的硬件環境為：R7-4750U，基準頻率1.7GHz，內存為16GB。

“大隊胡人走了，留下了五個，他們在路邊堆了個雪人，雪人有一人多高。我暗暗納罕，難道胡人也是小孩心性，要堆雪人打雪仗？

在本文所提方法中通過上層RBF模型s(·)來獲取輸出變量的邊界值樣本，進而將其用于下層代理模型的構建。這意味著由RBF模型所得邊界值樣本將直接決定所提方法的精確性。定義邊界值平均誤差η對邊界值樣本的精度進行定量分析。

式中，上標“”可為上、下邊界值；s,和DLMCS分別為通過代理模型和DLMCS所得輸出變量的邊界值樣本；為所得邊界值樣本的數量。

跨境電商是通過網絡完成產品的銷售，產品從售前、售中、售后都是在網上通過客戶服務人員完成的，面對全球的客戶，這就要求對客戶的服務意識很強。由于我國在外貿方面的人才短缺，外貿企業在電商中選拔出優秀的客戶服務人員很難，只能選擇懂英語、了解電商運營的人員完成客戶服務工作，但是這些人員知識單純的對產品咨詢進行相應的服務，在對客戶的態度或是服務上還存在一定的欠缺，缺少銷售人員應當具備的素質，服務意識缺乏。

對于所得輸出變量的概率盒，定義相對誤差e指標來定量分析其準確性，e為

式中，為輸出變量的統計矩，一般為期望值和標準差；M和DLMCS分別為通過待評估方法和DLMCS計算所得結果。由于同一類型的輸出往往包含多個變量，采用同一類變量相對誤差的平均值來表示結果的精確性。因此，分別采用U,mean和L,mean表示輸出變量最大、最小值的相對誤差。

5.2 上層代理模型精度驗證

本節首先驗證采用RBF模型求出輸出變量邊界值的精確性。所用測試系統包含99個隨機變量（有功負荷），8個區間變量（風電出力）。因此，在構建RBF模型中輸入向量的維度為107。將RBF代理模型中神經元的數量設置為500，即產生500個隨機變量與區間變量樣本作為徑向基函數的中心，進而采用式（11）中CVE指標來選取合適的擴展常數。

以支路有功功率1-2為例，圖4給出了不同擴展常數下該變量的CVE指標。可以看出，當擴展常數小于0.5×104時，RBF模型擬合精度較差；而當擴展常數超過6×104后，RBF模型的擬合精度具有波動性，且呈現誤差逐漸增大的趨勢。當擴展常數為2.5×104時，所對應的CVE指標較低，因此本文選擇該值作為用作RBF模型構建的擴展常數。

圖4 不同擴展常數下的CVE

利用所構建的RBF模型可獲取輸出變量邊界值樣本，為驗證其在精確性上的優勢，將其與3.2節所介紹的sPCE模型進行對比。選取sPCE模型作為對比方法的原因是其已被廣泛地應用于多類電力系統不確定性量化問題[20, 27]，能夠以較高精度近似表示非線性潮流方程中輸入和輸出變量之間的關系。在構建sPCE模型時需將系統中所包含的區間變量視作均勻分布的隨機變量，并以潮流輸出變量作為輸出響應。將sPCE模型中最高展開階數設置為2，輸入隨機變量的數量為107個，則待求解的系數為5 886項。與構建RBF代理模型類似，采用500個樣本來求解sPCE模型的展開項系數。

利用所得RBF模型和sPCE模型來獲取輸出變量的邊界值，并以DLMCS所得結果為標準計算兩種代理模型的平均誤差。圖5給出了場景1中通過兩種代理模型所得支路有功功率上、下邊界值的平均誤差（測試系統中包含186條支路）。對比兩種代理模型所得結果的誤差，可以發現RBF模型在計算精度上要高于sPCE模型，尤其是對于編號90～130支路，兩者之間的精度具有明顯差異。兩種模型最大誤差均發生在編號107支路，由RBF模型所得上、下邊界值最大誤差分別為0.126MW和0.176MW，而sPCE模型所得最大誤差分別為1.074MW和1.305MW。此外，RBF模型所對應的邊界值誤差還呈現兩個規律：一方面上、下邊界值的誤差相近，說明該模型對于求取輸出變量上、下邊界具有相似的精度；另一方面，不同輸出變量的擬合精度有差異，例如編號30～55支路的誤差較小，而編號90～130支路的誤差較大，這是由于后者受輸入區間變量的影響而波動范圍較大，使得RBF模型的精度略有下降。

圖5 不同代理模型所得結果的邊界值誤差

對于sPCE模型，由于其待求展開項系數較多，通過少量樣本所構建的代理模型能夠較為精確地擬合輸出變量的整體分布，但難以保證所得輸出變量邊界值的準確性。對于RBF模型，其待求的輸出層權重與樣本數量一致，通過擴展常數的優化選取可使其較為精確地求取實輸出變量邊界值。因此，在本文中將其作為上層代理模型是合理的。

5.3 輸出變量概率盒精度驗證

在5.2節中已驗證了RBF模型獲取輸出變量邊界值的精確性?；谶吔缰禈颖究蓸嫿ㄏ聦哟砟Ｐ?，進而得到雙層代理模型，即DLSM。對于下層所采用的sPCE模型，設置其最高展開階數為2，由于系統中存在99個隨機變量，則待求解的系數包含5 050項。基于多項式混沌展開的稀疏特性，采用RBF模型產生500個邊界值樣本用于sPCE模型展開系數的求解。

為驗證DLSM所得輸出變量概率盒的精確性，采用CAM作為對比方法，以DLMCS所得結果作為標準，得到DLSM和CAM所得結果的相對誤差見表2。由結果可知，在場景1和2中DLSM均能夠取得與CAM相接近的計算精度。通過DLSM所得各類輸出變量的期望值和標準差的相對誤差均小于1%和2%，說明了所提方法能夠較為精確地獲取輸出變量的概率盒。此外，DLSM的相對誤差結果還呈現出三個規律：①同一場景中輸出變量的上、下邊界值的相對誤差相近，表明了所提方法在求取輸出變量上、下邊界時具有相似的精度；②同一類型輸出變量邊界值的相對誤差在場景1和場景2中非常接近，說明所提方法的計算精度不受是否考慮區間變量相關性的影響；③支路無功功率期望值的相對誤差大于其余三種類型輸出變量，這是因為系統中PV節點無功出力使得代理模擬在近似輸入變量與支路無功功率之間的關系時精度有所降低。

圖6～圖8給出了在場景1和2中通過DLMCS和DLSM所得變量33、47-49和68-116的概率盒，選取上述變量進行分析的依據是：一方面這些變量與系統中輸入區間變量所在節點鄰近，受到區間變量的影響較大，可驗證所提方法求取波動較大變量的計算精度；另一方面，變量33和68-116不僅受到輸入變量的影響，還受到鄰近PV節點無功出力的影響，使得其與輸入變量之間的關系更為復雜，可驗證所提方法在求取該類變量時的穩健性。

表2 輸出變量邊界值的相對誤差

Tab.2 Relative errors of output variables’ boundaries

圖6 節點33電壓幅值的概率盒

圖7 支路47-49有功功率的概率盒

圖8 支路68-116無功功率的概率盒

同一變量的概率盒包含最大、最小兩條概率曲線。以DLMCS所得曲線（圖中實線）作為準確結果，可以發現在場景1和場景2中由DLSM所得曲線（圖中虛線）均與準確曲線非常接近。該結果表明了所提方法能夠以較高的精度獲取輸出變量概率盒。由局部放大圖可知，所得變量33和68-116分布曲線的精度要低于變量47-49，其原因在于節點電壓與支路無功功率不僅與輸入變量有關，還與PV節點的無功出力有關，使得代理模型在曲線局部的擬合精度略有下降。此外，同一輸出變量在場景2中的概率盒被包含在場景1所得結果中，說明了輸出變量最大、最小概率分布曲線之間的距離與區間變量有關，且當區間變量具有相關性時會導致輸出變量概率盒變窄。

概率-區間潮流所得結果可用于分析系統中節點電壓或支路功率的越限概率。表3給出了不同輸出變量越限概率。由結果可知，在場景1和場景2中，通過DLSM所得變量越限概率與DLMCS和CAM的結果相近。當考慮區間變量相關性時，由于輸出變量的概率盒變窄，其越限概率區間也相應地變窄。例如，變量47-49小于-20MW的概率區間寬度從場景1中0.798減少至場景2中0.602。上述結果說明了在實際應用中考慮區間變量相關性的必要性，即避免對系統輸出變量的保守估計，從而有利于運行人員做出更具針對性的決策。

表3 變量越限概率區間

Tab.3 Probability intervals of constraint violations

5.4 靈敏度分析結果

采用本文所提DLSM，并結合式（21）和式（22）所示指標對區間變量進行靈敏度分析。圖9給出了場景1中，即區間變量相互獨立時，系統中8個區間變量（以表示，下標代表該變量所在節點）對不同輸出變量概率盒的影響程度。由結果可知，對于不同的輸出變量，影響其概率盒的最關鍵因素是不同的。例如，對于變量23-24而言，對其具有最大影響的變量為27；而對于變量82-96具有最大影響的變量為100。引起該現象的主要原因是不同節點之間的電氣距離存在差異。在特定節點引入的區間變量往往對與其電氣聯系較為緊密的節點和支路影響較大。根據靈敏度分析結果可以將區間變量按照其貢獻度大小進行排序。以輸出變量75-118為例，可得到排序為：100＞90＞80＞116＞27＞45＞15＞35，其中排序前4位的區間變量的貢獻度占據主導。

圖9 場景1中輸入區間變量的平均距離指標貢獻度

為了驗證本文方法所得區間變量貢獻度排序的正確性，將其與另外兩種方法所得結果進行對比。對比方法一采用文獻[29]提出的Bhattacharyya距離貢獻度（以下簡稱BDIC）。該方法利用輸出變量的最大、最小概率密度曲線的重疊面積來表征各區間變量的貢獻度。某一輸入區間變量所對應的BDIC越大，表明其對輸出變量的影響程度越大。BDIC的定義及其具體計算步驟可見文獻[29]。對比方法二采用輸出變量越限概率區間寬度作為靈敏度指標。在該方法中，當某一區間變量被設置為其中間值時，輸出變量越限概率區間的寬度會減少，因此，可利用其反映該區間變量的影響大小。去除某輸入區間變量后輸出變量的越限概率區間寬度越大，表明該區間變量對輸出變量的影響程度越小。

不同方法所得區間變量貢獻度結果與排序見表4。其中，對于越限概率寬度指標來說，當各輸入區間變量都存在時變量75-118＜35MW的概率為[0.229, 0.968]，該區間的寬度為0.739。由結果可以看出，基于本文所提出的平均距離指標、BDIC和越限概率區間寬度所得到的區間變量排序是一致的，從而驗證了本文所提出的靈敏度指標的合理性。需要指出的是，本文所提出的平均距離指標可直接通過輸出變量樣本計算得到，而BDIC的計算則需要利用積分，因此，前者的計算更加方便快速。

表4 不同方法的靈敏度分析結果

Tab.4 Sensitivity analysis results of different methods

圖10給出了場景2下，即考慮區間變量相關性時，系統中區間變量對不同輸出變量概率盒的影響程度。相較于圖8中的結果，考慮相關性會使得各區間變量對輸出變量概率盒的貢獻度增加。這是因為當計及區間變量相關性時，區間變量Y取其中間值時，其余區間變量的波動范圍需要滿足圖1所示平行四邊形模型。此時，ADIC表示的變量Y及與其具有相關性的區間變量對輸出變量概率盒的貢獻度之和。

圖10 場景2中輸入區間變量的平均距離指標貢獻度

相較于場景1，考慮區間變量相關性后各變量貢獻度的排序略有變化，占據主要貢獻度的變量是相同的。對于輸出變量75-118，場景2中區間變量的排序為：100＞90＞80＞116＞27＞35＞45＞15，排序后3位的變量發生變化，而排序前4位的變量與場景1相同。對于場景1和場景2中占據主要貢獻度的變量是相同的這一現象可結合圖6～圖8中曲線進行解釋。雖然輸出變量的概率盒在計及區間變量相關性后變窄，但其減少程度占據整體波動范圍的比例仍較小。因此，相較于相關性，區間變量本身的波動范圍是影響輸出變量的主要因素。此外，考慮相關性后使得原本具有較大影響區間變量的貢獻度進一步增加，更加突出其對輸出變量的影響程度。

區間變量貢獻度排序結果可為電力系統規劃和運行提供新的視角。例如，為了減少變量75-118的波動范圍可以提高節點100、90、80和116處風電場功率預測精度或者安裝儲能裝置抑制其出力的不確定性。通過上述措施還可減少變量77-78和82-96的波動范圍，但對于變量23-24和49-69影響較小。

5.5 計算效率對比

本小節對DLMCS、CAM和DLSM的計算效率進行對比。對于所提DLSM，其總耗時total由構建上、下層代理模型RBF和sPCE構成。RBF包含了次非線性潮流計算、擴展系數求取及進行RBF×RBF次評估的時間。sPCE包含展開系數求解與進行次評估的時間。sPCE與輸出變量的個數有關，可進一步表示為sPCE=sPCE，其中sPCE表示對單個輸出變量構建sPCE模型及評估所需時間；表示輸出變量的個數。

以系統中所有PQ節點的電壓幅值（共64個PQ節點）作為輸出變量，三種方法所需計算時間見表5。由結果可知，DLMCS由于需要進行4×106次確定性潮流計算，所需計算時間最多。CAM在獲取單個變量概率盒時僅需27.1s，但隨著輸出變量個數的增加，其計算效率也有所下降。本文所提DLSM相較于DLMCS和CAM計算效率分別提升約126倍和14倍。對于DLSM來說，僅在構建上層代理模型時需要進行少量的非線性潮流計算，并且上層代理模型得到輸入隨機變量和輸出變量邊界值樣本后，下層代理模型僅需要sPCE=1.48s（94.7/64）便可獲得單個輸出變量的概率盒。因此，所提方法在輸出變量較多時效率方面具有更為明顯的優勢。

表5 不同方法的計算效率

Tab.5 The computational burden of different methods

6 結論

本文針對電力系統中隨機與區間變量共存時的不確定潮流計算問題，提出一種基于雙層代理模型的概率-區間潮流計算方法，并基于所提方法開展了對輸入區間變量的靈敏度分析。通過算例分析驗證了所提方法的精確性和快速性，得到主要結論如下：

1）驗證了RBF模型能夠以較高的精度近似非線性潮流方程中輸入變量與輸出響應的關系，較為精確地獲取輸出響應邊界值。該代理模型是本文所提方法計算精度與效率的關鍵所在。

2）在計算精度方面，本文所提出的DLSM能夠準確地獲取輸出變量的概率盒，且計算誤差與CAM相近；在計算效率方面，DLSM相較于DLMCS和CAM均有較大幅度的提升，且在輸出變量較多時具有更為明顯的優勢。

3）通過靈敏度分析可識別出對輸出變量影響較大的區間變量，并得到其貢獻度排序。對于特定輸出變量，考慮區間變量相關性與否會引起貢獻度排序略有差異，而占據主要貢獻度的變量仍是相同的。

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Probabilistic-Interval Power Flow and Sensitivity Analysis Using Double Layer Surrogate Method

Wang Chenxu1Tang Fei1Liu Dichen1Gao Xin1Zhou Yixi2

（1. School of Electrical Engineering and Automation Wuhan University Wuhan 430072 China 2. Hangzhou Power Supply Company State Grid Zhejiang Electric Power Co. Ltd Hangzhou 310000 China）

With the increasing complexity of uncertainties in power systems, the co-existence of random and interval variables makes it challenging to accurately obtain systems’ operating states by using probabilistic or interval power flow calculations. To cope with this issue, this paper proposes a double layer surrogate method for probabilistic-interval power flow analysis. The proposed method can obtain the upper and lower surrogate models based on a few times deterministic power flow calculations. Then, the surrogate models are used to solve a large number of deterministic power flow calculations required in the conventional probabilistic-interval power flow method, and the probability boxes of output variables can be obtained with high efficiency. In addition, a sensitivity index is proposed to describe the characteristics of output variables, and the sensitivity analysis is performed using the proposed method to identify the importance of input interval variables that affect output variables. The accuracy and efficiency of the proposed method are validated on the IEEE 118-bus test system by comparing the existing methods. The sensitivity analysis can identify the key interval variables for the output variables and reveal the relationship between the operating states and the input interval variables.

Uncertain power flow, random variable, interval variable, surrogate model, sensitivity analysis

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.210171

TM744

國家自然科學基金資助項目（51977157）。

2021-02-01

2021-03-21

王晨旭 男，1996年生，博士研究生，研究方向為電力系統不確定性量化分析。E-mail：Chenxu_Wang2021@163.com

唐 飛 男，1982年生，副教授，博士生導師，研究方向為電力系統運行與控制。E-mail：tangfei@whu.edu.cn.com（通信作者）

（編輯 赫蕾）