“長方形、正方形面積的計算”教學實踐與思考

浙江余姚市城南小學（315400） 蘆建章

“長方形、正方形面積的計算”是人教版教材三年級下冊的內(nèi)容，也是學生系統(tǒng)學習面積計算的起始課。筆者在教學這一內(nèi)容時，做了如下分析與嘗試，取得了較好的教學效果。

一、對教材、學情與傳統(tǒng)教學的解讀

1.對教材的解讀

關(guān)于“長方形、正方形面積的計算”，人教版教材中的例題分為三個層次：

層次一：通過畫格子和擺面積單位測量長方形面積的活動，在“數(shù)面積”的基礎(chǔ)上初步得到長的塊數(shù)與寬的塊數(shù)之積就是長方形的面積。

層次二：在提出猜想的基礎(chǔ)上，通過用1 平方厘米的正方形拼成不同的長方形，觀察、思考長方形的面積與長、寬的關(guān)系，進而用不完全歸納法得出長方形面積的計算方法。

層次三：通過測量、計算長方形、正方形的面積，在進一步鞏固長方形面積計算方法的同時，推導出正方形面積的計算方法。

通過對教材的分析，可以得出：由于學生是第一次學習面積的計算，之前沒有面積計算的知識儲備，因此借助“鋪面積”的活動經(jīng)驗，引導學生通過擺一擺、數(shù)一數(shù)，得到長方形的面積，進而引導學生發(fā)現(xiàn)每行擺的個數(shù)乘擺的行數(shù)，正好是長方形的面積。在此基礎(chǔ)上提出猜想并通過驗證，進一步揭示長方形面積的計算公式。這樣的編排體系，遵循了知識的發(fā)生、發(fā)展的邏輯過程。

2.對學情的解讀

學生在學習本課之前，剛剛學習了面積的意義與常見的面積單位，但對如何計算面積沒有知識方面的儲備，不能像學習平行四邊形、三角形等圖形面積時，用“轉(zhuǎn)化”的思想方法，把新知轉(zhuǎn)化成舊知，進而推導面積計算公式。因此，在學習方法上是“無法可依”的，完全是“零基礎(chǔ)”。鑒于此，教師在教學時，只能立足于原始的擺面積單位的活動，幫助學生初步積累活動經(jīng)驗，以此為知識的生發(fā)點進行后續(xù)的學習。在此過程中，學生的觀察、猜想、歸納、概括等能力得到了初步的培養(yǎng)與發(fā)展，為后續(xù)學習相關(guān)知識積累了非常重要的經(jīng)驗。

3.對傳統(tǒng)教學的解讀

在傳統(tǒng)的教學中，教師往往引導學生用1 平方厘米的小正方形鋪長5厘米、寬3厘米的長方形，從而發(fā)現(xiàn)長邊正好可以鋪5個、寬邊正好可以鋪3個，5 與3 的乘積是15，正好是1 平方厘米的小正方形的使用個數(shù)，說明長方形的面積是15 平方厘米，從而猜想“長方形的面積=長×寬”，隨后通過驗證、練習來鞏固這一公式。這樣的教學，雖然可以讓學生掌握長方形面積的計算方法，但也會帶來以下弊端：

第一，重方法輕過程。傳統(tǒng)的教學中，教師往往注重引導學生以掌握、應用公式，以及會計算面積為目標。在這樣的教學思想的引領(lǐng)下，學生只記住了計算方法，到五年級再次學習平面圖形的面積計算時，已經(jīng)忘記了是如何推導長方形的面積計算公式的。

第二，忽視對學生空間觀念的培養(yǎng)。本課內(nèi)容屬于“圖形與幾何”領(lǐng)域，因此，它在使學生理解和掌握知識、發(fā)展技能的同時，還承載了一個非常重要的隱性目標——培養(yǎng)與發(fā)展空間觀念。傳統(tǒng)的教學注重“雙基”卻忽略了這一目標，不利于學生空間觀念的發(fā)展。

二、教學實踐

基于以上思考，筆者在教學本課時做了如下嘗試：

【教學片段一】初步感受面積的大小與長、寬有關(guān)。

師（出示圖1）：我們已經(jīng)認識了面積，也知道了常用的面積單位。要知道這個長方形的面積是多少，你有什么辦法？

圖1

生1：可以用1 平方厘米的小正方形去擺擺看。

師：“擺擺看”是什么意思？

生1：就是用1 平方厘米的小正方形鋪在這個長方形里。

師：為什么你不用1 平方分米或1 平方米的正方形去擺呢？

生1：這個長方形太小了，用1 平方分米的去擺就會把它蓋住，更不要說用1平方米的了。

師：是啊，我們在選擇正方形去擺的時候要考慮圖形的大小。那就請大家用1 平方厘米的小正方形去擺擺看它有多大。（學生動手操作，教師巡視）

師：你是怎么擺的？

生2：一行擺了5個，擺了3行。（如圖2）

圖2

師（追問）：一行為什么可以擺5 個？為什么可以擺3行？

生2：長邊長5厘米，小正方形的邊長是1厘米，5厘米里面有5個1厘米，所以正好可以擺5個。寬邊長3 厘米，3 厘米里面有3 個1 厘米，所以正好可以擺3個，也就是3行。

師：根據(jù)你的擺法，你知道這個長方形的面積是多少嗎？你是怎樣想的？

生2：是15 平方厘米。我把這個長方形擺滿正好用了15個小正方形，所以是15平方厘米。

師（小結(jié)）：像他這樣擺的同學還有嗎？（其他學生舉手示意）像這樣擺，正好用了15 個1 平方厘米的小正方形，所以得到這個長方形的面積是15 平方厘米，真不錯！

生3（舉手）：老師，我還有不同的擺法。長邊正好擺5 個就是一行擺5 個，寬邊只擺了1列，是3個，說明可以擺3行。（如圖3）不需要全部擺滿，我也知道一共可以擺15個。

圖3

師：其他同學聽明白了嗎？

師（小結(jié)并用手勢比畫）：像他這樣擺，一行擺了5個，一列擺3個，就可以知道整個長方形可以擺15個，真是個好辦法！

【教學片段二】感悟長、寬的變化會引起面積的變化。

課件演示：

師：圖4 中，與原長方形面積比較，演變后的圖形面積發(fā)生了什么變化？

圖4

生1：變大了。

師：為什么會發(fā)生這樣的變化？大了多少？（學生觀察）

生2：長變長了，所以面積變大了。大了3 平方厘米。

師：明明長只增加了1 厘米，為什么面積卻增加了3平方厘米呢？

生3（指著圖4）：寬是3厘米，雖然長只增加了1厘米，但對于長方形來說卻增加了3個1平方厘米。

師：請想象一下，如果長方形的寬不變，面積要變小，要怎么辦？（長縮短）

課件演示：

師：圖5 中，與原長方形面積比較，演變后的圖形面積發(fā)生了什么變化？為什么會發(fā)生這樣的變化？（長不變，寬增加1 厘米，面積就增加5 個1 平方厘米）

圖5

師：請你想象一下，如果長方形的長不變，面積要變小，怎么辦？（寬縮短）

【教學片段三】比較歸納，構(gòu)建模型。

師：長方形面積的大小與什么有關(guān)？

生1：和它的長、寬都有關(guān)系。

師：你能根據(jù)剛才的學習說一說怎樣計算長方形的面積嗎？

生2：計算長方形的面積，只要用它的長乘寬就可以了。

（板書：長方形的面積=長×寬）

三、教學思考

“空間觀念”是《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》中的十個核心概念之一，同時也是數(shù)學素養(yǎng)的重要組成部分。課標中明確了其意義：根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運動和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形；等等。如何在日常教學中，有效培養(yǎng)與發(fā)展學生的空間觀念呢？筆者以為，空間觀念的培養(yǎng)應貫穿“圖形與幾何”領(lǐng)域內(nèi)容教學的始終。以本課為例，我們需要關(guān)注：

1.重視活動經(jīng)驗的積累與內(nèi)化

從人的認知發(fā)展來看，要構(gòu)建一個認知體系，其前提是需要有必備的知識與經(jīng)驗作為基礎(chǔ)。借助已有的知識、經(jīng)驗并積累到一定“厚度”時，就能自然地生發(fā)新的知識點，獲得全新的體驗與認識，從而促使認知結(jié)構(gòu)進行“自動化”重構(gòu)，并為接下來的學習重構(gòu)又積累了更高一級的基礎(chǔ)，學習也就自然發(fā)生了。在這一過程中，經(jīng)驗的積累與內(nèi)化是促進變化的關(guān)鍵因素。在本課中，筆者沒有采用傳統(tǒng)的“老師講、學生練”的教學模式，而是設(shè)計了讓學生“擺、想、說”等操作環(huán)節(jié)，從學生已有的知識尤其是經(jīng)驗入手，引導他們在擺的過程中初步感悟小正方形的塊數(shù)與長方形面積之間的關(guān)系，以引發(fā)學生的思考。此外，通過對不同擺法的比較，學生在積累擺的活動經(jīng)驗的同時，也進一步明白了“面積”的意義。

2.引導學生從一維觀念向二維觀念過渡

在三年級上冊，學生已經(jīng)學習了長方形、正方形的周長，周長使用的是長度單位，屬于一維觀念。如何使學生的觀念從一維進入二維呢？也就是要實現(xiàn)從“一維的線”到“二維的面”的突破。如果僅靠語言的描述是不可能達成目標的。因此，筆者把達成這一目標的任務(wù)滲透到了操作環(huán)節(jié)中。在初步感受面積的大小與長、寬有關(guān)的環(huán)節(jié)中，學生通過動手擺小正方形，逐步積累了經(jīng)驗。特別是第二種擺法，只擺一行和一列，就能計算出擺滿整個長方形需要的小正方形的個數(shù)。通過強化這里的“行”與“列”，形成二維圖像的雛形（橫與縱），潛移默化地引導學生從一維觀念到二維觀念有效過渡。

3.引導學生認識面積的本質(zhì)意義

在“計算面積”的教學中，學生往往只關(guān)注計算公式是否應用得當、計算結(jié)果是否正確，卻不思考面積的本質(zhì)意義。在本課中，結(jié)合擺小正方形的操作活動，使學生明白：用15 個1 平方厘米的小正方形正好可以把長方形擺滿，長方形的面積就是15平方厘米，即長方形的面積是單位面積（1 平方厘米）累積的結(jié)果，這才是面積的本質(zhì)意義。在用小正方形去鋪長方形時，學生通過調(diào)用已有的知識與經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)：用1 平方分米與1 平方米的正方形都不合適。到此強化了學生對平面大小的判斷能力，這也有助于學生空間觀念的構(gòu)建。

4.引導學生在變與不變中發(fā)展想象力

通過引導學生對圖像“變”與“不變”的動態(tài)比較，發(fā)展學生的想象力，即在從物體中抽象出幾何圖形、想象圖形的運動和位置的過程中發(fā)展空間觀念。與靜態(tài)圖像相比，動態(tài)的圖像更能引起學生的注意，刺激性更強，從而引發(fā)學生思考。因此，在初步感受長方形面積的基礎(chǔ)上，筆者設(shè)計了長（寬）變、寬（長）不變的環(huán)節(jié)，讓學生通過觀察由于長度（一維）的變化而引起面積（二維）的變化，進一步認識面積的意義。同時引導學生想象“如果要使面積變小該怎么辦”，以此促進學生空間觀念的形成與發(fā)展。這一經(jīng)驗的積累，也有利于學生在后續(xù)學習體積的相關(guān)內(nèi)容時，能夠較好地從二維向三維過渡。