例談面積法在小學數學中的應用

秦珊珊

(安徽省淮北市相山區淮紡路小學 安徽 淮北 235000)

面積法，顧名思義，就是用面積關系來解決問題的一種方法。區別與面積，它沒有特定的公式，而是一種解題策略，我希望借由面積這一直觀方式來作為橋梁，運用一種更易激發小學生的興趣，更加直觀的方式來解決各類小學數學問題。

無論是新知的學習，還是綜合實踐問題，讓學生在利用畫圖分析問題的過程中，更加充分感受數學知識之間的邏輯性，了解新舊知識之間的聯系性，體會數形結合思想的簡單直觀，從而培養和鍛煉學生的高階思維能力。

幾何直觀是指利用圖形來描述和分析問題(包含數與代數、圖形與幾何、統計與概率、綜合與實踐共四個版塊)。學生可以借助畫圖的方式，用幾何直觀把問題數量關系表現得可視化，直觀化。面積知識的學習和應用是小學圖形與幾何版塊重要內容之一。它既可以在幾何中通過轉化等數學思想化未知為已知，也可以在數與代數版塊通過圖形與數量關系的結合充分運用數形結合思想來分析和解決問題。

小學階段的幾何中面積的學習非常重要，在學生透徹的掌握了面積的定義與公式后，學生可以借助面積法分析圖形中各個量之間的關系，也可以用面積法分析數量關系，將一些復雜問題直觀化，可視化，可分析化。我們用面積的計算和形象直觀性來幫助解決小學階段部分新知的學習和綜合實踐問題的分析和解決，讓學生在畫圖分析中充分感受數學知識之間的息息相關性和數形結合思想的簡單明了。

在小學，小學生了解并掌握了基本平面圖形的面積計算公式，我們可以在此基礎上滲透面積法的運用，讓學生能夠自主的將面積貫穿于其他數學知識中。小學的題無外乎運算方法主要就是加減法與乘除法，尤其是乘法問題，如行程問題的速度，時間路程。工程問題的工作效率，工作時間，工作總量。濃度問題的溶液質量，濃度，溶質質量。單價數量總價，成本，售價。分數應用題整體對應分率局部。倍數問題的標準量對應倍數，多倍的量。雞兔同籠問題盈虧問題等都可以運用面積法。我們可以把一個乘數看為長，另外一個乘數看為寬，積當面積。面積的計算和面積法的應用充分的串聯了小學階段各個知識版塊之間的聯系，將圖形與幾何、數與代數、統計與概率之間的知識相互滲透，相互補充，充分得培養和鍛煉了學生的數學思維。

小學階段面積法常用結論：(1)如果兩個圖形大小形狀完全相同，則面積相等；(2)—個圖形的面積等它各部分面積之和；(3)等底等高的兩個三角形面積相等；(4)等底等高的平行四邊形面積相等；面積法在小學階段常用的解題思路主要有：(1)分解法：通常把一個復雜的圖形，分解成幾個常規圖形。(2)作平行線法：通過平行線找出同高(或等高)的三角形。(3)利用長方形面積公式，工程問題、行程問題等都可通過面積法畫圖分析。

下面本文就將從數與代數、圖形與幾何、綜合實踐運用這幾個版塊，舉例來探討面積法的具體應用。

1.多維思考，探尋內在道理

作為具有較強科學性的科目，數學具有較強的邏輯性，它的表現相對抽象，隨著年級的增長，由于很多學生對于之前的數學知識的理解深度不夠，知識點掌握不全面，不透徹，直接導致接下來的數學學習越來越吃力，甚至逐漸對這門學科喪失信心。

在數與代數領域，在教學過程中，教師如果能引導學生借用直觀模型，比如面積圖，幫助學生多維度理解數學概念和運算道理，幫助學生更加直觀地描述分析問題、幫助預測結果、加深結果記憶，更有利于提升學生的學習興趣和促進學生智力發育。同時，在利用面積法過程中，學生可以發揮自身的空間思維能力，記憶效果相對于純粹的定義或公式描述要深刻得多。

小學數學在四年級上冊將運算律(加法交換律、乘法交換律、加法結合律、乘法結合律和乘法分配律)設計為一個單獨的單元，突出了數與代數領域運算律的重要性。運算律的一大特點是改變運算順序，實現算式的等值變形。在實際運算中，我們既可以選擇按照運算順序一步步計算，也可以選擇運用運算律改變運算順序實現簡便運算的目的。對于運算律的理解教學，除了教材中觀察算式、仿寫算式、解釋規律、表述規律、應用規律此種方式的學習，實際上也可以運用面積法幫助學生直觀理解運算律。

例如《乘法分配律》的教學

【分析】對于運算律的理解教學，教師除了參考教材中觀察算式、仿寫算式、解釋規律、表述規律、應用規律此種模式外，還可以運用面積法來幫助學生加深理解運算定律的意義。對于乘法分配律，教師利用課本上的例子抽象出乘法分配律的數學模型后，教師可以利用數形結合的思想讓學生多維度探尋內在道理，加深對知識的理解。

【實踐】

在已經總結出乘法分配律后，教師給出以下練習。

圖1-1 《乘法分配律》練習題目

出示做題要求，計算三個長方形的面積，并在計算中運用乘法分配律。

生先獨自計算，然后請學生上臺板演。

師請學生將算式中認為關鍵的一步用紅線標出來。

圖1-2 《乘法分配律》練習題算式

師提示學生用分一分、畫一畫的方法，分別在長方形中找到這幾部分。

圖1-3 《乘法分配律》練習題面積圖

請學生觀察圖1-3的這三種分法，想一想怎樣拆分算得又對又快？學生先獨立思考，再同桌交流，最后全班交流。

【反思】通過以上的聯系，讓學生體會出知識點之間的關聯，引導學生感悟出，在運用乘法分配律時，要根據數據的特點來合理拆分數字，只有選擇出最合適的拆分方法才可以使計算過程又快又準確。在以上的多維訓練中，促使學生圍繞運算意義在不斷關聯中實現知識的再生長，從而深入理解乘法分配律的意義。

2.面積模型，簡化算理算法

運算作為整個數學學習的重要基礎，是小學學習的重點，運算能力也是對于學生的最基本要求。新課標指出，運算能力不僅僅只是要求會正確計算，還包括對算理的理解和靈活應用。小學數學知識，從整體上來看是較為簡單和基礎的入門知識，但從小學生身心發展規律及學習特點來講，具有一定的難度，尤其是涉及計算方面的問題時，部分學生由于沒能理解，從而導致計算思路混亂，計算結果錯誤?！笆谌艘贼~，不如授人以漁。”對于將結果教給學生的教學模式，更應該去培養他們解決問題的思想，學著去靈活地運用知識解決問題。

例如《小數乘小數》的教學：

【分析】在進行小數乘法的教學當中，教師要啟發學生思考，為什么可以把小數乘法當做整數乘法來計算，如何通過數小數部分的位數來確定小數點的位置，最終得出計算結果，這一重難點也可以結合面積模型用面積法來理解。

【實踐】

借用北師大版四年級下冊第三單元《小數乘法》中的《街心廣場》這一情境。

圖2-1 北師大版《街心廣場》教材圖

學生們用單位換算得出0.3×0.2的結果后，老師追問：能不能讓我們一眼就看出0.3×0.2=0.06，而不是通過單位換算呢？

大屏幕出示百格圖，請學生想一想，說一說為什么0.3×0.2=0.06的道理。

生1：我們把大正方形平均分成100份，每個小正方形的面積就是0.01平方米，地磚的面積占了6個小格，所以面積就是0.3×0.2=0.06平方米。

生2：我想結合結合剛剛的單位換算來說，這個大正方形的邊長是1米，也就是10分米，地磚的長是0.3米，就是3分米，寬是0.2米，就是2分米，3×2=6平方分米，每個小格是0.01平方米，所以6個小格就是0.3×0.2=0.06平方米。

圖2-2 借用百格圖理解《小數乘法》

【反思】在小學生的意識里，直觀的就是形象的，也是他們易于接受和較感興趣的。教學中借助面積模型，引導學生發現可以根據長和寬，分別確定每條邊上計數單位的個數，用長乘寬確定面積中計數單位的個數，從面積法的角度來認識小數乘法的算理算法。

3.出入相補，發展數學思維

小學階段教學中涉及面積計算的有長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形、圓。在探究新知時，都滲透了轉化的思想，而要想實現轉化思想的運用，就要通過面積法中的出入相補原理。

面積法當中的出入相補原理是把陌生圖形通過分割和移補變成熟悉的己經學過的熟悉圖形，實現轉化思想的應用，轉化思想是一種非常重要的數學思想，應用面極其廣闊。在分割、移補的變化過程中，圖形的形狀發生了變化，但是圖形的面積始終不變。所以我們可以通過面積法的出入相補原理，實現小學幾何中求復雜、陌生和組合圖形面積的目的。出入相補原理就是所說的“割補法”，也即“以盈補虛法”，原理有三條：第一條：一個幾何圖形可以分割為若干個小塊，小塊的面積之和等于原幾何圖形的面積；第二條：一個幾何圖形不論如何平移、對稱、旋轉，在此運動過程中，該幾何圖形的面積不變；第三條：一個幾何圖形，如果與自己平移后的圖形或旋轉、對稱后的圖形進行無縫(不重疊)拼接，那么組合圖形的面積是該原幾何圖形的倍數。出入相補原理最早由三國時代魏國數學家劉徽創建?！肮垂筛髯猿耍?，而開方之，即弦。勾自乘為朱方，股自乘為青方，另出入相補，各從其類，因就其余不移動也，合成弦方之冪，開方除之，即弦也?！背鋈胂嘌a，可以通過適當添加一些輔助線后進行切割后再進行移補，把未知的圖形轉化成熟悉的圖形，將復雜的圖形幻化成基本圖形的組合，將復雜問題簡單化，能在學生己知的知識上適當延伸，充分發展學生自學和推理能力。在小學幾何教學當中最先學習長方形的面積公式，在此基礎上推導正方形的面積計算公式，接著是平行四邊形，最后是三角形和梯形，最后才是組合圖形的面積求解。實際上正方形是特殊的長方形，長方形是特殊的平行四邊形，所以長方形、正方形和平行四邊形可以統一為一個公式“平行四邊形的面積=底×高”。而三角形和梯形都用到了兩個完全相同的圖形來組成平行四邊形，所以在表示出平行四邊形面積后都要除以2以求得其中一個圖形的面積。

例如《平行四邊形的面積》的教學：

【分析】在小學幾何教學當中最先學習長方形的面積公式，在此基礎上推導正方形的面積計算公式，接著是平行四邊形，教學過程中應給學生充分的時間思考，充分滲透轉化的數學思想，為接下來研究其它幾何圖形的面積打下基礎。

【實踐】

師：你能把平行四邊形轉化成長方形嗎？請借助手中的學具動手操作。

生1：我把平行四邊形沿著一條高分割成了一個三角形和一個梯形，然后把三角形平移補到梯形的右邊，就拼成了一個長方形。

圖3-1 割補法轉化平行四邊形的方法1

生2：因為平行四邊形有無數條高，我就沿著這樣一條高把它分割成了兩個梯形，而且是直角梯形，然后把左邊這個梯形平移到右邊，就也拼成了一個長方形。

圖3-2 割補法轉化平行四邊形的方法2

接下來師引導學生發現任意一個平行四邊形都可以利用割補法轉變成一個面積不變的長方形。而且轉化得到的長方形的長也是原來平行四邊形的底，長方形的寬就相當于平行四邊形的高。因此，平行四邊形的面積=底×高。

【反思】教師引導學生運用面積法把新知識轉化為舊知識，這種方法也適用于多邊形面積的計算，作為一個難點，多邊形面積的教學不能停留在讓學生“死記硬背”，而更應注重引導學生熟練利用面積法中出入相補的原理，不同角度添加輔助線將圖形進行分割、平移或旋轉，把陌生的圖形轉化為學生熟悉的圖形，從而提高學生綜合運用平面圖形面積知識解決問題的能力，也為中小銜接打下基礎。

4.以形解數，優化解題路徑

隨著年級的升高和所學知識的不斷加深，學生遇到的應用題難度也越來越大，有時面對不斷加長的文字描述，很多學生很難理清題目中的數量關系，找到隱含的已知條件。如果能換個思路，借助面積法，把綜合實踐運用問題轉化為面積公式，把抽象的代數問題具象化成幾何問題來處理，充分應用數形結合的思想，將冗長的數學語言、復雜的數量關系用幾何圖形的面積聯系起來，以形解數，攻破知識難點，讓學生進一步感受數學的魅力。

在小學階段綜合實踐運用教學中，學生們學習了很多不同的公式，比如行程問題中“速度×時間=路程”，利潤問題“成本X利潤率(1+利潤率)=利潤(售價)”，工程問題“工作效率×工作時間=工作總量”，雞兔同籠問題中“每只雞(兔)的腳數×雞(兔)的腳數=雞(兔)總腳數”，濃度問題“溶液質量×濃度=溶質質量”，倍數問題“一倍的量×倍數=多倍的量”等等，幾乎所有公式都可以總結為兩個因數的乘積，所以綜合實踐運用的教學可以通過類比的方法，把像這樣的綜合實踐運用問題轉化為長方形的面積公式長×寬，實現將抽象的代數問題具象化為長方形的面積來處理，充分應用數形結合的思想，將抽象的數學語言、數量關系用幾何圖形的面積聯系起來，以形解數，使復雜問題直觀化和簡單化，體現面積法的優勢性。

例如《雞兔同籠》的教學：

【分析】雞兔同籠問題是我國古代著名趣題之一，在人教版四年級下冊數學廣角出現，讓學生經歷猜測、嘗試的解題策略，學會用表格法、假設法、方程法得出結果。在課后的拓展練習中，教師可以適當普及利用面積法來作為解題策略，讓學生感受很多數學問題可以有多種多樣的解法，可以拓展學生的思維。

【實踐】

師：我們把雞和兔的只數作為寬，把雞和兔各自的腿數作為長，畫出兩個長方形見下圖8，那么兩個長方形的面積表示什么？

圖4-1 面積法解“雞兔同籠”示意圖1

生：上面長方形的面積就是雞的總腿數，下面長方形的面積則是兔的總腿數。題目中說了雞兔的總腿數是94條，說明兩個長方形的面積之和為94。

師：那如果沿著兩條腿畫一條虛線，將圖形分成左右兩個部分。左邊這個大長方形的長表示什么？寬又表示什么？

圖4-2 面積法解“雞兔同籠”示意圖2

生：長表示每只動物都是兩條腿，寬表示一共有35只動物。

師：那左邊這個大長方形的面積是多少？表示什么呢？

生：面積是35×2=70，表示35只動物都是兩條腿的話，一共是70條腿。

師：那右邊還剩下這個小長方形呢？

生：94-70=24，也就是右邊剩下的小長方形的面積等于24，那我用24÷2，就可以求出兔子的只數了，也就是12只。

生：那么雞的只數，就是35-12=23只了。

師：怎么驗算呢？

生：12×4+23×2=94，滿足條件中的94條腿。

【反思】經過課堂教學中，應用面積法來解決雞兔同籠問題的訓練，學生在課后的練習中便可有更多的選擇來分析此類問題。而且面積法同樣適用于其它應用題，比如行程問題、工程問題、濃度問題等等，把代數問題用幾何方式呈現，將這些題目中的數量與長方形的長寬面積一一對應，可以幫助我們找到隱藏的數量關系，對于學生分析數量關系的能力會有質的提升。

綜上，面積法是數形結合思想中一種體現形式，作為解題策略，利用面積這個不變的量，可以讓學生多一條分析問題的思路，提升學生的思維能力。借助面積這個媒介我們可以把許多問題聯系到幾何圖形的面積上。

面積法在小學數與代數、圖形與幾何、統計與概率和綜合實踐運用中多次出現，提及的十分隱晦，直接應用得也較少。但面積模型卻從一年級一直到六年級延續使用，在小數、分數、百分數的認識中多次出現，在計算中也多次以面積模型作為幾何直觀，幫助學生理解算理算法。面積法就是通過對已知條件進行分析，利用幾何的變換原理、面積關系以及相關計算公式，將所求問題轉變為面積上的運算。面積法在教材中學習多邊形面積公式的推導以及求組合面積時多次應用。在統計與概率版塊更是離不開面積模型，面積的比值直接決定隨機事件發生的概率的大小。借助面積這個媒介，我們可以把許多問題聯系到幾何圖形的面積上。許多數量關系以乘法的形式呈現，實際上都可以用長方形的面積作為媒介來思考。小學階段許多的幾何問題或者代數問題，當學生無從下手時，課堂教學中我們可以引導學生通過畫面積圖的方式，用面積作為媒介來幫助理清數量關系，刪繁就簡。面積法的教學充分發散了學生的思維空間，不再硬套公式，打破固有的思維方式，把新舊知識間建立起橋梁，把代數和幾何間聯系起來，加以綜合應用，綜合分析。恒等式、不等式的證明都可以用“面積法”來證明，而且比用代數方法證明更加直觀、簡單。小學階段面積法的教學通過分析已知條件，將代數的量用直觀可視的邊和面積作為呈現方式，使問題轉變為與面積相關的計算。面積法是數形結合思想的其中一種體現形式，面積作為一個不變的量，對它進行分析和使用，能讓學生多一條分析問題的思路，解決問題往往事半功倍。

當然，面積法的教學與應用也具有一定的局限性。在小學階段，要利用面積法趣解決問題，特別是代數問題，往往需要巧妙的思維，甚至有時候構造起來會費時費力。而與之相對的代數解法，則顯得中規中矩，循序漸進，推理起來也是十分簡單和順暢的。面積法中的面積構造有時常常很難想到，所以在實際學習中如果能通過代數方法直接求得的問題結果，則不必為了使用面積法而用面積法。人們常說“適合的就是最好的”，由于每一個學生所處的背景和自身思維方式的不同，當一個問題出現的時候，他們往往會聯系自己的學習經驗，用自己慣性思維來解決問題。有的傾向用畫圖策略解決問題;有的學生熟悉列表策略;有的則善于在紛繁復雜的問題中尋找規律。總之，面積法在小學教學中的應用是為了解決問題而存在的，它也只是解決數學問題的萬千方式中的一種，希望可以拓寬學生思考問題的方式，提升學生分析問題的能力。