對數恒等式在冪指函數極限中的應用對數恒等式在冪指函數極限中的應用

◎姚秀鳳 孔祥銘 王 瑜

(北京電子科技職業學院，北京 100176)

極限是微積分理論中重要的概念.充分理解極限概念能夠有效求解較復雜函數的極限問題，也是開啟微積分學習的必備能力.學生從初等數學定量計算過渡到高等數學變化趨勢的分析，會出現一些概念、性質及運算法則上的混淆現象.尤其是遇到較為復雜的運算——求冪指函數的極限時，由于題目的復雜性，常需要綜合利用所學的等價無窮小、兩個重要極限、洛必達法則等極限方法進行求解，而這也導致學生在解題過程中經常出現一些錯誤.

下面這道題目是學生在學習過程中遇到的一個相對復雜的含有冪指函數的極限問題.學生由于對第二重要極限、等價無窮小等知識的理解不準確，對解題方法綜合應用不熟練，常出現錯誤的解題思路.學生的解題過程如下.

上述解題過程使用了第二重要極限和等價無窮小的知識.

一、第二重要極限

在教學過程中，我們需要引導學生分析公式中的重點,在自變量x→∞時:(1)函數為冪指函數形式；(2)底為1加無窮小(1+o)，指數為無窮大(∞)；(3)底中無窮小與指數上的無窮大必須互為倒數，同時滿足這三個條件才能應用第二重要極限的結論.

學生在遇到題目時需要先對題目進行分析，分析是否滿足相關條件，只有滿足相關條件，才能應用相關結論，這也就是解決數學問題時所謂的“無條件不結論”.為了便于第二重要極限的應用，我們推導出下面的結論作為第二重要極限的知識拓展.

拓展后的公式也必須滿足上述三個條件：(1)函數為冪指函數形式；(2)底為1加無窮小(1+o)，指數為無窮大(∞)；(3)底中無窮小與指數上的無窮大互為倒數.這是后續解決相關類型極限問題時要重點注意的.

二、等價無窮小

無窮小是極限為0的變量(函數)，記作ο.無窮小既不是很小的常數，也不可以隨意用常數“0”來替換.在做無窮小的替換時，一定要準確理解無窮小的概念，在符合條件時才可進行替換.在解題時可以直接應用經過理論推導的等價無窮小的替代公式，這對簡化解題過程將起到事半功倍的作用.下面列舉幾個常用的等價無窮小.

當x→0時，ex-1～x,ln(1+x)～x，推廣可得：

當u(x)→0時，eu(x)-1～u(x)，

(1)

當u(x)→0時，ln[1+u(x)]～u(x).

(2)

三、錯誤解題思路解析

(一)混淆或忽略了第二重要極限的適用性

第二重要極限適用于1∞型未定式極限，即：

對于第二重要極限的應用，常用的變形是對冪指函數的指數部分進行簡單的線性運算，而不是學生解題過程中對指數進行復雜化的非線性運算.

(二)對無窮小的“等價性”理解不準確

出現這些錯誤是因為學生對概念的理解不充分，對公式的記憶和運用不準確，對知識的掌握不扎實，運用公式不靈活，并且在實際求解中未形成應用對數恒等式進行簡化運算的意識.下面我們以自然對數恒等式為載體，通過具體的例題討論對數恒等式在求解冪指函數極限方面的應用，以幫助學生提高解決此類問題的能力.

四、對數恒等式在冪指函數變形上的應用

(一)對數恒等式及對數運算法則

(1)alogaN=N，其中，a>0且a≠1，N>0.

(二)冪指函數的恒等變形

對數恒等式是中學數學中的重要概念，自然對數恒等式eln N=N在高等數學中的應用也極為廣泛，利用上面的恒等變形和對數運算法則能夠將冪指函數由復合形式變形為積或商的形式，從而簡化冪指函數的運算過程.有如下的推廣應用：

u(x)=eln u(x)，

(3)

u(x)v(x)=eln u(x)v(x)=ev(x)·ln u(x).

(4)

例如，利用公式(4)和對數運算法則，可得：

(1+2x)sin x=eln(1+2x)sin x=esin x·ln(1+2x)，

(三)含有冪指函數的復合函數極限運算

在(4)式中，對冪指函數進行變形u(x)v(x)=eln u(x)v(x)=ev(x)·ln u(x)，能夠得到以e為底的復合函數ev(x)·ln u(x).

由復合函數的極限運算法則，在自變量x的某種趨向下，若limv(x)·lnu(x)為有限常數，則：

lim ev(x)·ln u(x)=elim v(x)·ln u(x).

(5)

五、對數恒等式在冪指函數極限中的綜合應用

在解決含有冪指函數的極限題目時，在第二重要極限不能使用或不便于直接使用的情況下，通常會用對數恒等式對其進行變形，在變形的過程中，利用對數的運算法則、等價無窮小及洛必達法則等其他極限方法求出正確的解.

(一)對數恒等式與洛必達法則在冪指函數極限中的綜合應用

解這是∞0型未定式，不能使用第二重要極限.

解這道題目雖然是1∞型未定式，但不符合第二重要極限的三個條件要求.

(二)對數恒等式與等價無窮小在冪指函數極限中的綜合應用

解這是1∞型未定式，無法直接套用第二重要極限，需先進行適當變形.

(1)應用對數恒等式對其進行變形：

(2)應用公式(2)進行等價無窮小的替換：

當x→0時，ln(1+arctanx)～arctanx，ln(1+sinx)～sinx，

在有些題目中，冪指函數只是題目的一部分，對于整個題目來說，需在嚴密的理論支撐基礎上對函數進行更多的數學恒等變形，使之簡化成能夠用對數恒等式及對數運算法則進行變形，并能運用等價無窮小進行替代的式子，再綜合使用其他求極限的方法，使題目得到完美解決.

下面，我們在上述分析對數恒等式及其他極限方法的基礎上給出前面例1的正確解答.

這個題目相對來說形式比較復雜，有三角函數、冪指函數和分數的形式，通過分析，在自變量趨于0時，只能夠確定分母趨于0，分子(1+2x)sin x-cosx可看成“10-0”型未定式，無法進行適當的無窮小替換，需要先進行相應的恒等變形.

解(1)應用對數恒等式進行冪指函數的變形：

(1+2x)sin x=eln(1+2x)sin x=esin x·ln(1+2x),

(2)對上式進行“加減項”的適當變形，可構造等價無窮小：

(3)進行等價無窮小的替換：

應用公式(1)和(2)，可得ln(1+2x)～2x和esin x·ln(1+2x)-1～sinx·ln(1+2x)，

即esin x·ln(1+2x)-1～sinx·2x～2x2.

(三)復合函數極限的存在性

上面的幾道含有冪指函數的極限題目或因冪指函數的復雜性，或因不是1∞型未定式，而不能使用第二重要極限，故必須對冪指函數進行對數恒等變形，再運用極限的其他方法完成求解.在求解過程中，還需要注意以e為底的復合函數極限的存在性，以免出現錯用結論的現象.下面我們看一道簡單例題.

本題的正確解法如下.

下面，為了更準確地理解結論(5)的適用性，幫助學生拓展解題思路，我們試著拋開第二重要極限，利用復合函數極限存在的結論對前邊的例題2進行求解.

(1)應用對數恒等式將冪指函數變成函數乘積的形式：

六、結 語

通過以上分析和過程詳解，我們可以總結出，對于極限題目中含有冪指函數的形式，既要考慮其是否符合第二重要極限的條件，也要積極尋找其他解題方法.如果符合條件，則考慮利用第二重要極限公式解決該題目是否便于求出答案；符合條件但不便于直接使用第二重要極限的題目，可先對其進行對數恒等式的變形，再綜合運用相關知識進行求解；如果不符合條件，需先對其進行對數的恒等變形，將冪指函數變形成積或商的簡單函數形式，再結合其他極限求解理論和方法，使復雜的冪指函數極限得到便捷、完美的求解.對于學生而言，學習更多的理論、法則不是為了機械套用，而是要學會思考，學會創新，不斷地把所學知識融會貫通，從而解放思想，創新思維，在尋找適合的解題思路和方法的過程中培養縝密的邏輯思維能力，提高解決問題的應用能力.