可逆矩陣的教學(xué)設(shè)計(jì)可逆矩陣的教學(xué)設(shè)計(jì)

◎周倩楠 盧 勇

(江蘇師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，江蘇 徐州 221116)

一、引 言

“逆”在《現(xiàn)代漢語詞典(第7版)》中的解釋為：向著相反的方向(跟“順”相對(duì)).在數(shù)學(xué)學(xué)科中，我們也經(jīng)常遇到這個(gè)字.如高等數(shù)學(xué)中映射的逆映射、初等數(shù)學(xué)中一個(gè)命題的逆命題等.當(dāng)然，我們也學(xué)過一些與逆有關(guān)的運(yùn)算.在數(shù)的運(yùn)算中，加法、減法、乘法和除法是四種基本運(yùn)算，其中，數(shù)的減法可以看成加法的逆運(yùn)算，數(shù)的除法可以看成乘法的逆運(yùn)算.可以看出，逆運(yùn)算使得數(shù)的運(yùn)算更加完善，有助于我們更深入地研究數(shù)的相關(guān)性質(zhì).在我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中，數(shù)的加法、減法、乘法和除法無處不在，每個(gè)研究方向都離不開數(shù)的四種運(yùn)算.同樣，對(duì)于其他理工學(xué)科來說，數(shù)的四種基本運(yùn)算也是基本運(yùn)算，起著不可或缺的作用.所以說，逆運(yùn)算不僅在數(shù)學(xué)中占有重要地位，在其他學(xué)科中也具有廣泛的應(yīng)用.本次課程涉及的知識(shí)點(diǎn)主要來源于線性代數(shù).線性代數(shù)是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，它的研究對(duì)象是向量和向量空間(或稱線性空間).線性代數(shù)作為高等教育，尤其是高等數(shù)學(xué)中的一門重要學(xué)科，是理工科包括部分文科學(xué)生需要學(xué)習(xí)的一門專業(yè)必修課.在線性代數(shù)這一學(xué)科中也有許多逆運(yùn)算.矩陣作為線性代數(shù)中的重要知識(shí)點(diǎn)和常見的工具之一，其運(yùn)算中是否存在相應(yīng)的逆運(yùn)算？這是一個(gè)值得我們思考的問題.

本文主要是分析關(guān)于可逆矩陣知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)設(shè)計(jì).首先，通過簡(jiǎn)單問題的引入——數(shù)的四種基本運(yùn)算，引出矩陣的逆矩陣問題.其次，通過與學(xué)生互動(dòng)，不斷引導(dǎo)學(xué)生思考，并給出可逆矩陣的相關(guān)性質(zhì)，如唯一性等.最后，給出求可逆矩陣的逆矩陣的方法——伴隨矩陣法，并結(jié)合具體例題，運(yùn)用伴隨矩陣法求解可逆矩陣的逆矩陣.本文結(jié)尾結(jié)合本節(jié)課知識(shí)點(diǎn)的特點(diǎn)融入課堂思政，結(jié)合目前在校大學(xué)生遇到的實(shí)際問題和困難傳遞正能量，引導(dǎo)學(xué)生不斷努力拼搏，克服逆境和困難，真正做到教書育人，從而使得本次教學(xué)內(nèi)容更加豐富，并具有啟發(fā)性.

二、教學(xué)過程

(一)問題引入

矩陣作為學(xué)習(xí)線性代數(shù)課程的重要知識(shí)點(diǎn)和工具，貫串整個(gè)線性代數(shù)的學(xué)習(xí).矩陣的運(yùn)算也是我們首先需要考慮的問題.在前面，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了矩陣的加法、減法及乘法等運(yùn)算.其中，矩陣的減法是利用矩陣的加法和負(fù)矩陣定義的，因此，可以看成矩陣加法的逆運(yùn)算.對(duì)于矩陣乘法，我們思考：是否可以像數(shù)的乘法那樣定義它的逆運(yùn)算(即除法運(yùn)算)？這一問題值得我們研究，而這就是矩陣的逆矩陣問題.

我們可以注意到，在矩陣乘法運(yùn)算中，單位陣E所起的作用與數(shù)的乘法運(yùn)算中的1相當(dāng).因此，類似數(shù)的倒數(shù)，我們提出問題：對(duì)于一個(gè)矩陣A，是否存在矩陣B，使得AB=BA=E?在不引起歧義的情況下，我們不具體給出單位陣的階數(shù).

由矩陣乘法的定義我們知道，要想討論這一問題，首先必須確保這一式子是有意義的.由AB有意義，我們可以得出A的列數(shù)必須等于B的行數(shù).同時(shí)由BA有意義，我們可以得出B的列數(shù)必須等于A的行數(shù).再由AB=BA，我們可以得出A與B必須是同階方陣.因此，這類問題只能針對(duì)方陣來研究，這是我們研究可逆矩陣的前提和基礎(chǔ).

(二)研究問題

下面，我們具體給出可逆矩陣的概念.

定義1設(shè)A是n階方陣，如果存在n階方陣B，使得AB=BA=En，則稱矩陣A是可逆矩陣，簡(jiǎn)稱A可逆(或非退化)，而B就稱為A的一個(gè)逆矩陣，否則就稱矩陣A不可逆(或退化).

根據(jù)可逆矩陣的定義，我們知道，要想判斷給定的n階方陣A是否可逆，就要看是否存在一個(gè)n階方陣B，使得AB=BA=En，如果存在，則矩陣A可逆；如果不存在，則矩陣A不可逆.

接下來我們思考：類似非零數(shù)的倒數(shù)，對(duì)一個(gè)可逆矩陣A而言，它的逆矩陣B是否可以寫成A-1？這一問題將在后面的討論中解決.

那么，我們就需要思考：什么樣的方陣一定可逆？如果可逆，其逆矩陣是否唯一？我們?cè)撊绾吻蟪隹赡婢仃嚨哪婢仃嚕肯旅嫖覀儗@這三個(gè)問題進(jìn)行討論，并分別給出回答.

首先，我們看唯一性.

性質(zhì)1設(shè)A是可逆矩陣，則其逆矩陣唯一.

證明思路：假設(shè)矩陣A可逆，且B,C是A的任意兩個(gè)逆矩陣，則有AB=BA=E及AC=CA=E.為了與矩陣C相聯(lián)系，我們可得B=BE=B(AC).注意到矩陣乘法滿足結(jié)合律，所以B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.因此，我們知道可逆矩陣的逆矩陣是唯一確定的.

因?yàn)榭赡婢仃嚨哪婢仃嚲哂形ㄒ恍裕瑸榱朔奖闫鹨姡覀儗⒖赡婢仃嘇的逆矩陣用A加上上標(biāo)“-1”表示，記作A-1,讀作A逆(這一寫法類似非零數(shù)的倒數(shù)).

由可逆矩陣的定義，我們還能得到如下一些性質(zhì).

性質(zhì)2若方陣A可逆，則A-1可逆，且有(A-1)-1=A.

性質(zhì)4若方陣A和B具有相同階數(shù)且均可逆，則AB可逆，且(AB)-1=B-1A-1.

性質(zhì)2,3和 4可以由可逆矩陣的定義得出，其證明可作為課后作業(yè)留給學(xué)生.

下面，我們將具體討論如何求一個(gè)可逆矩陣的逆矩陣.我們做如下分析：設(shè)A=(aij)n×n是一個(gè)可逆矩陣，如何求出矩陣B=(bij)n×n，使得AB=BA=E？

目前，我們只能從可逆矩陣的定義出發(fā).由矩陣乘積的定義，我們知道，AB=E可寫成

(1)

其中i,j=1,2,…,n.

根據(jù)上式特點(diǎn)，要想通過這樣一組式子求出矩陣B是有困難的，因?yàn)橥ㄟ^公式(1)，我們還是求不出矩陣B的元素bij.但是，我們發(fā)現(xiàn)，公式(1)與我們之前學(xué)過的一個(gè)定理類似：依行展開定理.當(dāng)我們結(jié)合依行展開定理

(2)

其中i,j=1,2,…,n，即把(1)式中的bij換成矩陣A的元素aji的代數(shù)余子式Aji.通過觀察公式(2)，我們可以將等號(hào)左邊看成兩個(gè)矩陣乘積的(i,j)元，其中ai1,ai2,…,ain就是矩陣A的第i行元素.而Aj1,Aj2,…,Ajn可以看成一個(gè)矩陣的第j列元素.為了方便起見，我們將這個(gè)矩陣用A加上上標(biāo)“*”來表示，記作A*,讀作A的伴隨矩陣.具體寫出來就是

另外，當(dāng)矩陣A可逆時(shí)，有AA-1=E,兩邊同時(shí)取行列式，可得|A||A-1|=1，所以|A|≠0.

結(jié)合上述分析就有下面的定理：

定理1不僅給出了可逆矩陣的一個(gè)充要條件，同時(shí)給出了求可逆矩陣的逆矩陣的方法，我們將這一方法稱為伴隨矩陣法.

伴隨矩陣法是我們求一個(gè)可逆矩陣的逆矩陣的有效方法，它區(qū)別于逆矩陣的定義.當(dāng)需要求可逆矩陣A的逆矩陣時(shí)，不需要找到矩陣B，而通過矩陣A自身即可,即求出矩陣A的行列式及伴隨矩陣.因此,對(duì)于伴隨矩陣法，學(xué)生需要結(jié)合具體例題不斷練習(xí)，從而真正掌握這一方法,進(jìn)而計(jì)算可逆矩陣的逆矩陣.

下面，我們結(jié)合一個(gè)例題具體應(yīng)用伴隨矩陣法.

例1判別矩陣A是否可逆，如果可逆，求出其逆矩陣.其中

分析要想判別矩陣A是否可逆，結(jié)合定理1，需要看其行列式是否不等于0.

通過計(jì)算，可得|A|=-1≠0,所以A可逆.

接下來，我們運(yùn)用伴隨矩陣法求A的逆矩陣.

計(jì)算A的伴隨矩陣為A*，得

因此

課后思考：結(jié)合例題及求逆矩陣的伴隨矩陣法，我們?nèi)菀卓闯觯瑢?duì)于一個(gè)n階可逆矩陣A，當(dāng)n比較小時(shí)，如例1中的矩陣A，因?yàn)锳是3階方陣，因此，計(jì)算其行列式從而判定其是否可逆的難度不大，同樣，計(jì)算A的伴隨矩陣難度也不大，大多數(shù)學(xué)生都能計(jì)算出來.但是，我們?cè)谥皩W(xué)習(xí)計(jì)算行列式時(shí)能夠知道，對(duì)于一個(gè)給定的n階方陣，當(dāng)n比較大時(shí)，比如一個(gè)6階方陣A，用伴隨矩陣法求逆矩陣是比較困難和復(fù)雜的.因?yàn)槲覀兪紫纫?jì)算這個(gè)6階方陣的行列式，判定其是否為0，如果不為0，我們還需要計(jì)算一些5階方陣的行列式，從而得到其對(duì)應(yīng)的伴隨矩陣，這一計(jì)算過程比較煩瑣，且計(jì)算量較大，很多學(xué)生在計(jì)算過程中會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.因此，我們發(fā)現(xiàn)，用伴隨矩陣法計(jì)算一個(gè)可逆矩陣的逆矩陣要根據(jù)給定矩陣的階數(shù)來看，如果階數(shù)較小，可以考慮使用伴隨矩陣法，如果階數(shù)較大，那么就需要運(yùn)用其他方法進(jìn)行求解.是否還有其他求可逆矩陣的逆矩陣的方法呢？我們將在下節(jié)課與大家一起探討和學(xué)習(xí)另一種計(jì)算可逆矩陣的逆矩陣的方法——初等變換法，建議做好相應(yīng)的預(yù)習(xí)和復(fù)習(xí)工作.

(三)內(nèi)容小結(jié)

本次課程主要講解的知識(shí)點(diǎn)是可逆矩陣.首先，通過數(shù)的加法、減法、乘法和除法四種基本運(yùn)算，以及倒數(shù)引入了主要問題——可逆矩陣.其次，我們給出了矩陣的逆矩陣的概念,并通過部分特殊矩陣分析了矩陣可逆的相關(guān)性質(zhì).再次，通過問題引入引導(dǎo)學(xué)生得到了可逆矩陣的幾種性質(zhì).最后，結(jié)合可逆矩陣的定義及依行依列展開定理得到了伴隨矩陣的概念以及求可逆矩陣的逆矩陣的方法——伴隨矩陣法,并結(jié)合具體例題運(yùn)用伴隨矩陣法計(jì)算給定矩陣的逆矩陣.在本次課程的最后，我們還留下相關(guān)問題，就是當(dāng)給定矩陣的階數(shù)比較大時(shí)，運(yùn)用伴隨矩陣法是否還能求出其逆矩陣，計(jì)算量大不大，同時(shí)引出下次課程需要學(xué)習(xí)的內(nèi)容——初等變換法.

本次課程從簡(jiǎn)單問題入手，通過一步步引導(dǎo)，讓學(xué)生思考一些常見的問題，并結(jié)合學(xué)生之前所學(xué)知識(shí)(數(shù)的加法、減法、乘法、除法、倒數(shù)問題，以及矩陣的加法、減法和乘法運(yùn)算)一步步達(dá)到教學(xué)目的.本次課堂的內(nèi)容由淺入深，主要目的是啟發(fā)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不斷發(fā)現(xiàn)問題、思考問題，從而解決問題.希望通過本次課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠掌握可逆矩陣的相關(guān)性質(zhì)，以及求解可逆矩陣的逆矩陣的方法——伴隨矩陣法.

三、課堂思政

本次課程我們主要教學(xué)了可逆矩陣和可逆矩陣的逆矩陣的求法——伴隨矩陣法.通過可逆矩陣，我們可以研究類似數(shù)的除法的問題.通過學(xué)習(xí)可逆矩陣，我們能夠發(fā)現(xiàn)，逆運(yùn)算能夠使數(shù)學(xué)更加完美.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)能夠鍛煉我們的思維能力，培養(yǎng)我們發(fā)現(xiàn)問題、思考問題及解決問題的能力.同時(shí)，我們要學(xué)會(huì)總結(jié)學(xué)過的知識(shí).

在數(shù)學(xué)中有逆運(yùn)算，我們?cè)谌松牡缆飞弦矔?huì)遇到種種逆境與不順.“逆”字也經(jīng)常出現(xiàn)在我們的生活中，對(duì)于很多人來說，人的一生不一定是一帆風(fēng)順的，生活往往會(huì)給我們出一些難題.比如，作為一名大學(xué)生，在大學(xué)學(xué)習(xí)和生活中，我們離開了父母，很多事都需要自己去面對(duì)，要學(xué)習(xí)如何和老師與同學(xué)相處，還要學(xué)習(xí)如何不斷適應(yīng)社會(huì)，從而走入社會(huì).很多學(xué)生都經(jīng)歷了線上學(xué)習(xí)，而線上學(xué)習(xí)的效果在一定程度上不如線下學(xué)習(xí)，部分學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生了抱怨、煩躁的心理.他們會(huì)擔(dān)心知識(shí)點(diǎn)掌握不牢，不能跟老師和同學(xué)近距離討論問題，等等，學(xué)習(xí)的效率和效果都達(dá)不到預(yù)期目標(biāo).這些在一定程度上對(duì)于學(xué)生來說就是逆境.再如，受疫情的影響，很多畢業(yè)生不能正常出去找工作，心理上承受了很大的壓力.但是，這些在逆境中成長的學(xué)生會(huì)更快適應(yīng)身邊不斷變化的環(huán)境，更快地投入學(xué)習(xí)，能夠通過回看授課視頻重復(fù)學(xué)習(xí)，查漏補(bǔ)缺，更好地掌握知識(shí)點(diǎn).

當(dāng)學(xué)生走向社會(huì)，可能會(huì)面臨生活和工作中的其他問題，然而，這些困難和逆境往往能使他們的人生更加完美，因?yàn)樗麄冊(cè)诳朔щy的過程中得到了知識(shí)，獲得了成長.相信臨近畢業(yè)的大學(xué)生在回首大學(xué)四年的學(xué)習(xí)生活時(shí)，每個(gè)人都會(huì)有不同的感悟，每個(gè)人都有不同的成長.我們也許該感謝這些困難和逆境，因?yàn)樗捔宋覀兊囊庵荆o予了我們更多的勇氣去面對(duì)困難，挑戰(zhàn)困難.所以，不管我們是在求學(xué)過程中還是在工作中，遇到困難和逆境都不要?dú)怵H，只要我們堅(jiān)定信心，勇往直前，不斷克服它們，就終將實(shí)現(xiàn)人生的理想和目標(biāo)，真正成為一個(gè)對(duì)國家和社會(huì)有用的人.