積分中值定理的推廣及應用積分中值定理的推廣及應用

◎丁建華

(甘肅有色冶金職業技術學院教育系,甘肅 金昌 737100)

一、積分中值定理的幾何特征與補充

根據上面知識點，我們可以獲得數學分析中常用的重要積分學性質和定理.

積分中值定理若函數f(x)在[a,b]上連續,則在[a,b]上至少存在一點ξ,使得

這里要求函數f(x)在[a,b]上連續即可，對函數沒有嚴格要求.進一步地，我們可將f(x)在[a,b]上連續的這一條件更改為f(x)在[a,b]上可積,其結論仍然成立.

圖1

圖2

本文給出如下兩種證明.

證法一：若函數f(x)在閉區間[a,b]上恒為常數,則ξ取(a,b)內任意一點,結論都是成立的.

若f(x)在[a,b]上為一個變量函數,設M,m分別為f(x)在[a,b]上的最大值與最小值,則存在x0∈(a,b)，使得

m≤f(x0)≤M.

事實上,若這樣的x0不存在,則在[a,b]上必存在一點x1,使得f(x)在[a,x1]上恒有

f(x)=m(或f(x)=M),

在[x1,b]上恒有

f(x)=M(或f(x)=m).

這樣一來,x1是間斷點,與f(x)在區間[a,b]上連續矛盾.

又f(x)在x0連續,則存在δ>0,(x0-δ,x0+δ)?[a,b],當|x-x0|<δ時,有

從而

于是

即

又

同理有

于是

同理可得

因此

即

由介值定理,存在ξ∈(a,b),使得

即

其中ξ∈(a,b).

F(a)-F(b)=F′(ξ)(b-a).

于是，我們可以進一步將積分中值定理進行推廣.設f(x),g(x)在[a,b]上連續，g(x)在[a,b]上不能等于零，同時符號不會改變，在這樣特殊的情形下，可以得到如下的結論，

即有

但當g(x)在[a,b]只是可積分，并且恒為正或恒為負時，前面我們進行推導的思路完全行不通，即不可能成立，因為可積不變號時,g(x)可以等于零,我們就不能使用上面的結論了.

二、第一、第二積分中值定理的推廣及其證明

積分第一中值定理

設函數f(x)在[a,b]上連續,g(x)在[a,b]上可積不變號,則在[a,b]存在一點ξ,使得

積分第二中值定理

設(ⅰ)g(x)在[a,b]上連續;(ⅱ)f(x)在[a,b]上單調遞增且連續;(ⅲ)f(x)≥0,則必有ξ∈[a,b],使得

推論

1.若積分第二中值定理中的遞增改為遞減,其他條件不變的情況下,則必有ξ∈[a,b]，使得

2.若積分第二中值定理中的f(x)≥0去掉,則必有ξ∈[a,b]，使得

當ξ所在區間[a,b]變為(a,b),其余條件、結論不變,我們就可以將積分中值定理進一步推廣.

接下來，我們進一步證明積分中值定理的推廣定理，先驗證積分第一中值定理的推廣.

證明由于f(x)在[a,b]上連續.設M為f(x)在[a,b]上的最大值，m為f(x)在[a,b]上的最小值,即有m≤f(x)≤M,又由于g(x)在[a,b]上定號，不妨令g(x)≥0(g(x)≤0的情況同理)，

從而有

mf(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x),

即

即

于是得到

利用原積分中值定理，得

與之比較，知矛盾.

證畢！

根據積分第一中值定理的推廣證明，我們同樣可以對積分第二中值定理的推廣進行證明.

接下來，我們試證積分第二中值定理的推廣結果.

其中ξ∈(a,b),從而有

證畢！

三、積分中值定理的應用

例1證明下列積分不等式:

證明(1)由積分中值定理，有

因此有

證畢.

(2)由定積分性質,有

從而

因此

如果ξ取自任意閉區間，使得積分中值定理成立,則需要將例1的證明結果做進一步的討論.由此可見，對積分中值定理進行改進或者推廣對我們的學習很有幫助，當然，我們也要合理使用該定理，否則就會出現錯誤的結論.

這是錯誤的,因為ξ與n有關.

正確的解法是：

而

因此

證畢！