淺談“幾何畫板”在解析幾何教學(xué)中的應(yīng)用研究淺談“幾何畫板”在解析幾何教學(xué)中的應(yīng)用研究

◎黃江艷

(深圳市羅湖外語學(xué)校高中部，廣東 深圳 518000)

筆者探究了近幾年全國新課標(biāo)Ⅰ卷20道有關(guān)動(dòng)點(diǎn)軌跡的問題，結(jié)合平面解析幾何課程教學(xué)的特點(diǎn)和高中普通班學(xué)生的認(rèn)知情況，利用幾何畫板的優(yōu)勢，結(jié)合具體情況不斷完善教學(xué)案例，并且根據(jù)案例中提出的問題，通過情境教學(xué)的方式進(jìn)行教學(xué)活動(dòng)，以引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)際操作中養(yǎng)成獨(dú)立思考的意識，點(diǎn)燃學(xué)習(xí)熱情.

本文結(jié)合具體案例研究怎樣將平面幾何畫板應(yīng)用到幾何教學(xué)當(dāng)中，幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)，切實(shí)解決學(xué)生學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)的一些問題.

一、幾何畫板在揭示數(shù)學(xué)概念形成過程中的應(yīng)用

新一輪課程改革提出的基本理念之一是推動(dòng)學(xué)生實(shí)現(xiàn)自主學(xué)習(xí).同時(shí)，自主學(xué)習(xí)也是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的重要途徑.在傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，教師常采用灌輸知識的方式，導(dǎo)致課堂氣氛枯燥乏味.學(xué)生受到不良學(xué)習(xí)環(huán)境的影響，難以產(chǎn)生學(xué)習(xí)興趣.他們經(jīng)常消極對待數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，導(dǎo)致數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量較差.幾何畫板在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用不僅能將抽象的靜態(tài)數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為生動(dòng)的動(dòng)態(tài)圖像，還能創(chuàng)造出適宜的教學(xué)情境和良好的教學(xué)環(huán)境，使學(xué)生通過與環(huán)境的互動(dòng)獲得數(shù)學(xué)知識，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量.數(shù)學(xué)概念是通過抽象的方式展現(xiàn)現(xiàn)實(shí)生活中出現(xiàn)的一些數(shù)量關(guān)系和空間形式，或者是把原先的數(shù)學(xué)理論作為基礎(chǔ)對相應(yīng)的思維邏輯進(jìn)行創(chuàng)新.概念的產(chǎn)生都有其必然性，教師在進(jìn)行概念教學(xué)時(shí)要抓住概念產(chǎn)生的背景，找出適合學(xué)生理解的、有趣而生動(dòng)的切入點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生深入理解概念，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)有一個(gè)客觀的認(rèn)識.而利用幾何畫板可以更加直觀、形象地展現(xiàn)過程性概念，有利于讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)和特點(diǎn).幾何畫板作為一款專業(yè)軟件是教學(xué)軟件的代表.它形式多樣，具有強(qiáng)大的繪圖功能.它一出現(xiàn)，就在數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科教學(xué)的實(shí)施中發(fā)揮了重要作用.以高中數(shù)學(xué)教學(xué)為例，在教學(xué)實(shí)施過程中，幾何畫板的靈活應(yīng)用不僅能促使數(shù)學(xué)教師改變傳統(tǒng)的教學(xué)模式，還大大降低了數(shù)學(xué)知識的理解難度.

接下來，筆者結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗(yàn)詳細(xì)介紹幾何畫板在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用價(jià)值，并在此基礎(chǔ)上結(jié)合教學(xué)實(shí)踐介紹運(yùn)用幾何畫板組織教學(xué)活動(dòng)的幾種策略，以為一線教師提供教學(xué)參考，促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)的發(fā)展.

案例1拋物線概念的理解

伸縮性比較差的繩索可以作為繪制橢圓的工具，伸縮性比較差的拉鏈可以作為繪制雙曲線的工具，但是沒有辦法利用傳統(tǒng)道具直觀地展現(xiàn)拋物線的軌跡.很多教師在進(jìn)行教學(xué)的過程中會(huì)選擇直接告訴學(xué)生拋物線的概念和拋物線滿足的條件，學(xué)生理解起來難度非常大.在這時(shí)選擇幾何畫板動(dòng)畫技術(shù)則可以直接讓學(xué)生了解拋物線軌跡的產(chǎn)生過程.如圖1所示，直線AB與BD垂直，A點(diǎn)是線段BF的垂直平分線AM和直線AB的交點(diǎn).學(xué)生在觀察A的運(yùn)動(dòng)軌跡過程中可以更加具體、直觀地了解拋物線的抽象概念和屬性，從而深入理解拋物線知識.

圖1

二、幾何畫板在揭示數(shù)學(xué)性質(zhì)發(fā)現(xiàn)過程中的應(yīng)用

因?yàn)閿?shù)學(xué)教材的局限性，有時(shí)教材會(huì)直接展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的相關(guān)性質(zhì)，這讓學(xué)生無法對數(shù)學(xué)產(chǎn)生感性認(rèn)知，讓普通學(xué)生理解數(shù)學(xué)性質(zhì)的難度加大.運(yùn)用幾何畫板的跟蹤和生成動(dòng)畫功能則可以有效降低這方面困難.尤其是幾何畫板可以通過拖動(dòng)對象的方式研究圖形的變化過程，從而使學(xué)生理解圖形背后的性質(zhì).例如，案例2,3,4都可以通過觀察圖形變化和離心率(或p值)變化的關(guān)系，加深學(xué)生對橢圓、雙曲線和拋物線性質(zhì)的理解.

案例2改變c值，讓離心率出現(xiàn)變化，研究橢圓的變化情況

圖2

案例3改變a值，離心率變化，觀察雙曲線開口大小

圖3

案例4改變p值，觀察拋物線開口大小

如圖4所示，用鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn)F，改變p=|FF′|的大小，觀察拋物線開口的大小，可使學(xué)生理解拋物線的性質(zhì).學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)，拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線lCF′的距離p=|FF′|如果逐漸越大，表明拋物線的開口也將越來越大；距離越小，開口越小.學(xué)生在研究拋物線開口和p值之間的具體關(guān)系時(shí)，可以思考拋物線開口的性質(zhì)，從而更加深入地了解方程和圖形之間的聯(lián)系，一定程度上也會(huì)對相關(guān)數(shù)學(xué)知識更加感興趣.

圖4

三、幾何畫板在問題解決過程中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)發(fā)展史表明，當(dāng)前解析幾何的很多理論和方法都是經(jīng)過前人的實(shí)踐總結(jié)出來的.雖然學(xué)生當(dāng)前面臨的數(shù)學(xué)問題比較淺顯，但是對普通學(xué)生而言依然存在著不小的難度.故在遇到一些數(shù)學(xué)問題時(shí)，教師利用幾何畫板既可讓學(xué)生加深對問題的印象，又可幫助學(xué)生在解答問題時(shí)降低難度，提升學(xué)生分析問題的能力.

案例5～7都是有關(guān)平面上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡問題.研究點(diǎn)的軌跡一直是平面解析幾何的重點(diǎn)方向.這一內(nèi)容也一直是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的重難點(diǎn).在傳統(tǒng)的教學(xué)過程中，教師在講授知識點(diǎn)時(shí)會(huì)比較潦草地畫出重點(diǎn)圖形的軌跡圖像，學(xué)生僅憑想象無法精準(zhǔn)了解點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，普通班的學(xué)生甚至難以想象圖形是如何形成的，更不用談理解軌跡的特殊位置等問題.而幾何畫板可以更加直觀地展示圖形的運(yùn)動(dòng)情況，有利于學(xué)生掌握軌跡的本質(zhì)特點(diǎn)，從而提高解決問題的能力.

案例52016年新課標(biāo)Ⅰ，理T20(1)

設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C,D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E．

(Ⅰ)證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程.

據(jù)調(diào)查，普通班學(xué)生對本高考題在圖形想象、相似三角形的尋找、相等線段的發(fā)現(xiàn)和圓半徑長度相等的利用上有困難.如圖5，教師可以利用幾何畫板，讓點(diǎn)C在圓上運(yùn)動(dòng)(生成動(dòng)畫)，點(diǎn)E追蹤軌跡，觀察點(diǎn)E的軌跡，形成感性認(rèn)識，同時(shí)，讓運(yùn)動(dòng)的速度慢一些，指導(dǎo)學(xué)生觀察線之間的關(guān)系.當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到圖示位置(或其他易觀察圖形關(guān)系的位置)，可停止動(dòng)畫，讓學(xué)生觀察平行線，找出相等線段，從而獲得答案.另外，在特殊位置y=0處，教師也要特別停頓動(dòng)畫，讓學(xué)生好好感受，并記住要除去這一情況.

圖5

案例6已知圓M：(x+1)2+y2=1，圓N：(x-1)2+y2=9，動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C.

(Ⅰ)求C的方程.

本高考題的難點(diǎn)在于涉及三個(gè)圓，作圖更加困難，動(dòng)圓的變化更是難上加難，x≠-2也是學(xué)生容易遺漏的.教師通過幾何畫板的演示(如圖6)，既可使學(xué)生更好地理解和想象圖形，也容易使學(xué)生找到線段之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)特殊位置H是要除去的，因?yàn)閯?dòng)圓P運(yùn)動(dòng)到位置H會(huì)停頓，也容易觀察到在位置H時(shí)動(dòng)圓的半徑為0，不符合圓的定義，所以要除去，即x≠-2.

圖6

案例7圓的外接三角形頂點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡

△ABC的頂點(diǎn)為A(-5,0)，B(5,0)，△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x=3上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是( ).

在本案例的教學(xué)中，學(xué)生通過觀察動(dòng)點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡容易選出正確答案.教師在本案例的制作中可將相等線段用相同顏色表示(比如圖7，|AD|=|AE|，|CD|=|CF|，|BF|=|BE|)，學(xué)生很容易找到了相等線段，并結(jié)合三角形內(nèi)切圓的特征，從圖中觀察和理解了為何動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為雙曲線的右支.幾何畫板能將解決問題的關(guān)鍵點(diǎn)直觀地表達(dá)出來，讓學(xué)生一目了然，印象深刻，同時(shí)達(dá)到使學(xué)生全面認(rèn)識數(shù)學(xué)問題的目的.

圖7

四、幾何畫板在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略

(一)改進(jìn)教學(xué)模式，展示數(shù)學(xué)現(xiàn)象，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)規(guī)律

改進(jìn)教學(xué)模式是幾何畫板在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用價(jià)值之一.在實(shí)施高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)時(shí)，教師可以根據(jù)課堂教學(xué)的特點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)改進(jìn)，利用幾何畫板展示某一數(shù)學(xué)知識點(diǎn)所反映的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，降低數(shù)學(xué)知識的探究難度，通過對數(shù)學(xué)現(xiàn)象的觀察和分析，使學(xué)生逐步深入，掌握數(shù)學(xué)知識的規(guī)律，加深對數(shù)學(xué)知識的理解.以“集合”為例，本課程的教學(xué)活動(dòng)旨在讓學(xué)生掌握集合的含義，學(xué)習(xí)集合的表達(dá)方式.在現(xiàn)實(shí)生活中，我們可以找到集合的痕跡，因此，在實(shí)施課堂教學(xué)時(shí)，筆者用幾何畫板直觀地展示學(xué)生熟悉的生活現(xiàn)象，如家庭、學(xué)校、班級、男孩和女孩，并引導(dǎo)學(xué)生分析這些概念之間的關(guān)系.根據(jù)學(xué)生的陳述，筆者用幾何畫板將這些概念以圖像的形式表現(xiàn)出來.在展示完這些圖像后，筆者啟發(fā)學(xué)生觀察和思考這幅圖像中概念的特點(diǎn)是什么，它們之間的關(guān)系又是什么.在問題的驅(qū)動(dòng)下，學(xué)生對集合的概念進(jìn)行思考和探索，初步構(gòu)建了對集合概念的認(rèn)知，為進(jìn)一步掌握集合概念和集合表示方法奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

(二)創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，協(xié)助學(xué)生探索，提高教學(xué)質(zhì)量

傳統(tǒng)高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量不理想的原因在于學(xué)生不能突破重點(diǎn)和難點(diǎn)知識.此外，受抽象思維能力差的影響，學(xué)生很難理解重點(diǎn)和難點(diǎn)知識，并進(jìn)行相關(guān)探索.基于幾何畫板在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用價(jià)值，教師可以圍繞教學(xué)內(nèi)容創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，讓學(xué)生體驗(yàn)特定場景，發(fā)揮主觀能動(dòng)性，探索知識，掌握重難點(diǎn)知識，提高學(xué)習(xí)質(zhì)量.以“直線與平面垂直的判定”一課為例，教師要引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)直線與平面垂直的定義及判定定理.為了突破這一難點(diǎn)，筆者借助幾何畫板進(jìn)行演示，在幾何畫板中，平面內(nèi)的兩條直線可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，那么平面內(nèi)的任意直線都可以通過平移成為這兩條直線中的一條，故學(xué)生可以從演示中看出，只要與兩條相交直線都垂直就能保證直線垂直于平面，這剛好與判定定理相吻合.這樣的操作使學(xué)生帶著問題進(jìn)行探索，獨(dú)立總結(jié)直線與平面垂直的定義，突破了學(xué)習(xí)難點(diǎn)，提高了課堂教學(xué)質(zhì)量.

總而言之，利用幾何畫板開展平面解析幾何教學(xué)是對傳統(tǒng)教學(xué)方式的一種創(chuàng)新.幾何畫板的作圖和動(dòng)畫功能能夠極大地幫助學(xué)生加深對知識的理解，但是教師在使用的過程中需要結(jié)合具體的教學(xué)情況提前進(jìn)行設(shè)計(jì)，從而達(dá)到提高學(xué)生思維品質(zhì)、收到良好教學(xué)效果的目標(biāo).教師不能脫離實(shí)際情況使用幾何畫板，因?yàn)椴磺袑?shí)際的使用并不能發(fā)揮幾何畫板的作用.