追求數學本質 實施深度學習追求數學本質 實施深度學習
——以蘇教版三年級下冊“小數的初步認識”教學為例

◎楊 瀟

(南京市浦口區江浦實驗小學，江蘇 南京 210000)

《小學數學課程標準》中強調，數學概念教學要關注概念的實際背景和形成過程，幫助學生克服機械記憶的學習方式.數學概念的認識一般都比較抽象，需要有豐富的感性材料的支撐，學生需要經歷由具體到抽象再到運用于具體情境的過程.但在實際教學過程中教師往往容易出現照本宣科、依樣模仿的情況，進而形成了忽視數學本質的灌輸式、表面化、形式化的教學形式.近年來隨著數學核心素養概念的落地與推進，數學課堂要從僅以“知識傳遞”為主的低級層面課堂，轉變為以數學“核心問題”為導向，挖掘揭示更多數學本質，促使學生思維逐層進階的深度學習課堂.教師在課堂中要關注學生對知識是否真實生成、真實意會、真實理解，以激發學生主動學習的欲望，引領學生學會學習與思考.下面結合蘇教版三年級下冊“小數的初步認識”的教學實踐，談一談具體做法.

學生對小數的認識并不是完全陌生的，在日常生活中買東西時常會涉及有關小數的問題.由于三年級下學期學生初次接觸小數知識，因此，學習目標僅是結合具體情境初步感知生活中帶有計量單位的小數.此前，學生對于分數已有了初步認識和學習經驗，雖對分數的理解并不系統、深刻，但在一定程度上可以輔助小數的學習.此外，根據皮亞杰的認知發展理論可知，在小學階段，學生的思維處于具體運算階段，對數學的認知還需依靠具體事物的支持才能進行抽象理解.因此，基于對以上學情的分析，筆者進行了如下設計.

一、初次設計：生活情境導入，借助直觀操作

初次試教時，筆者根據教材意圖調整了教學設計，從學生身邊最熟悉的貨幣單位入手，主要包括以下幾個環節：

(一)貨幣引入，直觀操作

從超市購買商品這一熟悉的生活情境導入，將8元、15元、0.3元、1.2元分分類，引出今天學習的內容：認識小數.接著利用動手操作活動理解0.3元.活動要求：想一想，0.3元表示什么意思？可以畫一畫、分一分、涂一涂，在1元里表示出0.3元，并能讓其他同學看明白.教師巡視選取3個典型作品，然后逐一進行展示(如圖1所示)，學生分別說說如何理解 0.3元.

圖1 初次試教課堂上學生的典型作品

(二)順其自然，強化感知

教師設計填空活動，讓學生填一填、讀一讀、想一想：8角=( )元，1元2角=( )元，可以與同桌進行探討交流.8角=0.8元相對比較簡單，學生利用之前積累的活動經驗填寫，沒有錯誤答案.而對于1元2角=1.2元，填寫比1大的小數還是有一定的難度，對于這些有困難或者填錯的同學，教師可以借助畫圖的方式幫助學生進行理解.最后，教師以1.2元為例，引導學生自學書中小數的各部分名稱等相關知識，然后集體進行交流.

(三)米尺和數軸，鞏固深化

教師先利用學生熟悉的米尺(如圖2所示)，以長度單位為載體繼續鞏固對于小數的認識與理解.

圖2 在米尺上填上合適的數

教師再出示含有整數(0，1，2，3)的數軸，讓學生指一指各個小數在數軸上的位置，建立一位小數與整數間的位置關系和內在聯系.

試教之后，筆者與其團隊進行研磨，認為這節課每個環節的重點并不突出，意圖不夠明確.整節課中都在強調小數與分數的關系，仿佛分數才是認識和理解小數的“救命稻草”，在課上不斷地加以強化和凸顯.學生也會以為只有學習了分數才能認識小數，小數是由分數改寫形成的.對于小數的認識過程教師也是機械地灌輸給學生，學生只是在記憶和模仿，并沒有真正認識和理解小數，更不要說自我內化、建構知識和體會其中的數學思想了.筆者在看過張奠宙教授等編著的《小學數學教材中的大道理》一書后發現自己對小數的教學核心概念的理解確實有偏差.

張教授提出在教學中不要總回到分數的意義上理解小數，分數雖然對學生理解小數有幫助，但并不應該是認識小數的唯一工具.追根溯源，小數的實質是十進制分數的另一種表現形式，其本質應是十進制位值原理，它是對其整數位置計數法的拓展，引進小數的目的是表示小于“1”的量.原來對于小數認識的重點并不在“分數”，而應該在“十進制”，本質是沒有理解小數的由來導致整個教學設計的重點出現了偏差.雖然教材中并沒有凸顯這個認識的過程，但是教師在教學中要讓學生感悟到從認識整數到小數這種完善的計數制度，體會數學結構的規范與完整.

明確了本節課的教學核心后，筆者調整了教學的結構和路徑，并進行再次試教.

二、再次設計：已有經驗遷移，多元表征探本質

這次教學從三個維度依次探索一位小數的本源意義、實際意義、幾何意義.三個板塊的學習活動均遵循學生從具象到抽象的認知規律，以幫助學生理解小數意義和加深對小數的感悟.

(一)計數器引入，揭示小數的本源意義

對于計數器這個學習工具，學生并不陌生，且均具有豐富的使用計數器表示自然數的經驗.因此，課始，教師在計數器的個位上一顆顆撥珠，學生一起感受從一到十，再從十到百，從百到千“滿十進一”的計數過程.演示完成后，教師話鋒一轉：誰知道1是怎么得到的？此時，學生的思考方向聚焦到1右邊的一位，應該用什么數來表示呢？進而自然想到這個位置上的數要比1小，那么這個位置上的一顆珠就是0.1，10個0.1就是1.計數器是一種既能夠清楚地反映出十進制關系，又能體現位值思想的直觀模型，能夠讓學生感悟到原來小數的出現是用來表示比1小的數，并且它和整數的計數方式是一脈相承的.

(二)模型支架，構建小數的實際意義

生活情境導入：買一根長0.3米的彩帶用了0.3元.利用操作活動理解0.3米、0.3元的實際意義.活動要求：想一想，0.3元表示什么意思，0.3米呢？寫一寫、畫一畫、分一分，在1元里表示0.3元，在1米里表示0.3米，并讓其他同學看明白.教師先逐一展示表示0.3元的正確作品，然后提問：這些表示0.3元的作品有什么相同之處？學生發現它們都是把1元平均分成10份，取其中的3份就是0.3元.接著展示錯誤作品(如圖3所示)，供學生一一進行評價，以凸顯十進分數的特點.然后展示關于0.3米的正確作品(如圖4所示)，并提問：這些表示0.3米的作品有什么相同之處？學生發現它們都是把1米平均分成10份，取其中的3份就是0.3米.最后，將0.3元和0.3米的作品放在一起進行群展(如圖5所示)，并提問：不同數量，為什么都可以用相同圖形表示？以使學生深刻感悟到它們都是平均分成10份，取其中的3份.教師順勢追問：還可以把( )平均分成10份，取其中3份就是0.3( )，學生在舉例過程中不斷豐富對小數的感性認識.

圖3 兩種典型的錯誤作品

圖4 0.3米正確作品

圖5 0.3元和0.3米相同表征的作品對比

(三)圖形辨認，刻畫小數的幾何意義

學生脫離生活情境后，是否真的認識并理解小數，需要教師設計有效的評價活動.因此，教師創設了操作活動：理解0.2.活動要求：下列圖形中(如圖6所示)，哪個能表示0.2.可以分一分、畫一畫，并讓其他學生看明白，然后思考交流為什么可以或者不可以表示0.2，學生要針對每個圖說出合理的解釋.精妙的評價活動不僅能讓學生對知識的理解更加深刻，還能讓學生的思維能力進一步得到提高.

圖6 理解0.2的評價活動

最后，回到計數器，此時學生對于個位右邊的數位已有了自己的感悟，理解了零點幾的小數與十分之幾的關系.因此，數位名稱、計數方式等都一一迎刃而解.通過這樣的設計，學生頭腦中的小數不再僅僅依賴于分數，而是打通了小數與整數的關系，從而形成完整的關于數的知識體系，促進了學生思維的發展.同時，這也為五年級上冊學習“小數的意義和性質”打下了堅實的基礎.

三、教學路徑改進的反思

經歷幾次磨課過程，筆者對教學核心內容的理解、教學路徑的設計、課堂的精準把控等有所感悟，可總結為以下幾點:

(一)喚醒已有認知，推動經驗遷移

數學活動經驗是學生個人經驗的重要組成部分，是學生學習數學、理解數學、發展數學素養的重要基石.學生的數學學習正是基于自身已有的經驗，不斷經過一系列重組、完善數學認知經驗的過程，在循環往復的連續過程中實現經驗的積累、創造與轉化.因此，教師在教學中要重視學生已有認知，并促使這些經驗有效遷移，為學習新知所用.正如本節課中的“數源于數”是認識整數時已有的活動經驗，在小數的初步認識中也同樣適用.正是在計數器上撥出個、十、百、千這樣不斷累加的過程喚醒了學生對整數“滿十進一”計數規則的經驗，為后面構建一位小數計數規則做好伏筆和經驗調取.因此，教師在教學設計中要先把握準學生已有的知識經驗，并將這些經驗與新知識進行合理、有效的銜接，使得數學學習更加符合學生的知識水平、認知規律和心理特征.

(二)追求知識本源，直擊核心本質

數學知識的教學，特別是概念的教學，教師不能一葉障目.數學是一門歷史性或者說累積性很強的學科，數學理論是在不斷發展和繼承基礎上建立起來的.所以，數學知識總有自己的歷史軌跡.要想真正把握數學核心本質，需要教師對教學內容進行深度研究，只有深度挖掘教材，才能追溯到概念的源頭.正如本節課中，最初的教學方向是讓小數和分數建立緊密聯系，后來進行深度對比研究后才發現，小數的出現是基于十進制表示數量的需要，是十進位制記數向相反方向延伸的結果.如果本節課只看重小數和分數的關系，就會漏掉本應體現的一種數學思想方法——滿十進一的位值記數法的滲透.因此，追根溯源，探求本質是教學路徑的指南針.

(三)運用動手實踐，促使概念理解

理解不是單方面的成就，而是多方面的，是可以通過不同類型的證據表現出來的.因此，教師可以設計一系列的操作活動讓學生動起來，讓學生對概念的理解可視化、可表達化.特別對于比較抽象的概念教學，教師可以利用動手操作活動，借助一定的視覺表征形式，使抽象的概念變得直觀形象，這既有利于對知識的理解，又能豐富課堂教學材料，并將學生認知中已經知道或者存在的困惑一一展示出來，借助對與錯的對比，糾正并歸納出正確的理解.如本節課中，各種對于小數的多元化表征，無論正確與否，都是學生內心對于小數最真實的理解，讓學生內隱的思維變得可視化，有助于教師及時發現問題，提高課堂教學質量.

(四)進行展示交流，注重思維發展

陶行知先生提倡：解放兒童的大腦，讓他們敢想；解放兒童的嘴,讓他們多說、多問.在課堂中，教師要善于選取學生作品進行展示，不吝嗇課堂的時間和空間，給予學生更多發聲和展示的舞臺，使學生能在交流討論中不斷地將真實和鮮活的思維過程一一呈現.這個過程可能并不平坦、順暢，學生解決問題的方法也不盡相同，且正誤參半，但這些都是學生最原始的思維展示，對此，教師在教學設計中一定要做好充分的預設，對可能現出的情況一一做出相應的判斷和分析，所選取的作品是單一展示還是多個群展，要用怎樣的方式將這些思維方式一一有序并符合邏輯地呈現出來.學生可以通過預先組織自己的數學思維，然后與他人探討共享，汲取彼此之間與眾不同的想法、做法，以及令自己耳目一新的觀點，還可以將自己和他人的思維方式進行良性融合或者批判修正，使自己的思維得以成長.通過這樣的教學方式，學生從中不僅僅獲取、完善了數學知識，而且提高了自己的數學思維能力.

每一節課的教學設計都有它的精神內核——數學本質，也都有它的實施目標——深度學習，兩者可以并駕齊驅.如何在每節課都能有效落實，讓每個學生的數學核心素養都能從中獲得良好的發展，值得教師好好地研磨與探究.